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第19章 一次函数——2022-2023学年初中数学人教版八年级下册期中复习讲与练学案（原卷版+解析版）
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这是一份第19章 一次函数——2022-2023学年初中数学人教版八年级下册期中复习讲与练学案（原卷版+解析版），文件包含第19章一次函数解析版docx、第19章一次函数原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共100页， 欢迎下载使用。
第19章 一次函数（期中精讲）
目录
19.1 函数-知识与方法 3
知识点① 常量与变量 3
知识点② 函数 3
知识点③ 函数自变量的取值范围 4
知识点④ 函数值 4
知识点⑤ 函数的解析式 4
知识点⑥ 函数的图象 4
知识点⑦ 函数的表示方法 4
方法① 函数的识别方法 5
方法② 确定自变量取值范围的方法 5
方法③ 利用函数图象获取信息的方法 5
方法④ 利用函数图象正确描述实际问题的方法 5
方法⑤ 分段函数的应用方法 6
19.1 函数-考点分类汇编 6
【考点1】 变量与函数 6
【命题点（一）】 函数的概念 6
【命题点（二）】 函数解析式 6
【命题点（三）】 函数自变量取值范围 6
【命题点（四）】 函数值 6
【考点2】 函数图像 6
【命题点（一）】 函数图像的识别 6
【命题点（二）】 从函数图像中获取信息 6
【命题点（三）】 动点问题的函数图像 7
19.2 一次函数-知识与方法 7
知识点① 正比例函数与一次函数 7
知识点② 待定系数法 8
知识点③ 正比例函数的图象特征与性质 8
知识点④ 一次函数的图象特征与性质 8
知识点⑤ k、b的符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系 8
知识点⑥ 一次函数与一元一次方程 8
知识点⑦ 一次函数与二元一次方程（组） 9
知识点⑧ 一次函数与一元一次不等式 9
知识点⑨ 利用一次函数解决实际问题的步骤 9
知识点⑩ 利用一次函数解决实际问题的常见类型 9
方法① 根据一次函数的概念求字母常数的值的方法 10
方法② 解成正比例关系问题的方法 10
方法③ 函数性质的应用 11
方法④ 根据一次函数图象的位置及增减性判断k,b的值（范围） 11
方法⑤ 由k,b的值（范围）确定直线的位置及函数增减性的方法 11
方法⑥ 一次函数图象平移规律的应用方法 11
方法⑦ 计算一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积的方法 11
方法⑧ 利用一次函数求解方程组或不等式的方法 11
方法⑨ 一次函数模型的应用方法 12
方法⑩ 选取合适的一次函数解决方案问题 12
方法⑪ 一次函数图象的交点坐标的实际应用方法 12
方法⑫ 利用一次函数最值解决最优化问题的方法 12
方法⑬ 构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 12
19.2 一次函数-考点分类汇编 13
【考点1】 正比例函数 13
【命题点（一）】 正比例函数的定义 13
【命题点（二）】 正比例函数的图像 13
【命题点（三）】 正比例函数的性质 13
【考点2】 一次函数 13
【命题点（一）】 识别一次函数 13
【命题点（二）】 判断一次函数图像 13
【命题点（三）】 一次函数的平移 13
【命题点（四）】 根据一次函数性质求参数 14
【命题点（五）】 根据一次函数性质比较大小 14
【命题点（六）】 求一次函数的解析式 14
【考点3】 一次函数与方程、不等式 14
【命题点（一）】 根据图像解一元一次方程 14
【命题点（二）】 根据图像解二元一次方程 14
【命题点（三）】 根据图像解不等式 14
【命题点（四）】 求直线围成的三角形面积 14
【考点4】 一次函数的应用 14
【命题点（一）】 方案问题 14
【命题点（二）】 行程问题 14
19.1 函数-知识与方法
知识点① 常量与变量★★☆
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
知识点② 函数★★☆
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
知识点③ 函数自变量的取值范围★★☆
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点④ 函数值★★☆
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
知识点⑤ 函数的解析式★★☆
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点⑥ 函数的图象★★★
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
知识点⑦ 函数的表示方法★★☆
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
方法① 函数的识别方法★☆☆
对于函数的定义，两个变量是前提，它们的对应关系是基础.必须明确：两个变量之间的对应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个或多个不同的自变量值对应一个函数值，但决不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值
方法② 确定自变量取值范围的方法★★★
整式型：等式右边是整式：全体实数
分式型：等式右边的自变量在分母的位置上：分母不为0
开平方型：等式右边是开平方的式子：被开方式大于或等于0
方法③ 利用函数图象获取信息的方法★★☆
根据图象读取信息时，要把握以下三个方面：
1)横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；
2)关于图象上的某个点，可以向横、纵轴作垂线来求得该点坐标；
3)在实际问题中，要注意图象与横、纵轴交点的坐标代表的具体含义
方法④ 利用函数图象正确描述实际问题的方法★★☆
对于已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实际问题，要正确理解图象的横、纵坐标表示的意义，以及横、 纵坐标的单位，图象的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义。
方法⑤ 分段函数的应用方法★★☆
自变量在不同的范围内取值时，函数y和自变量x有不同的对应关系，这种函数称为分段函数.解决分段函数的有关问题的关键是弄清自变量的取值范围，选择合适的解析式解决问题。
19.1 函数-考点分类汇编
【考点1】 变量与函数
【命题点（一）】 函数的概念
【例题精析1】 下列图形中，表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【例题精析2】 下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C．D．
【解答】解：A.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C.对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【例题精析3】 一本练习本每本元，买x本共付y元，则和y分别是（ ）
A．常量，常量 B．常量，变量 C．变量，变量 D．变量，常量
【解答】解：根据常量和变量的概念可判断出是常量，y是变量．
故选：B．
【例题精析4】 下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，y是x的函数，故A不符合题意；
