2022-2023学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知直线与直线平行，则值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据两直线平行可直接构造方程求得结果.

【详解】，，解得：.经检验成立

故选：B.

2．已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，，则

【答案】C

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.

【详解】对于A：若，，则或，故A错误；

对于B：若，，则或与相交，故B错误；

对于C：若，，则，故C正确；

对于D：若，，，则或与异面，故D错误.

故选：C.

3．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直.

【详解】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，

则，

即点A坐标为.

故选：C

4．宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦〔九韶〕、李〔冶〕、杨〔辉〕、朱〔世杰〕四大家”，朱世杰就是其中之一．他的著作《算学启蒙》中，记载有这样一个“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为4，2，则输出的n=（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】按流程图逐一执行即可．

【详解】输入的a，b分别为4，2时，依次执行程序框图可得：

第一次：，，不成立，则；

第二次：，，不成立，则；

第三次：，，成立，输出．

故选：B．

5．关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是（    ）

A．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查

B．若甲､乙两组数据的标准差满足，则可以估计甲比乙更稳定

C．若数据的平均数为，则数据 的平均数为

D．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80，则男生样本容量为60

【答案】D

【分析】由抽样调查，标准差，平均数相关知识分析各选项即可.

【详解】A选项，因大型超市某商品数量较大，则用抽样调查较为合理，故A正确；

B选项，标准差较小的数据更加稳定，故B正确；

C选项，由题有，故C正确；

D选项，由题可得抽取样本中男生与女生的比例为，则男生样本容量为，故D错误.

故选：D

6．若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=（    ）

A．14 B．28 C．9 D．

【答案】A

【分析】分别求出两圆的圆心及半径，再根据圆与圆有且仅有3条公切线，可得两圆外切，则，从而可得答案.

【详解】圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，

因为圆与圆有且仅有3条公切线，

所以两圆外切，

则，

即，解得.

故选：A.

7．若满足约束条件，且的最大值为，则正实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据可行域存在可确定，结合的最大值可确定在轴截距的最小值为，采用数形结合的方式可确定所过点的坐标，进而求得的值.

【详解】由得：，记为，

当过点时，，

当时，可行域不存在，不合题意；当时，，不合题意；

，则可得可行域如下图阴影部分所示，

当取得最大值时，直线在轴截距最小，最小值为，

由图形可知：当取得最大值时，过点，

由得：，即，，解得：.

故选：A.

8．如图，在直棱柱中，，，E为BC的中点，F为的中点，则异面直线AF与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接BF，证明，在中计算即可作答.

【详解】在直棱柱中，连接BF，如图，因E为BC的中点，F为的中点，则，

则四边形为平行四边形，即有，因此是异面直线AF与所成角或其补角，

因平面，平面，则，又，，平面，

即有平面，平面，即，令，则，

所以异面直线AF与所成角的正弦值为.

故选：B

9．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：

由上表可得经验回归方程，则当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为（    ）A． B． C．8 D．

【答案】A

【分析】根据线性回归方程的性质求出，由此可求.

【详解】由表格数据知：，，

因为数对满足，得，

∴，即，∴，∴x＝35时，.

故当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为.

故选：A.

10．已知直线与圆交于A，B两点，且，则k =（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】B

【分析】由，可知直线到圆心距离为，据此可得答案.

【详解】由图，可知，取AB中点为C，则由垂经定理可得，OC平分，故，即圆心到直线距离为，

则，结合，可得.

故选：B.

11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点到平面的距离，进而求出点到平面的距离，即可计算出三棱锥的体积．

【详解】解：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的半径，

所以点到平面的距离，

为球的直径，点到平面的距离为，

此棱锥的体积为，

故选：A．

12．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．

①三棱锥中，点P到面的距离为定值

②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为

③ 直线与面所成角的正弦值的范围为

④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为

以上命题为真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，对于①③用空间向量求解；对于②可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于④设球心，由求解球心坐标即可.

【详解】

以A为坐标原点，分别以为轴建系如图：

,，

，

设,

则，

所以

设面的一个法向量为，

则

令得，

对于①：到平面的距离为，故①正确；

对于②：连接，因为四边形为平行四边形，

，又面，面，

面，

同理可证面，

又，所以面面，

所以过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为，

它是边长为的等边三角形，故面积为，故②正确；

对于③：设直线与面所成角为，则，

，，

所以直线与面所成角的正弦值的范围为，故③正确；

对于④：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心，

，

，

解得，

所以外接球半径满足：，

三棱锥的外接球表面积为，故④正确；

综上：①②③④均正确.

故选：D

【点睛】几何体外接球球心的求法：

（1）将几何体置入长方体中找球心；

（2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心；

（3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标.

二、填空题

13．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值______．

【答案】

【分析】根据茎叶图可求得两组数据的中位数，进而构造方程求得的值.

【详解】由茎叶图可知：乙组数据的中位数为，

甲、乙两组数据的中位数相同，甲组数据的中位数为，即，解得：.

故答案为：.

14．已知点A在圆C：上，点B在直线上，则最小值是____.

【答案】

【分析】由题意可知最小值为圆心到直线的距离减去半径.

【详解】圆C：的圆心，半径，

圆心到直线的距离为：

，

由题意可知，

故答案为：.

15．下图为一个多面体的直观图和三视图，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞舞，则它飞入几何体EF-MBC内的概率为____.

【答案】##0.5

【分析】结合题目条件可得，.则蝴蝶飞入几何体EF-MBC内的概率为

【详解】由直观图可得，，

则.则蝴蝶飞入几何体EF-MBC内的概率为.

故答案为：.

16．已知实数x，y满足，则的最大值为______.

