2023浙江省十校联盟高三下学期2月第三次联考试题数学含解析

绝密★考试结束前

浙江省十校联盟2023届高三第三次联考

数学试题卷

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟：

2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4．考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：

如果事件A，B互斥那么

如果事件A，B相互独立，那么

如果事件d在一次试验中发生的概率为p，那么A次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为

台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，h表示为台体的高

柱体的体积公式，其中表示锥体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式

其中S表示锥体的成面积，h表示锥体的高

球的表面积公式

球的体积公式，其中R表示球的半径

第Ⅰ卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集，，则（    ）

A．         B．         C．             D．

2．已知复数，，则复数的模等于（    ）

A．       B．         C．             D．

3．函数的图象是（    ）

A．   B．   C．   D．

4．已知向量满足，，，则（    ）

A．         B．          C．            D．

5．记为数列的前n项积，已知，则（    ）

A．8          B．9           C．10               D．11

6．已知函数在上单调递增，且，则（    ）

A．         B．          C．           D．

7．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从A，B，C，D，E这5种菜中任意选用2种，则A菜有2人选用、B菜有1人选用的情形共有（    ）

A．54           B．81         C．135               D．162

8．若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（    ）

A．65        B．70          C．75             D．80

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分．

9．已知定义域为I的偶函数在上单调递增，且，使．则下列函数中符合上述条件的是（    ）

A．      B．        C．       D．

10．已知随变量从二项分布，则（    ）

A．           B．

C．                 D．最大时或501

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上且在x轴上方，若的中点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，则（    ）

A．点P在第一象限           B．的面积为

C．的斜率为        D．直线和圆相切

12．数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（    ）

A．数列的第项为         B．数列的第2023项为

C．数列的前项和为        D．

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分．

13．展开式中项的系数为________．

14．已知随机事件A，B，，，，则________．

15．在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为________．

16．在三棱锥ABCD中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，．参考数据

18．如图，在中，D为边BC上一点， ，，，．

（1）求的大小；

（2）求的面积．

19．在数列中，，在数列中，．

（1）求证数列成等差数列并求q；

（2）求证：．

20．在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F．

（1）证明：平面平面；

（2）当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值．

21．设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，

（i）求的值；

（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：．

22．已知，函数，．

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）设较小的零点为，证明：．

浙江省十校联盟2023届高三第三次联考

数学参考答案

1．【答案】A

【解析】∵，因此，．

2．【答案】B

【解析】

3．【答案】B

【解析】图象过点，，时，

4．【答案】C

【解析】，则．

又，因此．

5．【答案】D

【解】，，，则，代入，

化简得：，则，，故选D．

6．【答案】D

【解析】当时，，

∵在上单调递增，∴，：，即，

∴，，

则由得：，解得：．

当时，满足题要求

7．【答案】C

【解析】A菜有2人选用有种，比如甲、乙选用了A菜，

①甲、乙之中有1人选用了B菜，有种，比如甲用了B菜，则乙从C，D，E中任意选用1种，有种，丙从C，D，E中任意选用2种，有种，故共有

②丙选用了B菜，丙再从C，D，E中任意选用1种，有种，甲、乙再从C，D，E中各任

意选用1种，有种，故共有

由①②可知所有情形是

8．【答案】A

【解析】由，，知函数关于，点对称。为向上攀爬的类周期函数，，，

所以

9．【答案】AC

【解析】对于A，，定义域为，

所以，为偶函数，

又，故A正确

对于B，为奇函数，故B错误

对于C，，定义域为，，所以，为偶函数，

又，故C正确

对于D，因为在上分区间单调，故D错误

10．【答案】AD

【解析】，所以A对，

因为，所以，所以B错

因为，

所以，，所以C错

先从递增到，从递减到，

达到最大，所以最大时或501，D对

11．【答案】BC

【解析】，，所以，的面积为，B对

，过O作于H，，D对

则H为中点，，故C对

设椭圆的上顶点为B，，所以点P在第二象限，A错

12．【答案】ACD

【解析】

…，

，故B错

，，…，当时，，

所以，故C对

当时，

，故D对

13．【答案】

【解析】

展开式通项不含项，令，

得，展开式中项为，系数为

14．【答案】

【解析】依题意得，所以

故，所以．

15．【答案】104

【解析】以E为坐标原点，为轴正方向，建立直角坐标系，则，，

设，则A在圆上，

法2：，，

，当且仅当AE为圆直径时等号成立．

16．【答案】；

【解析】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为

x，y，z，则，，

则，，，外接球半径，

在三棱锥ABCD的体积

三棱锥ABCD的每个面的三边分别为，

每个面的面积为

，所以

所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为．

17．【答案】（1）；          （2）7．8万吨

【解析】

（1）已知，            1分

，           2分

又，，                 3分

所以，             5分

则，

所以回归方程为；           7分

（2）由回归方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长0．5万吨，

当时，，

即2024年该地区生活垃圾无害化处理量约为7．8万吨．                       10分

18．【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）在中，，       2分

又

所以                         4分

（2）在中，，

则                5分

因为，所以

在中，，

            7分

            9分

在中，，

所以                 11分

故的面积为      12分

法2：因为，，所以，             6分

所以，则，得             9分

因为，所以

故的面积为            12分

19．【答案】（1），（2）略

【解析】

（1）由知

故

即，数列成等差数列，            3分

所以，所以                5分

（2）由，得           6分

于是

所以，                9分

所以              12分

20．【答案】（1）略；（2）

【解析】

（1）因为，

所以都是等腰三角形

因为于F，所以F为DE的中点

则，                    2分

所以平面

又平面

所以平面平面              5分

（2）因为，，所以，，

所以，

                       6分

由（1）知为二面角的平面角

所以，

如图建立空间直角坐标系

由，知           8分

，

所以B点坐标为             9分

设的法向量，，

所以，令，则

所以                    10分

又

设直线与平面所成角为θ

所以直线与平面所成角的正弦值为        12分

21．【答案】（1）；（2）（i）1（ii）略

【解析】

（1）因为F到其中一条渐近线的距离b，所以                    1分

又，所以                    2分

所以双曲线C的方程为                  13分

（2）设AB直线方程为，则

代入双曲线方程得：。

设，则，             4分

（i）

而

所以，，则

所以                 7分

（ii）过M平行于OA的直线方程为

直线OB方程为与联立

得，

即

则

所以        9分

由，两式相除得

，则

所以           11分

因为，所以，

故P为线段MQ的中点，所以．                  12分

22．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为

的极小值，无极大值

（2）略

【解析】

（1）因为，

所以，              1分

当时，；当时，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为

故有极小值，无极大值               5分

（2）因为当时，，

所以，

所以

又时，，时，

所以有两个零点             6分

法1：下面证明，

设，

则

所以在上递增

又时，，

所以对成立

所以得证                 8分

令，则，，

设，

则

所以在上递减，

所以，

所以

所以得证                 10分

因为函数区间单调递减

又，，，，，

所以               12分

法2：下面证明当时，

设，

所以在上递增，

所以，所以           8分

再设，

所以在上递增，

所以，所以

综上，当时，          10分

现有，所以

故得

故得

所以          12分