专题9.9正方形的性质专项提升训练（重难点 ）- 2022-2023学年八年级数学下册 必刷题【苏科版】

2022-2023学年八年级数学下册 必刷题【苏科版】

专题9.9正方形的性质专项提升训练（重难点培优）

班级：___________________   姓名：_________________   得分：_______________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（    ）

A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分

【答案】B

【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．

【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，

矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，

所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．

故选：B．

【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．

2．（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ）

A．5 B．6 C．12 D．13

【答案】D

【分析】利用勾股定理即可求解.

【详解】解：∵∠C=90∘，

∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，

∴正方形面积S=AB2=13，

故选D.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.

3．（2021秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(    ).

A．22.5° B．45° C．30° D．135°

【答案】A

【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，

∵四边形AEFC是菱形，

∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，

故选：A．

【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．

4．（2021秋·江苏南京·八年级校联考期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（　　）

A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD

【答案】D

【分析】首先根据题意画出图形，再由四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GFAC，GF=AC，同理可得IGBD，IG=BD，易求AC=BD，又由于GFAC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IGBD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．

【详解】解：如图所示，

四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，

∵四边形EFGI是正方形，

∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，

又∵G、F是AD、CD中点，

∴GF是△ACD的中位线，

∴GFAC，GF＝AC，

同理有IGBD，IG＝BD，

∴AC＝BD，

即AC＝BD，

∵GFAC，∠IGF＝90°，

∴∠IHO＝90°，

又∵IGBD，

∴∠BOC＝90°，

即AC⊥BD，

故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等，即：AC＝BD且AC⊥BD．

故选：D．

【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线．

5．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在边长为1的正方形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设DE的长为x，过点E作EG⊥AC于点G，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EG=ED=x，再根据正方形的性质可得AEGC是等腰直角三角形，可得，根据DC=DE+EC，从而求出x的值，即DE的长．

【详解】解：如图，过点E作EG⊥AC于点G，

设DE的长为x，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=90°，∠ACD=45°，CD=1．

∵EG⊥AC，且AE平分∠CAD，

∴EG=DE=x．

在△EGC中，∠EGC=90°，∠ECG=45°，

∴∠CEG=∠ECG=45°，

∴CG=EG=x，

∴，

∴，

解得：，

即DE的长为．

故选：A

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质等，利用角平分线的性质添加辅助线是解题的关键．

6．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④=中，错误的有（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④=；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．用反证法可证明AO≠OE．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=AD，

∵CE=DF，

∴DE=AF，

∴△ADE≌△BAF，

∴AE=BF（故①正确）；

=，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA，

∵=-，

=-，

∴=（故④正确）；

∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°，

∴∠AFB+∠EAF=90°，

∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；

假设AO=OE，

∵AE⊥BF，

∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），

∵在Rt△BCE中，BE＞BC，

∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，

∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；

故错误的只有一个．

故选：A．

【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．

7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】如图，首先把旋转到，然后利用全等三角形的性质得到，，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长，本题得以解决．

【详解】解；如图，把F绕A逆时针旋转90°得到，

∴，

∴，

∴，

∴G、B、E三点共线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

设，

∵，

∴，

则，

∴，

∵，

∴，

解得，，

∴BE的长为2．

故选：A．

【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答

8．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，等边与正方形重叠，其中D，E两点分别在上，且．若，则的面积为（    ）

A．7.5 B．8 C．6 D．10

【答案】C

【分析】作,垂足分别为M，N，证明，得到，根据面积公式计算选择即可．

【详解】如图，作,垂足分别为M，N，

因为正方形，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为等边，，，

所以等边，，

所以，

所以，

故选C．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型的构造是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上

9．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）“正方形既是矩形又是菱形”是____事件．（填“必然”、“随机”、“不可能”）

【答案】必然

【分析】根据正方形、矩形、菱形的性质、随机事件的定义解答．

【详解】正方形四个都是直角，是矩形，

正方形四条边都相等，是菱形，

正方形既是矩形，又是菱形，是必然事件；

故答案为：必然．

【点睛】本题主要考查了随机事件、正方形的性质以及矩形、菱形的判定，正确掌握矩形、菱形的判定方法是解题关键．

10．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形中，，，则_________°．

【答案】50

【分析】利用，求得，再利用平行线的性质即可解答本题．

【详解】解：如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，

∴．

故答案为：50．

【点睛】本题考查正方形的性质及平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解答关键．

11．（2022秋·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是_______．

【答案】45°##度

【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，可求，即可求解．

【详解】解：∵四边形是正方形，

∴，，

∵是等边三角形，

∴，，

∴，，

∴，

∴．

故答案为：45°．

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

12．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）将将正方形A一个顶点与正方形B的对角线交点重合（如图1），则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合（如图2），则阴影部分面积是正方形B面积的________．

