专题10.10分式方程的应用大题专练（重难点 30题）- 2022-2023学年八年级数学下册 必刷题【苏科版】

2022-2023学年八年级数学下册 必刷题【苏科版】

专题10.10分式方程的应用大题专练（重难点培优30题）

班级：___________________   姓名：_________________   得分：_______________

注意事项：

本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一．解答题（共30小题）

1．（2022春•吴中区校级月考）为落实“文明吴中”的工作部署，市政府计划对吴中道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．求甲工程队每天能改造道路的长度是多少米？

【分析】设甲工程队每天能改造道路的长度是x米，则乙工程队每天能改造道路的长度是x米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．

【解答】解：设甲工程队每天能改造道路的长度是x米，则乙工程队每天能改造道路的长度是x米，

根据题意得：3，

解得：x＝120，

经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意．

答：甲工程队每天能改造道路的长度是120米．

2．（2022•泉山区校级三模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料．某硅胶制品有限公司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，甲车间每天生产的硅胶外壳数量是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天．求乙车间每天生产硅胶外壳个数．

【分析】设乙车间每天生产硅胶外壳x个，则甲车间每天生产硅胶外壳2x个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．

【解答】解：设乙车间每天生产硅胶外壳x个，则甲车间每天生产硅胶外壳2x个，

根据题意得：1，

解得：x＝2000，

经检验，x＝2000是所列方程的解，且符合题意．

答：乙车间每天生产硅胶外壳2000个．

3．（2022•亭湖区校级模拟）每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买A、B两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知A种图书的单价比B种图书的单价多10元，且购买4本A种图书和3本B种图书共需花费180元．

（1）A、B两种图书的单价分别为多少元？

（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买A种图书多少本？

【分析】（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，根据“A种图书的单价比B种图书的单价多10元，且购买4本A种图书和3本B种图书共需花费180元”列出方程组，解之即可；

（2）设购买A种图书a本，根据“投入总经费不超过1300元”列出不等式，求出最大整数解即可．

【解答】解：（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，

由题意可得：，

解得：，

∴A种图书单价30元，B种图书单价20元；

（2）设购买A种图书a本，

由题意可得；30a+20（50﹣a）≤1300，

解得：a≤30，

∴最多可以购买30本A种图书．

4．（2022秋•如东县期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．

（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；

（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？

【分析】（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据第二批购进数量是第一批箱数的倍，列方程求解；

（2）设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．

【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，

根据题意，得

解得：x＝200

经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．

（2）设每箱饮料的标价为y元，

根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）

解得：y≥296

答：至少标价296元．

5．（2022•涟水县一模）涟城社区计划给1800名居民注射新冠疫苗加强针，实际每天注射疫苗的人数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天注射完成，求实际每天注射疫苗的有多少人？

【分析】设实际每天注射疫苗x人，则原计划每天注射疫苗x人，由题意：某社区计划给2400名居民注射新冠疫苗，实际比原计划少用2天注射完成，列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：设实际每天注射疫苗x人，则原计划每天注射疫苗x人，

由题意得：2，

解得：x＝450，

经检验，x＝450是原方程的解，

答：实际每天注射疫苗450人．

6．（2022•邗江区二模）今年的3月12日植树节当天，某学校组织了该校九年级学生参加“用劳动创造美，让校园更绿色”的主题教育活动．本次主题教育活动学校购买了相同数量的桃树、梨树树苗，已知购买的桃树和梨树的树苗分别花费了210元和180元，且已知购买的桃树树苗单价比梨树的树苗单价多5元，问桃树的单价是多少？

【分析】设桃树树苗的单价为x元，则梨树树苗的单价为（x﹣5）元，由题意：购买了相同数量的桃树、梨树树苗，已知购买的桃树和梨树的树苗分别花费了210元和180元，列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：设桃树树苗的单价为x元，则梨树树苗的单价为（x﹣5）元，

根据题意，得：，

解得：x＝35，

经检验，x＝35是所列方程的根，且符合题意，

答：桃树树苗的单价为35元．

7．（2022春•六合区校级月考）在疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某商店用4000元购进若干包一次性口罩，售完后又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数是第一批所进包数的1.5倍，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，求购进的第一批口罩有多少包？

