2022-2023学年四川省凉山彝族自治州高二上学期期末检测数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省凉山彝族自治州高二上学期期末检测数学（理）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省凉山彝族自治州高二上学期期末检测数学（理）试题 一、单选题1．命题：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（    ）A．x>0，使得x2－x+1≤0 B．x>0，使得x2－x+1>0C．x>0，都有x2－x+1>0 D．x≤0，都有x2－x+1>0【答案】B【分析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故选：B2．设直线.若，则（    ）A．0或1 B．0或-1 C．1 D．-1【答案】A【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】因为，则，解得或.故选：A.3．过点的直线l被圆截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】D【分析】根据圆的性质得到过点与圆心垂直时，此时弦长最短，求得，即可求得直线的斜率.【详解】由圆，可得圆心坐标为，根据圆的性质，可得当过点与圆心垂直时，此时弦长最短，因为，所以直线的斜率为.故选：D.4．某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是07，那么第四位的编号是（    ）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】C【分析】根据题意求得组距为，进而求得第四位的编号，得到答案.【详解】由题意，从40位同学，用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，可得组距为，因为排在第一位的编号是07，则第四位的编号是.故选：C.5．已知命题：在中，若，则；命题：，是非零向量，若，则.在下列四个命题中，是真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理边角关系、向量垂直判定判断、，进而确定各复合命题的真假.【详解】在中，则，由大边对大角知：，故为真命题；，是非零向量，若，则，故为真命题；所以为假命题，则为真，、、为假.故选：A6．方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.故选：D.7．在诗词大赛活动中，甲乙两位选手经历了9场初赛后进入决赛，两人的9场初赛成绩如茎叶图所示.下列结论正确的是（    ）A．甲成绩的极差比乙成绩的极差小 B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大C．甲成绩的方差比乙成绩的方差大 D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小【答案】B【分析】根据茎叶图分析甲乙极差、众数、中位数、平均数、方差，比较它们的大小判断各项正误.【详解】由茎叶图知：甲成绩，乙成绩，甲极差为，乙极差为，故甲极差大，A错误；甲众数为，乙中位数为，故甲众数大，B正确；甲平均数为，乙平均数为，故甲平均数大，D错误；甲方差为，乙方差为，故乙的方差大，C错误.故选：B8．点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（    ）A．4 B．6 C． D．【答案】C【分析】由抛物线的定义转化后求距离最值【详解】抛物线的焦点，准线为过点作准线于点，故△PAF的周长为，，可知当三点共线时周长最小，为故选：C9．已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数即为圆与圆的公切线条数，因为，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.故选：D【点睛】解答本题的关键是将满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数转化为圆与圆的公切线条数，从而根据圆与圆的位置关系判断出公切线条数.10．若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】采用点差法，设，联立方程即可求解.【详解】设，则满足，两式作差得，即，又被点平分，故，且直线的斜率存在，所以，整理得，即，则所在直线方程为，化简得.故选：A.11．执行如图所示的算法框图，若输出的结果是.则t可以是（    ）A．99 B．100 C．101 D．102【答案】B【分析】根据框图知，程序实现当时，求的功能，由裂项相消求和即可求解.【详解】根据框图可知，，即，所以，故选：B.12．已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，，则双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨设在第四象限，与渐近线垂直，写出直线方程，与方程联立求得点坐标，再根据得向量的关系，从而得点坐标，点坐标代入双曲线方程变形可得，得渐近线方程．【详解】，不妨设在第四象限，与渐近线垂直，的斜率为，所以直线方程为，由，得，设，由知：，即，所以，，在双曲线上，所以，化简得，则，所以，故渐近线方程是．故选：C 二、填空题13．圆关于直线对称的圆的标准方程为___________.【答案】【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心关于直线的对称点的坐标，即为对称圆圆心，又因为关于直线对称的圆半径不变，从而求出对称圆的方程.【详解】圆，即，表示以为圆心，半径为1的圆，设圆心关于直线对称点的坐标为，由，解得，，故圆心关于直线对称点的坐标为，故对称圆的圆心为，因为对称圆半径不变，所以对称圆半径为1，故所求对称圆方程为.