浙江省十校联盟2023届高三下学期数学三模试卷【含答案】

 高三下学期数学一模试卷

一、单选题

1．已知集，，则（　　）

A． B． C． D．

2．已知复数，，则复数的模等于（　　）

A． B． C． D．

3．函数的图像是（　　）

A． B．

C． D．

4．已知向量满足，，，则（　　）

A． B． C． D．

5．记为数列的前n项积，已知，则（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

6．已知函数在上单调递增，且，则（　　）

A． B． C． D．

7．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（　　）

A．54 B．81 C．135 D．162

8．若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（　　）

A．65 B．70 C．75 D．80

二、多选题

9．已知定义域为I的偶函数在上单调递增，且，使.则下列函数中符合上述条件的是（　　）

A． B．

C． D．

10．已知随机变量从二项分布，则（　　）

A．

B．

C．

D．最大时或501

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（　　）

A．点在第一象限 B．的面积为

C．的斜率为 D．直线和圆相切

12．数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（　　）

A．数列的第项为

B．数列的第2023项为

C．数列的前项和为

D．

三、填空题

13．展开式中项的系数为　     　.

14．已知随机事件A，B，，，，则　     　.

15．在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为　     　.

16．在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为　     　，内切球表面积为　     　.

四、解答题

17．某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.参考数据

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.

18．如图，在中，D为边BC上一点，，，，.

（1）求的大小；

（2）求的面积.

19．在数列中，，在数列中，.

（1）求证数列成等差数列并求；

（2）求证：.

20．在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F.

（1）证明：平面平面；

（2）当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.

21．设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，

（i）求的值；

（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.

22．已知，函数，.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）设较小的零点为，证明：.

1．A

2．B

3．B

4．C

5．D

6．D

7．C

8．A

9．A,C

10．A,D

11．B,C,D

12．A,C,D

13．-40

14．

15．104

16．；

17．（1）解：已知， ，

又，，

所以， 则，

所以回归方程为

（2）解：由回归方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长0.5万吨，

当时，，即2024年该地区生活垃圾无害化处理量约为7.8万吨.

18．（1）解：在中，，

又，所以

（2）解：在中，，

则 ，

因为，所以，

在中，，则 ，

，

在中，因为，所以，

则 ，

故

19．（1）证明：由知，

故，

即，数列成等差数列，

所以，所以；

（2）证明：由，得，

于是

所以，

，

所以

20．（1）证明：因为，

所以都是等腰三角形，

因为于F，所以F为DE的中点，

则，，

又因为是平面内两条相交直线，

所以平面，

又平面，

所以平面平面 ；

（2）解：因为，，所以，，，

所以， ，

由（1）知为二面角的平面角

所以，

以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

易得，，知，

因为，，

可得，

所以

设平面的法向量，，

所以，令，则，

所以 ，

又，

设直线与平面所成角为θ，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

21．（1）解：因为双曲线其中一条渐近线方程为，又点到它的距离为2，

所以，又，得，

又因为，所以，

所以双曲线C的方程为.

（2）解：设AB直线方程为，则，

代入双曲线方程整理得：，

设，则， ，

（i）

而

，

所以，则，

所以 ；

（ii）过M平行于OA的直线方程为，

直线OB方程为与联立，

得，

即，

则，

所以，

由，两式相除得，

，则，

所以 ，

因为，所以，

故P为线段MQ的中点，所以.

22．（1）解：因为，，所以，

当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

故有极小值，无极大值；

（2）证明：因为当时，，所以，

所以，

又时，；时，，

所以有两个零点 ；

法1：下面证明，，

设，

则，所以在上递增，

又时，，所以对成立，

所以得证 ，

，

令，则，，，∴.

设，，

则，所以在上递减，

所以，所以，

所以得证 ，

因为函数区间单调递减，

又，，，、、，

所以 ；

法2：下面证明当时，，

设，，

，

所以在上递增，

所以，所以，

再设，，

，

所以在上递增，

所以，所以，

综上，当时， ，

现有，所以，

故得，

故得，

所以 .