【分析】设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有1.5x包，根据“每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元”列出方程并解答即可．

【解答】解：设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有1.5x包，

根据题意得：，

解得：x＝2000，

经检验，x＝2000是原分式方程的解，且符合题意．

答：购进的第一批医用口罩有2000包．

8．（2022春•江阴市校级月考）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米．若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．求每个A，B类摊位的占地面积．

【分析】设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，根据“用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每个B类摊位的占地面积，再将其代入（x+2）中即可求出每个A类摊位的占地面积．

【解答】解：设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，

依题意得：，

解得：x＝3，

经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，

∴x+2＝3+2＝5．

答：每个A类摊位的占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米．

9．（2022春•太仓市校级月考）近期，受俄乌局势影响，国内汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息（如图），计算今年4月份汽油的价格．

【分析】设去年10月份汽油价格每升为x元，则今年4月份的汽油价格每升为（1+20%）x元，由题意：用450元给汽车加油，今年4月份的加油量比去年少10升，列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：设去年10月份汽油价格每升为x元，则今年4月份的汽油价格每升为（1+20%）x元，

由题意得：10，

解得：x＝7.5，

经检验，x＝7.5是原方程的解，且符合题意，

则（1+20%）x＝（1+20%）×7.5＝9，

答：今年4月份的汽油价格每升为9元．

10．（2022秋•崇川区校级月考）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．

（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？

（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？

【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量．

（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．

（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．

【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：

，

解得：m＝9．

经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．

答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；

（2）设购进A款汽车x辆．则：

99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．

解得：6≤x≤10．

∵x的正整数解为6，7，8，9，10，

∴共有5种进货方案；

（3）设总获利为W万元，购进A款汽车y辆，则：

W＝（9﹣7.5）y+（8﹣6﹣a）（15﹣y）＝（a﹣0.5）y+30﹣15a．

当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同．

11．（2022•亭湖区校级开学）某商场在“六一”儿童节来临之际用3000元购进A、B两种玩具1100个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．已知A玩具的单价是B玩具单价的1.2倍．

（1）求A、B两种玩具的单价各是多少？

（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具共2600个，已知A、B两种玩具的进价不变，求A种玩具最多能购进多少个？

【分析】（1）设B种玩具的单价为x元，则A种玩具的单价为1.2x元，由“用3000元购进A、B两种玩具1100个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同”，列出分式方程，解方程即可；

（2）设购进A种玩具m个，则购进B种玩具（2600﹣m）个，由题意：用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具共2600个，列出一元一次不等式，解不等式即可．

【解答】解：（1）设B种玩具的单价为x元，则A种玩具的单价为1.2x元，

由题意得：1100，

解得：x＝2.5，

经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，

∴1.2x＝3，

答：A种玩具的单价是3元，B种玩具的单价是2.5元；

（2）设购进A种玩具m个，则购进B种玩具（2600﹣m）个，

由题意得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，

解得：m≤1000，

∴A种玩具最多能购进1000个，

答：A种玩具最多能购进1000个．

12．（2022春•仪征市期末）随着高考、中考的到来，某服装店老板预测有关“势在必得”“逢考必过”之类的短袖T恤衫能畅销，委托某服装车间加工280件此类服装，现分配给甲、乙两人加工，已知乙加工的件数比甲的2倍少80件．

（1）甲、乙加工服装件数分别是 　120　件和 　160　件；

（2）若乙每天比甲多加工5件，且两人所用时间相同，求乙每天加工服装件数．

【分析】（1）设甲加工服装x件，则乙加工服装（2x﹣80）件，由题意：某服装车间加工280件此类服装，现分配给甲、乙两人加工，列出一元一次方程，解方程即可；

（2）设乙每天加工服装m件，则甲每天加工服装（m﹣5）件，由题意：两人所用时间相同，列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：（1）设甲加工服装x件，则乙加工服装（2x﹣80）件，

