专题07 带电粒子在复合场中的运动 【讲】（原卷版）

专题07带电粒子在复合场中的运动

【要点提炼】

1.研究对象的重力能否忽略问题

(1)研究对象为液滴、小球等物体时，除非题目明确说明或暗示重力忽略不计，否则一般不能忽略重力。

(2)研究对象为质子、电子、α粒子等微观粒子时，除非有明确说明或暗示要考虑重力，否则一般不考虑重力。

2．组合场问题是指电场、磁场、重力场不重叠，研究对象在多种场中依次运动的问题，本质属于多过程问题，解题时注意不同过程之间的联系，转折点速度的大小和方向是前后两段过程的联系，此速度是前一过程的末速度，也是后一过程的初速度。

3．叠加场是指电场、磁场、重力场中其中的两个或三个重叠的场区，研究对象在叠加场中会受到多种场力，分析受力时不要漏掉，处理问题所用的规律仍然是解决力学问题的三大观点，注意洛伦兹力和研究对象的速度相互影响。

4．复合场问题经常同现代科技仪器联系。要熟练掌握常用仪器的原理、规律，比如速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件、质谱仪、回旋加速器等。

5．对带电粒子在交变电磁场中的运动问题，题目往往给出电场或磁场随时间的变化规律图象。在这类问题中，电场或磁场的变化及研究对象的运动往往呈周期性，逐段分析，找到周期性变化的规律是解决这类问题的关键。

【高考考向1　带电粒子在复合场中的运动】

命题角度1  带电粒子在组合场中的运动

例1. （2022·浙江·高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出，

（1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围；

（2）若区域Ⅰ的电场强度大小，区域Ⅱ的磁感应强度大小，求被探测到的电子刚从板M逸出时速度vM的大小及与x轴的夹角；

（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E的最大值和B2的最大值。

【答案】（1）；；（2）；；（3）；

【详解】（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能

（2）速度选择器

如图所示，几何关系

（3）由上述表达式可得

由

而v0sinθ等于光电子在板逸出时沿y轴的分速度，则有

即

联立可得B2的最大值

带电粒子在组合场中运动的解题思路

(1)明性质：要清楚场的性质、方向、强弱、范围等。

(2)定运动：带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况。

(3)画轨迹：正确画出粒子的运动轨迹。

(4)用规律：根据区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律进行处理。

(5)找关系：要明确带电粒子通过不同场区的交界处时速度大小和方向的关系，上一个区域的末速度往往是下一个区域的初速度。

1. （2022·江苏省海头高级中学二模）如图所示，在用阴极射线管测量阴极射线的比荷时，当给平行金属板a、b加上U的电压后，沿a、b中线OO'以一定速度运动的电子，恰好能从a板的边缘射出并打到荧光屏上。已知a、b的长度为L、两板间距为L，极板与荧光屏的距离也为L，P点是OO'延长线与荧光屏的交点。为了抵消阴极射线的偏转，在a、b间再加上垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场，射线恰好打到P点。将a、b间视为匀强电场，不考虑重力的影响。

（1）求阴极射线的比荷。

（2）若撤去电场只保留磁场，荧光屏上是否会出现亮点？若有说明位置，没有说明原因。

命题角度2  带电粒子在叠加场中的运动

例2. （2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。

（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；

（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；

（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）；

（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。

【答案】（1）；（2）；（3）（d，d，）；（4）

【详解】（1）如图所示

将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有

联立解得

（2）离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示

由洛伦兹力提供向心力可得

，

可得

为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足

，

联立可得

要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；

（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为

离子在磁场II中的轨迹半径为

离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过平面的坐标为

离子第四次穿过平面的坐标为

故离子第四次穿过平面的位置坐标为（d，d，）。

（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得

可得

离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为

，

离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为

，

根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示

从点进入磁场到第一个交点的过程，有

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为

带电粒子在叠加场中运动的处理方法

(1)弄清叠加场的组成。

(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。

(3)画出粒子的运动轨迹。

①若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态，例如电场与磁场中满足qE＝qvB时、重力场与磁场中满足mg＝qvB时、重力场与电场中满足mg＝qE时。

②若三场共存，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。

③若三场共存，粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，qvB＝m。

④当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动量定理、动能定理或能量守恒定律求。

2. （2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）质谱仪是利用电场和磁场分析带电粒子性质的仪器，某同学设计的一种质谱仪结构如图所示。一对平行金属板的板间距为，板间电压为，上极板带正电，右端紧挨着上板垂直放置一足够大的荧光屏。两平行板间区域为Ⅰ，区域为Ⅱ，。两区域均分布有垂直纸面向里，磁感应强度为的匀强磁场。以下问题中均不考虑带电粒子的重力和带电粒子之间的相互作用。

（1）某带电粒子沿两板间中线射入后沿直线运动进入区域Ⅱ，恰好垂直边界射出，判断带电粒子的电性，求出粒子的比荷以及粒子在区域Ⅱ中的运动时间；

（2）仅将（1）问中的粒子电性改变，而且将大量这样的粒子从两极板左端口从上到下均匀排列，沿平行极板方向源源不断地射入板间。求某时刻击中荧光屏的粒子个数与它们射入极板间时射入总数的比值；

（3）在（2）问中若屏上某点接收到粒子流形成的电流为Ⅰ，假设粒子击中屏后速度变为零，求粒子对屏的平均撞击力大小。

命题角度3  带电粒子在交变电磁场中的运动

例3. （2022·山东青岛·二模）如图甲，三维坐标系中平面的左侧虚线区域内存在一未知电场，平面的右侧存在平行轴方向周期性变化的磁场和沿轴正方向竖直向上的匀强电场，电场强度。一质量、电荷量的带正电液滴，从平面内的点沿轴方向以的初速度进入未知电场区域，经过到达原点第1次经过轴，此时速度大小，方向在平面内与轴正向成角斜向下。把液滴到达原点的时刻记为，此时磁场沿轴负方向，磁场随时间变化的关系如图乙所示，其中、，重力加速度。