B、，y是x的函数，故B不符合题意；
C、，y是x的函数，故C不符合题意；
D、，当时，，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
【命题点（二）】 函数解析式
【例题精析5】 某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为___________．
【解答】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得：
，
即y关于x的函数解析式为．
故答案为：
【例题精析6】 以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
摄氏温度值/
0
10
20
30
40
50
华氏温度值/
32
50
68
86
104
122
根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是___________．
【解答】解：根据题意得：当摄氏温度值为时，华氏温度值为，且摄氏温度值每增加，华氏温度值增加，
设华氏温度值为y，摄氏温度值为x，则
华氏温度值与摄氏温度值的函数关系式为，
当时，，
解得：，
即当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是．
故答案为：
【例题精析7】 如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形的边长为，则矩形的面积与的关系式为___________．
【解答】解：由题意，得：，
∴，
即：；
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【命题点（三）】 函数自变量取值范围
【例题精析8】 函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【解答】根据题意得：
解得：且
故选：D．
【例题精析9】 在关系式中，当自变量时，因变量y的值为（ ）
A． B．8 C． D．22
【解答】解：把代入中，
得：．
故选B．
【例题精析10】 函数 中，自变量x的取值范围是_____．
【解答】解：由题意得，，
则或，
解得，或，
故答案为：或．
【例题精析11】 函数中，自变量x的取值范围是______．
【解答】解：由题意得，，
解得，且
故答案为：且．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【例题精析12】 函数自变量的取值范围为________．
【解答】解：由题意得：
，且，
解得：且，
故答案为：且．
【命题点（四）】 函数值
【例题精析13】 如图所示，表示了自变量x与因变量y的关系，当输入x的值是时，输出y的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：当时，；
故选C．
【例题精析14】 一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间（秒）与滑下的路程（米）之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程为_________米．
【解答】解：当时，，
即滑下的路程为米．
故答案为：.
【例题精析15】 根据下图所示的程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的结果为_____．
【解答】解：∵在之间，
∴将代入函数得：．故答案为：0.5．
【例题精析16】 已知函数，那么______．
【解答】解：由题意，，故答案为：．
【考点2】 函数图像
【命题点（一）】 函数图像的识别
【例题精析17】 如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度与注水时间之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：先大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，当大烧杯的液面高度达到小烧杯的高度时，大烧杯的液面高度y保持不变，所以B选择项不符合题意；当小烧杯水注满后，大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，所以A选择项不符合题意；这时增加的速度较先前的慢，所以C选择项不符合题意，D项符合题意．
故选：D．
【例题精析18】 如图所示的是一台自动测温记录仪的图象，它反映了重庆秋季某天一段时间的气温随时间t变化而变化的关系，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（ ）
A．该段时间内最高气温为 B．从6时至20时，气温随着时间的推移而上升
C．从6时至15时，气温随着时间的推移而上升 D．该段时间内6时达到最低气温
【解答】解：A、由图可知，该段时间内最高气温为，故A正确，不符合题意；
B、从6时至20时，气温随着时间的推移先上升再下降，故B错误，符合题意；
C、从6时至15时，气温随着时间的推移而上升，故C正确，不符合题意；
D、该段时间内6时达到最低气温，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【例题精析19】 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的行驶路程y与行驶时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一条边长x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：汽车从地匀速行驶到地，根据汽车的行驶路程随行驶时间的增加而增加，故①不符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积不是长的一次函数，故②不符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，故③符合题意；
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是③．
故选：B．
【例题精析20】 晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会儿天，然后一起跑步回家，下面能反映肜彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：彤彤和妈妈最后跑步回家，因此最后的y值为0，排除A选项；
彤彤和妈妈在公园中央的休息区聊了会儿天，因此中间有一段时间y值不变，排除D选项；
彤彤和妈妈散步到公园，再从公园跑步回家，因此回家用时较少，排除B选项，
故选C．
【命题点（二）】 从函数图像中获取信息
【例题精析21】 如图，是函数的图像，通过观察图像得出了如下结论：
（1）当时，随的增大而增大；
（2）该函数图像与轴有三个交点；
（3）该函数的最大值是，最小值是；
（4）当时，随的增大而增大．
以上结论中正确的有（ ）个
A． B． C． D．
【解答】解：（1）当时，随的增大而减小，故（1）错误；
（2）该函数图像与轴有三个交点，分别是，故（2）正确；
（3）函数的取值范围是，当时，；当时，，该函数的最大值是，最小值是，故（3）正确；
（4）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故（4）错误．
综上所述，结论正确的有（2），（3），
故选：．