由题意得：x+2x﹣80＝280，

解得：x＝120，

则2x﹣80＝2×120﹣80＝160，

即甲加工服装120件，则乙加工服装160件，

故答案为：120，160；

（2）设乙每天加工服装m件，则甲每天加工服装（m﹣5）件，

由题意得：，

解得：m＝20，

经检验，m＝20是原方程的解，且符合题意，

答：乙每天加工服装20件．

13．（2022春•惠山区校级期中）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．某校准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：B种垃圾桶每组的单价比A种垃圾桶每组的单价贵150元，且用9000元购买A种垃圾桶的数量与用13500元购买B种垃圾桶的数量相等．

（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；

（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？

【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，利用数量＝总价÷单价，结合用9000元购买A种垃圾桶的数量与用13500元购买B种垃圾桶的数量相等，即可得出关于x的分式方程，经检验后即可得出A种垃圾桶每组的单价，再将其代入（x+150）中即可求出B种垃圾桶每组的单价；

（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过8000元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．

【解答】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，

依题意得：，

解得：x＝300，

经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，

∴x+150＝300+150＝450．

答：A种垃圾桶每组的单价是300元，B种垃圾桶每组的单价是450元．

（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，

依题意得：300（20﹣y）+450y≤8000，

解得：，

又∵y为正整数，

∴y的最大值为13．

答：最多可以购买B种垃圾桶13组．

14．（2022春•涟水县期末）某校为美化校园环境，计划对面积为1200m2的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360m2区域的绿化时，甲队比乙队少用2天．求甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少m2？

【分析】设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5xm2，根据工作时间＝总工作量÷工作效率结合在独立完成面积为360m2区域的绿化时甲队比乙队少用2天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5xm2，

依题意，得：，

解得：x＝60，

经检验，x＝60是原方程的解．

∴1.5x＝90．

答：甲工程队每天能完成绿化的面积是90m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是60m2．

15．（2022春•镇江期末）句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度．

【分析】设小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时．由题意：小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：设小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时．

根据题意得：，

解得：x＝3，

经检验，x＝3是分式方程的解，且符合题意，

答：小红爬山的速度为3千米/小时．

16．（2022秋•利川市期末）利川工夫红茶采制工艺精细，大致分为采摘、初制和精制三个主要过程．现有甲、乙两采摘队在同一块茶田采摘茶叶，甲队比乙队每小时多采摘30kg，甲队采摘300kg所用的时间与乙队采摘240kg所用的时间相同．

（1）甲、乙两队每小时各采摘多少kg茶叶？

（2）如果甲队单独采摘3个小时完成了整块田的，这时乙队加入进来，两队还要用多少小时完成这块田的采摘任务？

【分析】（1）设乙队每小时采摘xkg茶叶，则甲队每小时采摘（x+30）kg茶叶，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲队采摘300kg所用的时间与乙队采摘240kg所用的时间相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出乙队每小时采摘茶叶的重量，再将其代入（x+30）中，即可求出甲队每小时采摘茶叶的重量；

（2）由甲队单独采摘3个小时完成了整块田的，可求出整块田可采摘茶叶的重量，设两队还要用y小时完成这块田的采摘任务，利用工作总量＝工作效率×工作时间，可得出关于y的一元一次方程，解之即可求出结论．

【解答】解：（1）设乙队每小时采摘xkg茶叶，则甲队每小时采摘（x+30）kg茶叶，

根据题意得：，

解得：x＝120，

经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意，

∴x+30＝120+30＝150．

答：甲队每小时采摘150kg茶叶，乙队每小时采摘120kg茶叶；

（2）150×31800（kg）．

设两队还要用y小时完成这块田的采摘任务，

根据题意得：150（3+y）+120y＝1800，

解得：y＝5．

答：两队还要用5小时完成这块田的采摘任务．

17．（2022秋•阳泉期末）奶枣是当下网红食品之一．某商家用6000元购进若干袋奶枣，很快售完，该店又用9600元钱购进第二批这种奶枣，所进的数量比第一批多50%，每袋奶枣的进价比第一批每袋奶枣的进价多2元，请解答下列问题：