【答案】

【分析】利用几何意义转化为点到直线距离和两点距离之比，结合直线与圆的相切求解即可

【详解】不妨设点是圆上任一点，

则的几何意义为点到直线的距离，

过作的垂线，垂足为，则，

又表示点到原点的距离，

从而，

又直线与圆相切时，，解得，

所以当直线为圆的另一条切线时，最大，取最大值，

此时，

所以的最大值为，

故答案为：

三、解答题

17．已知的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．

(1)求BC边上的高所在直线的方程；

(2)求AB边的垂直平分线所在直线的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）BC边上的高所在直线过点A，且与直线BC垂直；

（2）AB边的垂直平分线过AB中点，且与直线AB垂直.

【详解】（1）边所在的直线的斜率，

因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．

又边上的高经过点，

所以边上的高所在的直线方程为，

即；

（2）边所在的直线的斜率，

所以边的垂直平分线的斜率为，

边中点E的坐标是，即，

所以AC边的垂直平分线的方程是

即．

18．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点．

(1)求证：；

(2)求证：平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，进而可得，又，则结论成立；

（2）利用线面平行的判定定理证明出面，由（1）可得面，再由面面平行的判定定理得出结论成立．

【详解】（1）平面，平面，；

四边形为正方形，；

平面，，平面，又平面，；

分别为的中点，，.

（2）四边形为正方形，且分别为，边的中点，，面，面，面，

由（1）知，面，面，面，又，平面平面．

19．某次人才招聘活动中，某公司计划招收600名新员工．由于报名者共2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取．现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下：

已知直方图中，左边四个小长方形的高度自左向右依次构成公比为2的等比数列．根据频率分布直方图解答以下问题：

（1）求；

（2）估计此次笔试的平均成绩；

（3）估计该公司此次招聘的录取分数线．

【答案】（1）    （2）67.1     （3）75

【分析】(1)先求出成绩在30到70的频率为0.6，然后根据条件列出方程求解即可.

（2）先求出成绩在各段的频率，由求平均数的公式可得答案.

（3）先求出录取的频率为0.3，从由右到左求出频率为0.3的点即可.

【详解】（1）笔试成绩在30到70的频率为

由左边四个小长方形的高度自左向右依次构成公比为2的等比数列，分别设为

所以，解得

所以

（2）成绩在各段的频率分布为：

平均值为：

（3）由于报名者共2000人，计划招收600名新员工，则

由成绩在80到100的频率为.

由于成绩在70到80之间的频率为0.2

所以被录取的分数在70到80之间的频率应为0.1，故录取成绩分数为75.

20．已知袋子中放有大小和形状相同，标号分别是0，1，2的小球，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球1个.从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b. 记“”为事件A．

(1)求事件A的概率；

(2)在区间内任取2个实数x，y，求事件“”恒成立的概率.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为，标号为2的小球记为2，再用坐标表示取球情况，可得取球总情况数，则；

（2）设事件“恒成立”为事件B，由题可得事件B等价于“恒成立”，又全部结果构成区域为，事件B所构成的区域，则所求概率为两区域面积之比.

【详解】（1）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为，标号为2的小球记为2，则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果：，

，，，共12种.其中满足“”的有，共4种.

故；

（2）设事件“恒成立”为事件B，因，故事件B等价于恒成立.又全部结果构成区域，事件B所构成的区域，如下图所示.

则.

21．在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点E满足．

（1）证明：GF∥平面ABC；

（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND，易得四边形CDNM是平行四边形，进而可得CM//DN，由中位线性质有GF//DN，则GF//CM，再应用线面平行的判定即可证结论.

（2）过B作BH⊥AC交AC于H，由多面体ABCDE体积最大即BH最大，可知AB=BC=，构建{,,}为正交基底的空间直角坐标系，求面ABE、面DBE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角ABED的余弦值.

【详解】（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND．

在梯形ACDE中，DC∥EA且DC=EA，且M，N分别为BA，BE中点，

∴MN//EA，MN=EA，

∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，

∴CM//DN，又，N为EB中点，

∴G为EN中点，又F为ED中点，

∴GF//DN，即GF//CM，又CM平面ABC，GF平面ABC，

∴GF∥平面ABC．

（2）在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．

∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH平面ABC，BH⊥AC，

∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，

又底面ACDE面积确定，要使多面体ABCDE体积最大，即BH最大，此时AB=BC=．

过点H作HP∥AE，易知HB，HC，HP两两垂直，

以{,,}为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H-xyz，

∴A(0,1,0)，B(1,0,0)，E(0,1,2)，D(0,1,1)，则=(1,1,0)，=(1,1,2)，=(0,2,1)．

设 =(x1,y1,x1)为平面ABE的一个法向量，则，即，取=(1,1,0)，

设=(x2,y2,z2)为平面DBE的一个法向量，则，即，取=(3,1,2)，

∴，由图知：二面角ABED为钝二面角，

∴二面角ABED的余弦值为.

22．平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在y轴的正半轴上，直线与圆相切．

(1)求圆的方程；

(2)设，过点作直线，交圆于P、Q两点，不在y轴上，过点作与直线垂直的直线，交圆于、两点，记四边形的面积为，求的最大值．

【答案】(1)

(2)7

【分析】(1)设圆心为(0,a)，a>0，结合直线与圆相切，计算出a＝2即可；

(2)假设直线方程，借助垂径定理计算出，结合两直线垂直关系同理可得，而，化简后借助基本不等式计算最大值即可.

【详解】（1）设圆心为(0,a)，a>0，则圆的方程为

∴，

∴a＝2，∴圆C的方程为；

（2）设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

（i）若，则直线斜率不存在，则，，则，

（ii）若，则直线得方程为，即，

则圆心到直线的距离，

所以，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

综上所述，因为，所以S的最大值为7.