【例题精析22】 正常人的体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同，如图反映了一天24小时内小明体温的变化情况，下列说法错误的是（ ）
A．清晨5时体温最低
B．17时，小明体温是
C．从5时至24时，小明体温一直是升高的
D．从0时至5时，小明体温一直是下降的
【解答】解：由函数图象可知，图中最低部的数据，则是温度最低的时刻，最高位置的数据则是温度最高的时刻；则清晨5时体温最低，下午5时体温最高；最高温度为，最低温度为；从5时到17时，小明的体温一直是升高的趋势，而17时到24时的体温是下降的趋势，从0时至5时的体温是下降的趋势．
∴四个选项中只有选项C说法错误，
故选C．
【例题精析23】 一辆货车和一辆轿车从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段和线段分别表示货车和轿车离甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系．
(1)货车的速度是________，两车相遇时，它们距甲地________；
(2)轿车的速度是________；轿车出发时，两车相距________；
(3)轿车从甲地出发到乙地所用的时间是________．
【解答】（1），
．
故答案为：60，210；
（2），
．
故答案为：100，84；
（3），
故答案为：3．
【命题点（三）】 动点问题的函数图像
【例题精析24】 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：如图，连接交于点，连接，连接交于点．
四边形是正方形，
是的中点，
点是的中点，
是的重心，
，
，
、关于对称，
，
，
当、、共线时，的值最小，
的值最小就是的长，
，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
负值已舍，
即正方形的边长为．
故选：C．
【例题精析25】 如图1，在矩形中，点E在边上，连接，点P从点A出发，沿折线A→E→C以的速度匀速运动至点C．图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图像，则a的值为（ ）
A．40 B．10 C．24 D．20
【解答】解：设，根据题意，，结合函数图像，得到
，，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
解得（舍去），
故选：B．
【例题精析26】 如图1，四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【解答】解：当时，点到达点处，即，
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，
，
，
当时，点到达点处，
，
，
四边形的面积：，
故选：D．
【例题精析27】 如图1，在四边形中，，.一动点从点出发，以的速度沿的方向不停移动，直到点到达点后才停止，已知的面积（单位：）与点移动的时间（单位：）的关系图象如图2所示，则点从运动开始到停止一共用去的时间为__________.（结果保留根号）
【解答】解：由图②可知，在2到4秒时，的面积不发生变化，
∴在上运动的时间是2秒，在上运动的时间是．
∵动点的运动速度是，
∴，．
如图，过点 作于点，过点作于点，则四边形是长方形，
∴，，
∵在2到4秒时，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴在上运动的时间是秒，
∴点从开始移动到停止移动一共用了．
故答案为：．
【例题精析28】 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量表示点运动的路程，变量表示的面积，图2表示变量随的变化情况，则当时，点所在的边是________．
【解答】解：∵时，即点R从C到达点D时，的面积开始不变，
∴，
同理可得：，
∵四边形为长方形，
∴，，
当点R在上运动时，的面积不变，且面积最大，面积为：
，
当时，，
∴点R在或边上．
故答案为：或．
19.2 一次函数-知识与方法
知识点① 正比例函数与一次函数★☆☆
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数．
知识点② 待定系数法★★★
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．
知识点③ 正比例函数的图象特征与性质★★★
正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
知识点④ 一次函数的图象特征与性质★★★
一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
知识点⑤ k、b的符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系★★☆
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
知识点⑥ 一次函数与一元一次方程★★☆
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数（≠0，为常数），当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
知识点⑦ 一次函数与二元一次方程（组）★★☆
一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
知识点⑧ 一次函数与一元一次不等式★★☆
一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
知识点⑨ 利用一次函数解决实际问题的步骤★★☆
审：仔细审题，理解题意
找：找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系
列：建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围
解：根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程
检：检验结果，得出符合实际的结论
知识点⑩ 利用一次函数解决实际问题的常见类型★★★
1.一次函数模型的应用：根据题中所给信息明确一次函数模型，利用一次函数解决实际问题
2.选取合适的一次函数解决方案问题：题中通常涉及两个一次函数或分段函数，先根据题意求出两个函数关系式然后分情况讨论，即，，进而分别求解.
3.一次函数图象的交点坐标的实际应用：题目通常先给出函数图象，通过对实际问题的理解，围绕图象交点获取信息，进而解决实际问题。
4.利用一次函数最值解决最优化问题：题中通常涉及利润最大或费用最少问题，在自变量的取值范围内，根据一次函数图象的增减性确定函数的最大（小）值
方法① 根据一次函数的概念求字母常数的值的方法★☆☆
在利用一次函数的概念求函数表达式中的字母常数的值时，一般方法是根据一次函数 的一般形式得到一个关于字母常数的关系式，解之即可求得字母常数的值。
方法② 解成正比例关系问题的方法★☆☆
两个变量y与x成正比例关系，则应满足y=kx(k≠0)的形式,这里的y与x可以表示任意整式。
方法③ 函数性质的应用★★☆
正比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)的性质主要是指函数的增减性,即y随x的变化情况，它只和k的符号有关，与b的符号无关当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
方法④ 根据一次函数图象的位置及增减性判断k,b的值（范围）★★★
1.判断k正负的方法
1)从图象倾斜方向上看：左低右高，形如“/”，k>0;左高右低，形如“\”，k<0.