（1）求购进的第一批奶枣有多少袋？

（2）为稳定市场，在这两批奶枣的销售中售价保持了一致，若售完这两批奶枣的总利润不高于3400元钱，那么商家销售这种奶枣每袋的最高售价是多少元？

【分析】（1）设购进的第一批奶枣有x袋，则购进的第二批奶枣有（1+50%）x袋，利用单价＝总价÷数量，结合第二批每袋奶枣的进价比第一批每袋奶枣的进价多2元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；

（2）设商家销售这种奶枣每袋的售价是y元，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合售完这两批奶枣的总利润不高于3400元钱，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．

【解答】解：（1）设购进的第一批奶枣有x袋，则购进的第二批奶枣有（1+50%）x袋，

根据题意得：2，

解得：x＝200，

经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意．

答：购进的第一批奶枣有200袋；

（2）设商家销售这种奶枣每袋的售价是y元，

根据题意得：200y+200×（1+50%）y﹣6000﹣9600≤3400，

解得：y≤38，

∴y的最大值为38．

答：商家销售这种奶枣每袋的最高售价是38元．

18．（2022秋•招远市期末）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．

（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；

（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前3分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？

【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；

（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．

【解答】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，

由题意得：，

解得：x＝6，

经检验，x＝6是原方程的解，

则1.5x＝9，

答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；

（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9（小时），

小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60（小时），

设小李跑步的速度为m千米/小时，

由题意得：1.5+（）m≥4.5，

解得：m，

答：为了至少提前3分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时．

19．（2022秋•河西区期末）八年级甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树？

（Ⅰ）若设甲班每小时种x棵树，利用题目中的条件填写表格；

（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．

【分析】（Ⅰ）设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，则甲班所用时间为小时，由乙班种66棵树，得乙班所用时间为小时即可；

（Ⅱ）由题意：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：（Ⅰ）设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，

∴甲班所用时间为小时，

∵乙班种66棵树，

∴乙班所用时间为小时，

故答案为：，66，；

（Ⅱ）由题意得：，

解得：x＝20，

经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，

则x+2＝22，

答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．

20．（2022秋•和硕县校级期末）足球是世界第一运动，参与足球运动可以锻炼身体，陶冶情操．“高新美少年，阳春蹴鞠忙”，让学生走出教室，走进阳光，让每一位学生健康、快乐成长，是高新一中初中校区一直秉承的理念．本月，我校第四届校园足球联赛落下了帷幕，并取得了四满成功．为了举办本次活动，我校在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2600元，购买乙种足球共花费1328元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2.5倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花18元．求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？

【分析】设一个甲种足球需要x元，根据题意列出方程即可求出答案．

【解答】解：设一个甲种足球需要x元，

∴一个乙种足球需要（x+18）元，

由题意可知：2.5，

解得：x＝65，

经检验，x＝65是原方程的解，

∴x+18＝83，

答：购买一个甲种足球、一个乙种足球各需65和83元

21．（2022•百色）金鹰酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：

（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？

（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电1.5度；据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时．若电费0.8元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围？

【分析】（1）设乙工程队每天安装x台空调，则甲工程队每天安装（x+5）台空调，根据甲、乙两个工程队同时完成安装任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设每天有m（100≤m≤140）间客房有旅客住宿，利用每天所有客房空调所用电费W＝电费的单价×每天旅客住宿耗电总数，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数上点的坐标特征，即可求出W的取值范围．

【解答】解：（1）设乙工程队每天安装x台空调，则甲工程队每天安装（x+5）台空调，

依题意得：，

解得：x＝15，

经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，

∴x+5＝15+5＝20．

答：甲工程队每天安装20台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务．

（2）设每天有m（100≤m≤140）间客房有旅客住宿，则W＝0.8×1.5×8m＝9.6m．

∵9.6＞0，

∴W随m的增大而增大，

∴9.6×100≤W≤9.6×140，

即960≤W≤1344．

答：该酒店每天所有客房空调所用电费W（单位：元）的范围为不少于960元且不超过1344元．

22．（2022秋•荣昌区期末）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，县委县政府积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．

（1）求原计划每天铺设路面多少米？

（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？

【分析】（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合共用13天完成道路改造任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据总工资＝每天支付的工资×工作天数，即可求出结论．

