2023曲靖一中高一下学期第一次阶段性检测试题数学PDF版含答案

曲靖市第一中学2025届高一下学期第一次阶段性测验

参考答案：

1．C

解:向量，，若与方向相反，

所以，解得..

2．C

解:由题，，∴.

3．A

解:由题意，得，，

则与的夹角的余弦值为．

4．A

解:由正弦定理得，

即，，

∵,∴，即，，

5．B

解:

在上的投影向量为

6．D

解:由题意，在中，由余弦定理，

；

因为，所以，

在中，由正弦定理所以，

解得

7．B

解：如图，因为点为的中点，，

所以，，

，

所以，即，解得

所以，的值为.

8．C

解,

即 ,

又 ,

,

即 ,

, 又.

由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，

再由余弦定理知, ,,

,

.

由等号左右两边同时乘以可得：

，

.

9．CD

解:选项A：复数的虚部为，故A错误；

选项B：在复平面内，复数的共轭复数为，

对应的点的坐标为，位于第二象限，故B判断错误；

选项C：，故C判断正确；

选项D：设，，对应的点的坐标为，由得，所以在以原点为圆心1为半径的圆内（含圆周），在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为，故D判断正确.

故选：CD

10．BCD

解:对A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；

对B，由图易得，直线平分角，

且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向，

易知均为含的直角三角形，故，则，

而，故，故，故B正确；

对C，，

，则，又，，

，，故C正确；

对D，由C知，则在上的投影向量为，故D正确.

故选：BCD.

11．AC

解:对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；

对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：

对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．

故选：AC.

12．AD

解:以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

A选项：易知，，，，所以，，

则，所以，所以A正确.

B选项：易知，，，，

，，所以，，，

所以，得，解得，，所以，所以B错误.

C选项：由选项A，B知，则，

，，所以C错误.

D选项：易知，，设，则，，

所以.因为，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值40.所以的取值范围是，所以D正确.

故选：AD.

13．

解因为，，

所以，

所以.

14．

解:设的中点是，连接，

由，可得，

因为，所以，

所以为的五等分点（靠近点），

即，

所以的面积为的面积的．

故答案为：.

15．或1

解:因为，

所以，

所以或，

当时，由可得的面积，

当时，，的面积，

所以的面积为或1.

故答案为：或1.

16．

解:在中，，，所以．

在中，，，从而，

由正弦定理得，，因此．

在中，，，得．

故答案为：．

17．解:（1），

故，

即，

化简得：，

故；

（2），

所以，

两式平方相加得：，

故.

18．解:（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，

在△AEF中，由正弦定理得：，

即，

解得；

（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

在Rt△ABE中，，

所以隧道长度．

19．解:（1）方法一：，

所以，

所以

.

方法二：在中，由正弦定理得：，

所以，

所以.

因为，所以，所以，

因为.

（2）方法一: ，

当且仅当时取，

，

.

方法二:

在中，由余弦定理得：

当且仅当取“=”）

所以,

所以的面积.

.

20．解:（1）因为，

所以 .

（2）①因为，

所以，所以；

②两人在t时刻相距，

所以

当时，即小时后，他们两人相距最短．

21．解:（1）在中，，故，

即，

同理可得：，

，为定值.

（2）在中，，

即，

故，

当且仅当时等号成立，

故当点是的中点时，三条小径的长度之和最小， 最小为 米.

22．解:（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.

则.

由于就是的夹角.

∴.

∴的余弦值为.

（2）设.

.

∴.

由题得.

①当点在上时，设，

∴；

②当点在上时，设，

∴舍去；

③当点在上时，设，

∴舍去；

④当点在上时，设，

∴.

综上，存在或者.