2)从图象经过的象限看：图象如果过第一、三象限，那么k>0;图象如果过第二、四象限，那么k<0.
3)从增减性上看：x增大y也增大，则k>0;x增大y反而减小，则k<0.
2.判断b的符号的方法b是直线与y轴交点的纵坐标，所以通过直线与y轴的交点判断b的符号。
方法⑤ 由k,b的值（范围）确定直线的位置及函数增减性的方法★★★
在y=kx+b(k≠0)中,当k>0时,y随x的增大而增大，此时若b>0,则直线y=kx+b经过第一、二、三象限；若b=0,则直线y=kx+b经过原点及第一、三象限；若b<0,则直线y=kx+b经过第一、三、四象限。
当k<0时，y随x的增大而减小，此时若b>0,则直线y=kx+b经过第一、二、四象限；若b=0,则直线y=kx+b经过原点及第二、四象限：若b<0,则直线y=kx+b经过第二、三、四象限。
方法⑥ 一次函数图象平移规律的应用方法★★☆
1.上、下平移：直线y=kx+b(k≠0)向上平移n(n>0)个单位长度，得到直线y=kx+b+n;直线y=kx+b(k≠0)向下平移n(n>0)个单位长度，得到直线y=kx+b-n.简记为：上加下减(只改变b).
2.左、右平移：直线y=kx+b(k≠0)向左平移m(m>0)个单位长度，得到直线y=k(x+m)+b;直线y=kx+b(k≠0)向右平移m(m>0)个单位长度，得到直线y=k(x-m)+b.简记为：左加右减（只改变x).
方法⑦ 计算一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积的方法★★☆
1.在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积。
2.在求两条直线与一个坐标轴所围成的三角形的面积时，可以先确定两条直线与这个坐标轴的交点坐标（即确定三角形的底），然后求两条直线的交点坐标，最后利用三角形的面积公式得出结果。
方法⑧ 利用一次函数求解方程组或不等式的方法★★☆
1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。
2.关于x的一元一次不等式kx+b>0(<0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围。
3.关于x、y的二元一次方程组的解
方法⑨ 一次函数模型的应用方法★☆☆
函数应用题是以贴近现实生活中的话题为背景，运用函数知识来解决的一类实际生活中的问题.这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决。
方法⑩ 选取合适的一次函数解决方案问题★★☆
方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值的大小问题转化为解方程或解不等式的问题。
方法⑪ 一次函数图象的交点坐标的实际应用方法★★☆
一次函数图象的交点坐标的实际应用问题实质是方程思想在函数中的具体体现，两个一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数联立形成的二元一次方程组的解.函数图象的交点坐标的实际意义往往是解决问题的关键点。
方法⑫ 利用一次函数最值解决最优化问题的方法★★☆
最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)中的自变量x的取值范围是全体实数，其图象是一条直线，所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。
方法⑬ 构造一次函数模型解决动态几何问题的方法★☆☆
在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来解决图形运动的变化规律.解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，能够在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力。
19.2 一次函数-考点分类汇编
【考点1】 正比例函数
【命题点（一）】 正比例函数的定义
【例题精析29】 下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意；
B、，是正比例函数，符合题意；
C、，不是正比例函数，不符合题意；
D、，不是正比例函数，不符合题意．
故选：B．
【例题精析30】 已知一次函数是正比例函数，那么_____________.
【解答】一次函数是正比例函数，则，所以，
故答案为：2．
【例题精析31】 若函数是关于的正比例函数，则的值为________．
【解答】解：∵函数是关于x的正比例函数，
∴，，
∴，
故答案为：2．
【命题点（二）】 正比例函数的图像
【例题精析32】 当时，正比例函数的图像大致是（ ）
A． B． C．D．
【解答】解：正比例函数的图像是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限，故A正确．
故选：A．
【例题精析33】 已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是__________．（只需写出一个符合条件的实数）
【解答】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴k的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【例题精析34】 正比例函数的图象经过，两点，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．4
【解答】解：设该正比例函数的解析式为，
把，代入得：
，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【例题精析35】 正比例函数的图象经过点，，则的值为（ ）
A．3 B． C．－3 D．
【解答】解：正比例函数的图象经过点，
，
．
故选：B．
【命题点（三）】 正比例函数的性质
【例题精析36】 已知点，都在过第一、三象限的同一条直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【解答】因为直线过第一、三象限，可设直线的关系式为，
所以，
所以y的值随x的增大而增大，
因为点，都在这条直线上，，
所以；
故选：A.