【解答】解：（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，

依题意，得：13，

解得：x＝80，

经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．

答：原计划每天铺设路面80米．

（2）15001500×（1+20%）21900（元）．

答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元．

23．（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．

（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？

（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．

（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？

【分析】（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；

（2）根据题意求出a的取值范围，并求出w与a的关系式解答即可；

（3）根据题意列出不等式并解答．

【解答】解：（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，

根据题意，得，

解得x＝40，

经检验x＝40是所列方程的根，并符合题意．

所以x﹣5＝35，

答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；

（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（40+35）×（1﹣20%）＝60（元），

当购买a套雨衣和雨鞋a≤5时，费用为w＝0.9x60a＝54a；

当购买a套雨衣和雨鞋a＞5时，费用为w＝0.9×60×5+（a﹣5）×60×0.8＝48a+30，

∴W关于a的函数关系式为：w；

（3）由题意得：48a+30≤320，解得a，

答：最多可购买6套．

24．（2022秋•天河区校级期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成这项工程需要120天，若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做，36天可完成．

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.6万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，该工程是由甲队或乙队单独完成省钱，还是由甲、乙两队全程共同完成省钱？说明理由．

【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意：甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可；

（2）设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，结合（1）的结果列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．

【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，

由题意得：20+（）×36＝1，

解得：x＝80，

经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，

答：乙队单独完成这项工程需要80天；

（2）由甲、乙两队全程共同完成更省钱．理由如下：

由乙队独做需费用：2.6×80＝208（万元），

甲队独做工期超过90天，不符合要求，

设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，

由题意得：（）y＝1，

解得：y＝48，

需要施工费用 为（1.5+2.6）×48＝196.8（万元），

∵196.8＜208，

∴由甲、乙两队全程共同完成更省钱．

25．（2022秋•丛台区校级期末）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；

（3）若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．

试问：

（1）规定日期是多少天？

（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．

【分析】方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，求出费用即可判断，方案（2）显然不符合要求．

【解答】解：（1）设规定日期为x天．由题意得

1，

3（x+6）+x2＝x（x+6），

3x＝18，

解之得：x＝6．

经检验：x＝6是原方程的根．

答：规定日期6天；

（2）方案（1）：1.2×6＝7.2（万元）；

方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；

方案（3）：1.2×3+0.5×6＝6.6（万元）．

∵7.2＞6.6，

∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．

26．（2022秋•荆门期末）市政部门在一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务．

（1）求原计划每天铺设路面的长度；

（2）若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．

【分析】（1）设原计划每天铺设路面的长度为xm，则后来每天铺设路面的长度为（1+20%）xm，由题意：结果共用32天完成这一任务．列出分式方程，解方程即可；

（2）求出完成整个工程市政部门应该支付的工人工资，即可解决问题．

【解答】解：（1）设原计划每天铺设路面的长度为xm，则后来每天铺设路面的长度为（1+20%）xm，

根据题意，得：32，

解得：x＝10，

经检验：x＝10是原分式方程的解，且符合题意，

答：原计划每天铺设路面的长度为10m；

（2）所准备的流动资金够支付工人工资，理由如下：

后来每天铺设路面的长度为：（1+20%）x＝1.2×10＝12（m），

完成整个工程市政部门应该支付工人工资为：120÷10×600+（360﹣120）÷12×600×（1+30%）＝7200+15600＝22800（元），

∵22800＜25000，

∴所准备的流动资金够支付工人工资．

27．（2022秋•德州期末）“疫情未结束，防疫不放松”某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题．

（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；

（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？

【分析】（1）设B种防疫用品每箱的成本为x元，则A种防疫用品每箱的成本为（x+500）元，根据用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出B种防疫用品每箱的成本，再将其代入（x+500）中，即可求出A种防疫用品每箱的成本；

（2）设生产B种防疫用品m箱，则生产A种防疫用品（50﹣m）箱，利用“该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该工厂有6种生产方案．