故答案为：.14．过点的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若.则___________.【答案】##0.5【分析】设直线方程为与抛物线联立，结合，利用韦达定理计算可得点A，B的坐标，进而求出向量的坐标，利用向量夹角公式即得.【详解】设直线的方程为，将直线方程代入抛物线的方程，得，不妨设且，所以， 由抛物线的定义知，由可知，，则，所以，，则A，B两点坐标分别为，,所以，则.故答案为：. 三、双空题15．某地区为调查7至18岁孩子的入学情况，统计出该地区近四年每年小学毕业的总人数（单位：万）和入读初中的总人数（单位：万）之间的数据如下： 2019年2020年2021年2022年2.02.83.24.01.62.03.03.4 若关于，用最小二乘法建立的回归方程为，则___________；若2023年小学毕业人数达到4.5万人，预计该年入读初中的人数为___________万人.【答案】     0.96##     3.94##【分析】先求取值的平均数，根据回归直线一定经过样本中心点可求，根据方程代入可得入读初中的人数.【详解】，；因为回归方程为，所以，解得；若2023年小学毕业人数达到4.5万人，则.故答案为：；. 四、填空题16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设和的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）.若，则的取值范围是___________.【答案】【分析】根据向量的减法运算得出，从而得出，利用椭圆、双曲线的定义以及离心率的公式，求得与的关系式，根据，从而求出的取值范围.【详解】设椭圆：，双曲线：，，为与的公共焦点，则，，由得，所以，即，所以，得，为两曲线的一个公共点，设，，则，①  ，②  ，③ ②2+③2得，代入①得，，所以，所以，④，又因为，，则，，所以④化为，即，因为，所以，所以，又因为，所以，即，所以，得，所以的取值范围,故答案为： 五、解答题17．已知集合.(1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；(2)若成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据充分不必要条件得出集合的包含关系，根据包含关系可求答案；（2）根据二次函数区间最值，及二次不等式恒成立可求答案.【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则B是A的真子集，而不为空集，则（等号不同时成立），解得，即m的取值范围是.（2）设，则，∵，∴，由题意得，即，即a的取值范围为.18．已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切.(1)求圆的方程；(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案.【详解】（1）设圆心为，半径为,则由题意得，故该圆的方程为.（2）圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得.19．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某校为了提高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动.为了解本次比赛的成绩，从中抽取了100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如下的频率分布直方图.(1)求图中的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖.（以每组中点作为该组数据的代表）【答案】(1)，中位数为82.5(2)，有520名学生获奖 【分析】（1）根据频率和为1可求，利用频率为0.5时对应的横坐标可得中位数；（2）利用区间中点值估计平均数，结合得分不低于平均数的频率可得获奖人数.【详解】（1）由频率分布直方图知：，解得，设此次竞赛活动学生得分的中位数为，因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得，由得：，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，则，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖.20．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.【详解】（1）由已知，，又，则，所以双曲线方程为.（2）由，得，则，设，，则，，所以.21．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程组可求椭圆的方程；（2）设出点，根据对称性得到点，表示出，，结合椭圆的方程可证为定值.【详解】（1）由题意得：且，得，所以椭圆的方程为.（2）证明：由椭圆方程可知，，，设，则且；则，，则，所以为定值.22．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且.(1)求抛物线的方程；(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值.【答案】(1)(2)最大值为5 【分析】（1）根据抛物线的定义和可求方程；（2）联立方程，根据相切可求切线方程，进而得到的方程，利用点到直线的距离公式可求答案.【详解】（1）抛物线的准线方程为：，由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.（2）记，，则可设直线， 由消去并整理得，则由题意得，又得，所以直线的方程为，同理，直线的方程为，若设，则，所以直线的方程为，即，所以点到直线的距离，即，当，即时，；当时，因为则即，所以且；综上，.所以点到直线的距离的最大值为5.