【例题精析37】 ，是正比例函数图象上的两个点，下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，，
故A，B，D选项错误，不符合题意；C正确，符合题意．
故选：C
【例题精析38】 对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过点
C．该函数图象经过一、三象限 D．y随着x的增大而增大
【解答】解：A、函数是正比例函数，原说法正确，不符合题意，选项错误；
B、当时，，函数图象过点，原说法不正确，符合题意，选项正确；，
C、，该函数图象经过一、三象限，原说法正确，不符合题意，选项错误；
D、，y随着x的增大而增大，原说法正确，不符合题意，选项错误，
故选B．
【例题精析39】 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是_____．
【解答】解：∵在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，
∴，
解得．
故答案为：．
【例题精析40】 已知在平面直角坐标系中，点是直线上的两点，则m，n的大小关系是m____________n．（填“”，“”或“”）
【解答】解：在正比例函数中，，
该函数图象上，y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【例题精析41】 如果与成正比例，且时，．求出y与x之间的函数关系式．
【解答】设，
把，代入得，解得，
所以，
所以y与x之间的函数关系式为
【考点2】 一次函数
【命题点（一）】 识别一次函数
【例题精析42】 下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：（1），是一次函数；
（2），是一次函数；
（3），不是一次函数；
（4），是一次函数；
（5），不是一次函数，
综上，（1）（2）（4）是一次函数，共3个；
故选：B．
【例题精析43】 下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：y是x的一次函数的有：①，④，共2个，
故选：B．
【例题精析44】 下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①是一次函数；
②是一次函数；
③=3，没有自变量，不是一次函数；
④，自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤，自变量次数不为1，故不是一次函数．
综上所述，是一次函数的有2个．
故选：C．
【例题精析45】 已知函数是一次函数，则的值为___________________．
【解答】解：依题意，，
解得：，
故答案为：．
【例题精析46】 已知函数是关于x的一次函数，则m的值是______．
【解答】解：函数是关于x的一次函数，
，，
故答案为：．
【命题点（二）】 判断一次函数图像
【例题精析47】 已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，
∴一次函数的图象经过定点；
∴一次函数一定经过第二象限，
当时，即，在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，
∴一次函数的图象经过定点，
∴一次函数必定经过第三象限，
又∵，
∴一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【例题精析48】 已知点在第四象限内，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【解答】解：点为第四象限内的点，
，，
∴，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，观察选项，A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意；
故选：A．
【例题精析49】 在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误；
B、反映，，反映，，则，故本选项错误；
C、反映，，反映，，则，故本选项错误；
D、反映，，反映，，则，故本选项错误；
故选：D．
【例题精析50】 下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中、为常数，且）的大致图像，其中表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A.由一次函数图像可知，则；正比例函数的图像可知不矛盾，故此选项正确，符合题意；
B. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
C. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
D. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【例题精析51】 函数与的图象在同一直角坐标系内的大致位置是（ ）
A． B． C．D．
【解答】分四种情况：
①当，时，的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、三象限，无选项符合；
②当，时，的图象经过第一、三、四象限；的图象经过第一、二、四象限，B选项符合；
③当，时，的图象经过第一、二、四象限；的图象经过第一、三、四象限，B选项符合；
④当，时，的图象经过第二、三、四象限；的图象经过第二、三、四象限，无选项符合．
故选：B．
【命题点（三）】 一次函数的平移
【例题精析52】 在平面直角坐标系中，将一次函数（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由题意得，平移后的一次函数解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
∴，
故选A．
【例题精析53】 在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向右平移2个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：平移后抛物线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
故选：C．
【例题精析54】 直线可以由直线沿着轴向______（填“上”“下”）平移______个单位得到．
【解答】解：直线可以由直线沿y轴向向上平移5个单位得到．
故答案为：上，5．
【例题精析55】 在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．
【解答】解：将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，即，
∴平移后的直线与x轴交于，
∴，
解得，
故答案为．
【例题精析56】 一次函数的图像经过点，每当增加个单位时，增加个单位，则此函数图像向上平移个单位长度的表达式是________．