【答案】

【分析】根据图①得出，将图②进行字母标注，然后利用全等三角形的判定和性质得出∆COE∆DOF，利用面积之间的关系即可得出结果．

【详解】解：设正方形A的面积为，正方形B的面积为，

在图1中，，，

∴，

在图2中，进行标注，如图所示：

∵∠COD=∠COE+∠EOD=90°，∠EOF=∠DOF+∠EOD=90°，

∴∠COE=∠DOF，

在∆COE与∆DOF中，

，

∴∆COE∆DOF，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】题目主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，找出全等三角形并证明是解题关键．

13．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E是正方形ABCD边AD上一点，AE＝2cm，DE＝6cm，点P是对角线BD上的一动点，则AP＋PE的最小值是______cm．

【答案】10

【分析】连接EC，根据正方形的性质可得的长，即为AP＋PE的最小值，勾股定理即可求解．

【详解】解：如图：连接EC，PC，

点P是正方形对角线BD上的一动点，

则EC就是AP+PE的最小值，

∵正方形ABCD，AE=2cm，DE=6cm，

∴CD=AD=AE+DE=8cm，

∴CE=（cm）．

∴AP+PE的最小值是10cm．

【点睛】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．

14．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，是对角线上的点，，，，分别为垂足，连结设，分别是，的中点，，则的长为______．

【答案】2.5

【分析】如图所示。连接AG，CG，先证明△ABG≌△CBG（SSS），得到AG=CG，再证四边形ECFG是矩形，得到CG=EF=5，最后证明MN是△ABG的中位线，则．

【详解】解：如图所示。连接AG，CG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，

又∵BG=BG，

∴△ABG≌△CBG（SSS），

∴AG=CG，

∵GF⊥BC，GE⊥CD，∠ECF=90°，

∴四边形ECFG是矩形，

∴CG=EF=5，

∵M、N分别是AB，BG的中点，

∴MN是△ABG的中位线，

∴，

故答案为：2.5．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

15．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点E、G分别为边上的点，H为的中点，连接，则的长为 _____．

【答案】##厘米

【分析】延长交的延长线于N，由可证，可得，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解．

【详解】解：如图，延长交的延长线于N，

∵正方形和正方形的边长分别为和，

∴，，

∴，

∵点H是的中点，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

16．（2022春·八年级单元测试）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．

【答案】k＞2或k＜0且k≠﹣

【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论．

【详解】解：如图，设BC与y轴交于点M，

∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，

∴E点不在AD边上，

∴k≠0，

①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，

当点E在AB边且OE＝3时，

由勾股定理得，

∴AE＝，

∴E（1，），

当直线y＝kx经过点（1，）时，k＝，

∵，

∴OB=＜5，

当点E在线段BM上时，OE＜OB=＜5，

∴k＞，符合题意；

②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上，

当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；

当OE＝5时，由勾股定理得 ，

∴DE＝4，

∴E（﹣3，4），此时E与C重合，

当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=，

当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5，

∴k＜0且k，符合题意；

综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞或k＜0且k≠．

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形的边长为1，点在延长线上，且．求证：平分．

【答案】见解析

【分析】求得，证明，推出，即可证明结论．

【详解】证明：∵四边形是边长为1的正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴平分．

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，证明是解题的关键．

18．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．

(1)求证：DE＝AF；

(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）证明，即可求证；

（2）根据勾股定理可得，从而得到，再由，可得，即可求解．

（1）

证明：∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）

解：∵，点是中点，

∴，

在中，，

∵DE=AF，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．

19．（2022春·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．

(1)求证：△ADE≌△ABF；

(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；

（2）根据勾股定理可得AE＝4，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°

∵F是CB的延长线上的点，

∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°

在△ADE和△ABF中，

∴△ADE≌△ABF（SAS）．

（2）解：∵BC＝12，

∴AD＝12

在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，

∴AE＝＝4，

由（1）知△ADE≌△ABF，

∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．

∴∠EAF＝90°

∴

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．

20．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，过点作于点，交于点．

(1)求证：；

(2)若，是的角平分线，求的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易证△EOC≌△GOB（ASA），根据全等三角形的性质即可得证；