【解答】解：（1）设B种防疫用品每箱的成本为x元，则A种防疫用品每箱的成本为（x+500）元，

根据题意得：，

解得：x＝1500，

经检验，x＝1500是所列方程的解，且符合题意，

∴x+500＝1500+500＝2000．

答：A种防疫用品每箱的成本为2000元，B种防疫用品每箱的成本为1500元．

（2）设生产B种防疫用品m箱，则生产A种防疫用品（50﹣m）箱，

根据题意得：，

解得：20≤m≤25，

又∵m为正整数，

∴m可以为20，21，22，23，24，25，

∴该工厂有6种生产方案．

28．（2022秋•万全区期末）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．

（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？

（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？

【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列方程即可得到结论；

（2）根据题意列式计算即可．

【解答】解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，

根据题意得：，

解得：x＝45，

经检验，x＝45是原分式方程的解．

答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．

（2）根据题意得：（天），

答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．

29．（2022秋•黄陂区期末）一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h．

（1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为 　　h．

（2）求汽车实际走完全程所花的时间；

（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以mkm/h的速度行驶，另一半路程以nkm/h的速度行驶（m≠n），朋友提醒他一半时间以mkm/h的速度行驶，另一半时间以nkm/h的速度行驶更快，你觉得谁的方案更快？请说明理由．

【分析】（1）根据时间＝路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的时间；

（2）根据提速后比原计划提前40min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（）中即可求出结论；

（3）利用时间＝路程÷速度，分别找出按照司机及朋友的方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论．

【解答】解：（1）∵设前一小时行驶的速度为xkm/h，且提速后的速度为原来速度的1.5倍，

∴提速后走完剩余路程的时间为（h）．

故答案为：．

（2）依题意，得：，

解得：x＝60，

经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，

∴．

答：汽车实际走完全程所花的时间为h．

（3）朋友的方案更快，理由如下：

按照司机的方案所需时间为h；

按照朋友的方案所需时间为h．

．

∵m，n均为正数，且m≠n，

∴（m﹣n）2＞0，mn（m+n）＞0，

∴0，即0，

∴朋友的方案更快．

30．（2022•南京模拟）某商场准备购进A、B两种商品进行销售，若每件A商品的进价比每件B商品的进价少8元，且用2000元购进A商品的数量与用2400元购进B商品的数量相同．

（1）求每件A、B商品的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进A商品的数量比B商品的数量的3倍少8件，且购进A、B两种商品的总数量不超过120件，则商场最多购进B商品多少件？

（3）在（2）的条件下，如果A、B两种商品的售价分别为80元/件和88元/件，且将购进的两种商品全部售出后，可使销售这两种商品的总利润不低于4480元，那么该商场有哪几种进货方案？

【分析】（1）设每件A进价为每件x元、则B商品每件（x+8）元，再根据用2000元购进A商品的数量与用2400元购进B商品的数量相同，列分式方程，再解方程可得答案；

（2）设购进B商品m件，则购进A商品（3m﹣8）件，再根据购进A、B两种商品的总数量不超过120件，再列不等式，解不等式即可得到答案；

（3）由（2）得：购进B商品m件，则购进A商品（3m﹣8）件，再列不等式（80﹣40）（3m﹣8）+（88﹣48）m≥4480，结合（2）可得：30≤m≤32，从而可得进货方案．

【解答】解：（1）设每件A进价为每件x元、则B商品每件（x+8）元，则，

解得：x＝40，

经检验：x＝40是原方程的解，且符合实际意义，

∴x+8＝48，

答：每件A进价为每件40元、则B商品每件48元．

（2）设购进B商品m件，则购进A商品（3m﹣8）件，则m+3m﹣8≤120，

解得：m≤32，

∵m为整数，∴m的最大值为32，

答：商场最多购进B商品32件．

（3）由（2）得：购进B商品m件，则购进A商品（3m﹣8）件，则（80﹣40）（3m﹣8）+（88﹣48）m≥4480，

整理得：160m≥4800，

解得：m≥30，

结合（2）可得：30≤m≤32，

∵m为整数，则m＝30或m＝31或m＝32，

∴购进A商品82件，或85件，或88件，

∴该商场有3种进货方案，分别是：

①A商品进货82件，B商品进货30件，②A商品进货85件，B商品进货31件，③A商品进货88件，B商品进货32件．