【解答】解：∵函数图像经过点，每当增加个单位时，增加个单位，
∴函数图像经过点，
∴根据题意可得方程：
∴解方程得：
∴一次函数的解析式为：，
∴函数图像向上平移个单位长度的表达式为：,
故答案为：．
【命题点（四）】 根据一次函数性质求参数
【例题精析57】 已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值是（ ）
A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定
【解答】解：由一次函数性质知，当时，y随x的增大而增大，所以得，
解得，
即；
当时，y随x的增大而减小，所以得，
解得，
即．
∴的值为或16．
故选C．
【例题精析58】 若关于的一次函数，y随x的增大而增大，则的取值范围___________．
【解答】解：∵一次函数，y随x的增大而增大，
∴．
∴．
故填：．
【命题点（五）】 根据一次函数性质比较大小
【例题精析59】 已知、是一次函数的图像上的不同两个点，时，k的取值范围是______．
【解答】∵，
与同号，
∴当时，，当时，，
∴y随x增大而增大，
，
故答案为：．
【例题精析60】 已知一次函数的图象上两个点，，当时，．则________（填＞，＜，＝）
【解答】∵当时，
∴
∴．
故答案为：＜．
【例题精析61】 已知：点、在函数的图像上，则______（在横线上填写“”或“”或“”）．
【解答】解：∵，
∴y将随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【例题精析62】 已知点，是函数图像上的两个点，若，则______．（填“＞”“＜”或“＝”）
【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵点，是函数图象上的两个点，且，即
∴．
故答案为：．
【例题精析63】 已知、是一次函数的图象上的两点，则______．（填“”或“”或“”）
【解答】解：一次函数中的，
随的增大而增大，
、是一次函数的图象上的两点，且，
，
故答案为：．
【命题点（六）】 求一次函数的解析式
【例题精析64】 如图，直线：分别与x，y轴交于、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)直线：交于E，交于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）将点代入直线解析式可得：
，
解得：，
直线 解析式为，
直线与y轴交于B点，则B点横坐标为，
，
B点坐标为：．
（2），且，
，
点C的坐标为，
设的解析式是，将点和代入解析式，
得，
解得：，
直线的解析式是：．
（3）过E、F分别作轴，轴，则，
，
，
又，
，
，
联立得，
解得：，
联立，
解得：，
，，
，
，
当时，存在直线：，使得．
【例题精析65】 已知一条直线经过点，．
(1)求直线的表达式；
(2)若过点作直线平行于，求的表达式．
【解答】（1）解：设直线的表达式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵直线平行于，
∴可设的表达式为，
把点代入得：
，
解得：，
∴的表达式为．
【例题精析66】 已知一次函数．当时，；当时，．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求这个一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】（1）解：由题意得，，
∴，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）设一次函数与x轴，y轴分别交于A，B，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴．
【考点3】 一次函数与方程、不等式
【命题点（一）】 根据图像解一元一次方程
【例题精析67】 在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则方程的解为___________．
【解答】解：∵一次函数和的图象交于点，
∴方程的解为．
故答案为：．
【例题精析68】 如图，一次函数的图象经过点，，则方程的解是_______．
【解答】解：∵一次函数的图象经过点，
当时，，
∴方程的解是；
故答案为：．
【例题精析69】 如图，已知直线，则方程的解为__________．
【解答】解：根据图象可知：在的图象中，当时， ，
则的解为，
故答案为：．
【例题精析70】 如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，关于x的方程的解是______．
【解答】解：根据题意，则
∵直线与直线交于点，
∴关于x的方程的解是：，
故答案为：．
【命题点（二）】 根据图像解二元一次方程
【例题精析71】 如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得，二元一次方程组的解是 _____．
【解答】解：∵函数和的图象的交点的坐标为，
∴二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【例题精析72】 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__．
【解答】解：把代入得：，
∴，
∵点P为一次函数与的图象交点，
∴方程组的解是；
故答案为：．
【例题精析73】 一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____．
2
1
0
0
3
6
9
6
3
0
【解答】解：由表中数据得到时，，
所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为，
所以方程组的解为，．
故答案为：1，3．
【例题精析74】 已知函数的交点坐标为，则关于x的不等式的解集为_________．
【解答】∵，
∴，
∵函数的交点坐标为，
如图，
∴当时，，当时，，
∴满足的x的范围为，
故答案为：．
【命题点（三）】 根据图像解不等式
【例题精析75】 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知：两条直线的交点坐标为，
∵，
∴，
∴，即直线在直线的上方，
∵当时，直线在直线的上方，
∴解集为，
故选：B．
【例题精析76】 如图，一次函数（、为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围，
∴当时，x的取值范围是，
故选：A．
【例题精析77】 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的下方，
∴关于x的不等式的解集是．
故选：B．
【命题点（四）】 求直线围成的三角形面积
【例题精析78】 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴，
设点D的坐标为，则：
，
解得：，
，
∴点D的坐标为，故A正确．
故选：A．
【例题精析79】 已知一次函数与的图像都过点，且与y轴分别交于点B，C．