（2）根据BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根据BF是∠DBC的角平分线，可知∠EBF=∠CBF，可证△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根据正方形的性质，可知BC=2，即可求出OE．

（1）

证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，

∴∠EOC=∠GOB=90°，

∴∠OEC+∠OCE=90°，

∵BF⊥CE，

∴∠OEC+∠OBG=90°，

∴∠OBG=∠OCE，

在△EOC和△GOB中，

，

∴△EOC≌△GOB（ASA），

∴BG=CE；

（2）

解：∵BF⊥CE，

∴∠EFB=∠CFB=90°，

∵BF是∠DBC的角平分线，

∴∠EBF=∠CBF，

∵BF=BF，

∴△EBF≌△CBF（SAS），

∴BE=BC，

在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，

∵OB=，

根据勾股定理，得BC=2，

∴OE+=2，

∴OE=2-．

【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

21．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，点是边上的定点．

(1)如图1中仅用圆规分别在、上作点、，使，且，保留作图痕迹，不写作法；

(2)根据你的作图步骤，利用图2证明：，且．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）利用圆规在AD上截取AE＝BP，在BC上截取BF＝AP；

（2）利用正方形的性质得到∠A＝∠B＝90°，再证明△APE≌△BFP得到PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，再证明∠EPF＝90°，从而得到PE⊥PF．

【详解】（1）解：如图1，点E、F为所作；

（2）证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠B＝90°，

在△APE和△BFP中，

，

∴△APE≌△BFP（SAS），

∴PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，

∵∠AEP+∠APE＝90°，

∴∠APE+∠BPF＝90°，

∴∠EPF＝180°－（∠APE+∠BPF）＝90°，

∴PE⊥PF，

即EP⊥PF，且EP＝PF

【点睛】本题考查了作图，此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．

22．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，正方形中，点在边上，连接，过点作与的延长线相交于点，连接与边相交于点，与对角线相交于点．

(1)若，且，求的长；

(2)若，求证：．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】 （1）在正方形 中，由 ，利用等式的性质得到一对角相等，再由一对直角相等，且 ，利用 得到，利用全等三角形对应边相等得到 ，进而利用 计算 的长；

 （2）在 上取一点 ，使 ，连接 ，利用 得到，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到 ， ，进而确定出为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证．

【详解】（1） ∵四边形是正方形，

∴，

∵

∴

∴，

在和中

∴

∴

又∵

∴

则

（2）

在 上取一点 ，使 ，连接

由（1）

∴

则是等腰直角三角形

∴

在和中

∴

则，

∵，

∴

∴，

则

∴为等边三角形

∴

∵

∴

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

23．（2022春·江苏·八年级期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．

思路分析：

(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，

∠E'AF＝　   　度，……

根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．

∴EF＝BE+DF．

类比探究：

(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；

拓展应用：

(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．

【答案】(1)45

(2)DF＝BE+EF，证明见解析

(3)2

【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论；

（2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论；

（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解．

【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至，

则F、D、在一条直线上，≌△ABE，

∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，

∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，

则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，

∴∠EAF＝∠，

∴△AEF≌△（SAS），

∴，

∵，

∴EF＝BE+DF．

故答案为：45；

（2）解：DF＝BE+EF    理由如下：

将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△，

∴△≌△ABE，

∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，

∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，

则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，

∴∠＝∠EAF＝45°，

在△AEF和△中，

，

∴△AEF≌△（SAS），

∴，

∵，

∴DF＝BE+EF；

（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接，

则△≌△ABD，

∴CD'＝BD，

∴，

同（2）得：△ADE≌△（SAS），

∴，，

∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．

24．（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）四边形为正方形，点为对角线上一点，连接．过点作，交射线于点．

(1)如图1，若点在边上，求证：；

(2)以，为邻边作矩形，连接．

①如图2，若，，求的长度；

②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数．

【答案】(1)见解析

(2)①；②或

【分析】（1）连接，由正方形的对称性证得△ECB≌△ECD(SAS)，推出，再根据四边形的内角和定理可证明，进而证得，得，便可得；

（2）①证明得，求出的长度便可；②分两种情况：或，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可．

（1）

解：证明：如图，连接，

是正方形的对角线，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∵EC=EC，CB=CD，

∴△ECB≌△ECD(SAS)，

，

四边形是正方形，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）

①四边形为矩形，，

四边形为正方形，

，

四边形为正方形，

，，

，

，

，

，

，

，

；

②当时，如图，

，

，

，

当时，如图，

，，

，

综上，或．

【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是作辅助线和证明全等三角形．