（1）求液滴从点到原点的过程中，受到的电场力的冲量大小；

（2）求液滴从第1次到第4次经过轴的时间间隔；

（3）在时刻撤去电场和磁场，同时在整个空间区域加上竖直向上的匀强磁场，磁感应强度，求液滴继续运动过程中达到最大高度时的位置坐标。

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）液滴从点到原点的过程中，根据动量定理

水平方向：

竖直方向：

，

解得：

电场的冲量大小为

（2）液滴进入平面的右侧后

相当于只受磁场力，根据向心力公式：

其中，解得：

且

同理

其中，解得

且

则

（3）在时，液滴的速度在平面内，与轴夹角。后螺旋上升，

上升时间为：

高度

圆周运动的半径

半径为

周期为

所以上升过程相当于

，

因此液滴在最高点的坐标为

交变电磁场问题的处理思路

交变电磁场具有周期性，画好研究对象运动的轨迹图，按时间顺序结合图象将转折点信息在图上标注，对一个周期内的不同过程选择各自所用的规律分析解决，进而解决问题。

3.（2022·河北·高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：

（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；

（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；

（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。

【高考考向2　带电粒子在复合场中运动的应用实例】

命题角度1  复合场在生产、生活、科技中的应用

例4.（2022·湖南·雅礼中学二模）武汉病毒研究所是我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图乙所示模型：废液内含有大量正负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出，流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是（　　）

A．只需要测量磁感应强度B、直径d及MN两点电压U，就能够推算污水的流量

B．只需要测量磁感应强度B及MN两点电压U，就能够推算污水的流速

C．当磁感应强度B增大时，污水流速将增大

D．当污水中离子浓度升高时，MN两点电压将增大

【答案】A

【详解】AB．废液流速稳定后，粒子受力平衡，有

解得废液的流速

废液流量

解得

只需要测量磁感应强度B、直径d及MN两点电压U，就能够推算污水的流量，而要测量出废液的流速，除需要测量磁感应强度B及MN两点电压U外，还需要测量出圆柱形容器直径d，故A正确，B错误；

C．电磁流量计可利用

的表达式来测出污水的流速，但是不能通过改变磁感应强度B来改变污水的流速，故C错误；

D．由

可知

可知MN两点电压与磁感应强度B、流量Q、直径d有关，而与离子的浓度无关，故D错误；

故选A。

1．组合场在生产、生活、科技中应用实例的分析思路

(1)建立组合场模型。如例4，组合场由M、N之间的电场和虚线框中的匀强磁场组成。

(2)建立运动模型。如例4，电子在电场中做加速直线运动，在磁场中做匀速圆周运动。

(3)选择解题方法。如例4，电子在电场中的运动运用动能定理，在磁场中的运动运用牛顿第二定律和向心力公式。

2．有关回旋加速器的两个核心观点

(1)带电粒子在缝隙的电场中一直加速，故交变电流的周期应与粒子在磁场中做圆周运动的周期相等。

(2)带电粒子在磁场中偏转，半径不断增大，周期不变，最大动能与D形盒的半径有关。

4-1. （2022·江苏省昆山中学模拟预测）自行车速度计可以利用霍尔效应传感器获知自行车的运动速率。如图甲所示，一块磁铁安装在前轮上，轮子每转一圈，磁铁就靠近传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压。如图乙所示，电源输出电压为U1，当磁场靠近霍尔元件时，在导体前后表面间出现电势差U2（前表面的电势低于后表面的电势）。下列说法中错误的是（　　）

A．图乙中霍尔元件的载流子带负电

B．已知自行车车轮的半径，再根据单位时间内的脉冲数，即获得车速大小

C．若传感器的电源输出电压U1变大，则霍尔电势差U2变大

D．若自行车的车速越大，则霍尔电势差U2越大

4-2. （2022·山东济宁·一模）如图所示为磁流体发电机的示意图。等离子体高速射入磁场中，由于磁场对等离子体产生力的作用，A、B两板间就会产生电压。若平行板A、B的正对面积为S，板间距离为d，A、B间的磁感应强度为B，等离子体的流速为v，等效电阻率为，与极板相连的外电阻为R，下列说法正确的是（　　）

A．该发电机A板为负极，B板为正极

B．外电阻两端的电压大小为

C．稳定时电流表的示数为

D．仅增加外电阻的阻值，该发电机的输出功率一定增大

4-3. （2022·广东·模拟预测）如图甲是霍尔效应的模型图，导体的宽度、长度、厚度分别为、、，磁感应强度为的匀强磁场垂直导体的前后表面向里，与磁场垂直向右的电流是正电荷的运动形成的，已知霍尔电压为，与通过导体的电流成正比，与沿着磁场方向导体的厚度成反比，是常数；如图乙是电磁流量计的模型图，长方形管道的宽度、长度、厚度分别为、、，磁感应强度为的匀强磁场垂直管道的上表面向下，带负离子的液体向右运动的速度与磁场垂直。液体的流量指单位时间内流过管道横截面的液体体积，则下列说法正确的是（　　）

A．对甲图，导体下端面的电势低于上端面的电势

B．对甲图，霍尔电压与c成正比

C．对乙图，导体后端面与前端面的电势差为Bav

D．对乙图，液体的流量为abv