(1)求m，n的值；
(2)求的面积．
【解答】（1）解：∵一次函数与的图像都过点，
∴把点分别代入，得
，，
∴，；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，，
分别令，则
，，
∴点B的坐标为，点C的坐标为；
∴，
∴的面积为：；
【例题精析80】 已知直线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线上有点C，且满足，求点C的坐标．
【解答】（1）设直线的解析式为，
∵直线过点、点，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
（2）设点C的坐标为，
∵，
∴，解得或，
∴或，
∴点C的坐标是或．
【例题精析81】 如图，直线：与直线：相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3．
(1)求直线的解析式；
(2)若D是直线上一点，且点D的横坐标为1，求的面积．
【解答】（1）解：当时，，
，
，
，
点的纵坐标为3，
，解得，
，
则，解得．
故直线的解析式为；
（2）在中，令，则，
∴，
的面积．
【考点4】 一次函数的应用
【命题点（一）】 方案问题
【例题精析82】 为了准备“迎新”汇演，七（1）班学生分成甲乙两队进行几天排练．其中甲队队长对乙队队长说：你们调人来我们队，则我们的人数和你们的人数相同；乙队队长跟甲队队长说：你们调人来我们队，则我们的人数是你们的人数的倍．
(1)根据甲队队长对乙队队长交谈的内容，设甲队有人，则乙队有 人，求出七（1）班的学生人数 ；
(2)为了增强演出的舞台效果，全部学生需要租赁演出服装，班主任到某服装租赁店了解到可供选择的收费方式如下：
方式一：一套服装一天收取元，另收总计元的服装清洗费；
方式二：在一套服装一天收取元的基础上打九折，一套服装每天收取服装清洗费元，另收每套服装磨损费元不按天计算；
设租赁服装天为整数，请你帮班主任参谋一下：选择哪种付费方式节省一些，并说明理由．
【解答】（1）解：设乙队有人，由题意可得：
，
解得：，
七（1）班的学生人数为：
人，
故答案为；
（2）解：分别用、表示两种方案的总费用，由题意可得：
，
，
，
当时，，即租赁服装天数为天时，第一种付费方式较节省；
当时，，即租赁服装天数为天时，两种付费方式一样；
当时，，即租赁服装天数多于天时，第二种付费方式较节省．
【例题精析83】 由于连日大雨，某城市局部面临内涝，当地相关部门迅速组织防涝抗涝工作，抽调一批抽水泵紧急抽水排险．经在抽水现场测得A型和B型两款抽水泵抽水量情况如下：4台A型抽水泵和5台B型抽水泵同时工作，可抽水的水；2台A型抽水泵和10台B型抽水泵同时工作，可抽水的水．
(1)求A、B两款抽水泵每分钟分别能抽水多少立方米？
(2)该地防洪相关部门，为了以后抗涝需要，计划进购一批A型和B型两款抽水泵，要求这批抽水泵全部同时工作1分钟，能抽水150立方米的水．设购买A型抽水泵m台，B型抽水泵台，请用含n的代数式表示m．
(3)A型抽水泵每台标价2万元，若一次性购买不少于30台，可打九折，若少于30台则按标价销售；B型抽水泵每台标价3万元，若一次性购买不少于30台，可打八折，若少于30台则也按标价销售；在（2）的条件下，问如何购买使得总费用最小？请通过分析计算给予说明．
【解答】（1）解：设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和；
（2）解：由题意可知：，
；
（3）解：，当n取最大值50时，，则A型抽水泵至少要买40台，
这项购买计划中A型抽水泵价格始终是标价的九折，
当时，购买总费用：，
即时，购买总费用最小，费用为（万元），
当时，购买总费用：，
即时，购买总费用最小，费用为（万元），
答：选购B型抽水泵30台，A型抽水泵64台时，购买总费用最少，此时需要万元．
【例题精析84】 广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．
【解答】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，
，
解得．
即一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨；
（2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，
根据题意有：，且为正整数，
解得，且为正整数，
设总共费用为w，
根据题意有：，
∵，
∴总共费用w，随着a的增大而增大，
∴当时，最小，且最小为：（元），
此时最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆．
【例题精析85】 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？
【解答】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得，
解得．
设6台机器人每小时的分拣量为w，则．
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每小时的分拣量最大．
【例题精析86】 渭南水晶饼金面银帮，起皮掉酥，凉舌渗齿，清香适口，具有浓郁的传统风味，被商业部定为名特食品.某水晶饼生产商借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售水晶饼，已知线上零售40kg、线下批发80kg水晶饼共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg水晶饼的销售额相同.
(1)求线上零售和线下批发水晶饼的单价分别为每千克多少元？
(2)该生产商某月线上零售和线下批发共销售水晶饼2000kg，设线上零售，获得的总销售额为元：
①请写出与的函数关系式；
②当线上零售和线下批发的数量相等时，求获得的总销售额为多少？
【解答】（1）设线上零售水晶饼的单价为每千克元，线下批发水晶饼的单价为每千克元，
由题意得，，
解得：，
答：线上零售水晶饼的单价为每千克40元，线下批发水晶饼的单价为每千克30元；
（2）①由题意得：，
即与的函数关系式为：；
②当时，，
即当线上零售和线下批发的数量相等时，获得的总销售额为70000元．
【命题点（二）】 行程问题
【例题精析87】 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
骑行时间/min
10
20
25
品牌收费/元
8
品牌收费/元
8
(2)填空：
①品牌10分钟后，每分钟收___________元
②如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱；
③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时的值是________．
(3)直接写出，关于的函数解析式．
【解答】（1）对于A品牌每分钟骑行的费用为：（元）
所以，骑行10分钟的费用为：（元）
骑行25分钟的费用为：（元）
对于B品牌，由图象可知，骑行10分钟的费用为：6元；
骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）；
所以，骑行25分钟后的费用为：（元）
所以，填表如下：
骑行时间/min
10
20
25
品牌收费/元
4
8
10
品牌收费/元
6
8
9
（2）①B品牌骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）；
②小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班所用时间为，（分钟）
A品牌骑行30分钟后的费用为：（元）；
B品牌骑行30分钟后的费用为：（元）；
由于，
因此，小明选择B品牌共享电动车更省钱；
③由题意可得，
或，
解得或，
故答案为：①0.2；②B；③7.5或35．
（3）设的解析式为，
把代入得，，解得，，
所以，；
当时，；
当时，设，
把，代入，得，
解得，
所以，，
即
【例题精析88】 假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到南京博物院参观，小区与南京博物院的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达南京博物院，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，
请根据图像回答下列问题：
(1)甲在南京博物院参观的时间为______分钟，甲返回小区的速度为______千米/分钟；
(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
(3)若两人之间的距离为y千米，请画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图像．
【解答】（1）甲在南京博物院参观的时间为（分钟）
甲返回小区的速度为（千米/分钟）
故答案为：，；
（2）设直线的函数表达式为．
∵，
∴，
解得．
∴直线的函数表达式为
当甲从图书馆返回时：设直线的函数表达式为．
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
∴，
解得．
当时，．
∴．
答：P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米．
（3）如图即为y（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数图像．
当时，两人之间的距离为；
当时，两人之间的距离为；
当时，两人之间的距离为；
当时，两人之间的距离为．
【例题精析89】 近年来，随着市场需求的快速提升以及快递行业的高速发展，快递业务量也在高速增长．已知A、两地之间有一条长千米的公路．某物流公司的快递车从A地出发匀速开往地，出发两小时到达目的地，在地卸完物品后按原路原速返回．车辆距A地的路程与行驶的时间之间的函数关系如图所示．
(1)求该车原路返回时与之间的函数关系式；
(2)当该车距地千米时，求该车行驶的时间．
【解答】（1）解：设与之间的函数关系式为，
该物流公司的快递车的速度：，按原路原速返回，
，
由图可知，函数图像经过，
，解得，，
与之间的函数关系式为；
（2）解：设去时函数解析式为，
将代入可得，
，解得，
∴，
当该车距地千米时，，
分别代入两个解析式得，
，解得，
，解得，
∴故该车行驶的时间为或；
【例题精析90】 为了合理利用防疫物资，省防疫指挥部积极在各个地区之间进行物资调配，甲、乙两辆车沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为，甲、乙两车前进的路程分别为、，甲车出发后的时间为，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：
(1)甲的速度是________，乙比甲晚出发_________h；
(2)请你分别求出甲、乙两人前进的路程、与甲出发后的时间之间的函数关系式；
(3)甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离B地还有多远？
【解答】（1）解：甲的速度是；
乙比甲晚出发；
故答案为：50；1．
（2）解：设甲、乙两人前进的路程、与甲出发后的时间之间的函数关系式分别为：，，
把代入得：，
解得：，
∴；
把，代入得：，
解得：，
∴；
（3）解：令，
解得：，
∴甲经过被乙追上；
把代入得：，
，
∴此时两人距离B地还有．
【例题精析91】 已知A，B两港口相距150海里，甲船从A港行驶到B港后，休息一段时间，速度不变，沿原航线返回，同时，乙船从A港出发驶向B港，甲、乙两船离A港的距离s（海里）与甲船行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，当两船相遇时，两船到A港的距离为90海里，乙船在行驶过程中，速度不变．（假设甲、乙两船沿同一航线航行）
(1)直接写出M点的坐标_______；
(2)分别求线段、的表达式；
(3)甲船行驶多少小时后两船在甲船返航过程中相距30海里？
【解答】（1）解：∵甲船返回时速度不变，
∴返回时间为5小时，
，
所以，点M的坐标为，
故答案为：；
（2）解：由图可知：点，
设所在直线的解析式为：，
把点，点分别代入解析式，得
解得
故线段的表达式为：；
甲船的速度(海里/时)，
到两船相遇时乙船行驶的时间为：(小时)，
乙船的速度为：(海里/时)，
乙船行驶的时间为：(小时)，
此时，
故点，由图可知：点，
设直线的表达式为，
把点，点分别代入解析式，得
解得
故线段的表达式为：；
（3）解：设甲船行驶x小时后两船相距30海里，
①若相遇前相距30海里，则，
解得，
②若相遇后再相距30海里，则，
解得，
所以，甲船行驶小时或小时后，两船相距30海里．
【例题精析92】 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．
(1)两城相距______千米；
(2)求出乙车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系式；
(3)求甲乙两车相遇时甲车行驶的时间以及此时距离A城的距离．
【解答】（1）解：根据函数图象可知，当时，，可得两城相距千米，
故答案为：．
（2）设直线乙的函数解析式为，
直线过点，点
，
解得，
即直线乙的函数解析式为
（3）由题可知，直线甲的函数解析式为
所以：，
解得
那么，甲乙两车相遇时甲车行驶的时间是2.5小时，此时距离A城的距离为150km．
【例题精析93】 小轩家、学校、图书馆依次在一条直线上，小轩从学校匀速步行到图书馆，到达图书馆还完书后，他想快点到家，于是骑共享单车原路返回家中(上、下车时间忽略不计)，骑自行车的速度是步行的倍．小轩离家的距离与他所用时间的函数关系如图所示．
(1)小轩家与学校的距离为______，小轩步行的速度为______；
(2)求小轩从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式；
(3)小轩出时，他离家有多远？
【解答】（1）解：依题意，小轩从学校匀速步行到图书馆，当时，小轩家与学校的距离为,
小轩步行的速度为
故答案为：，
（2）∵小轩从图书馆返回家的时间：
∴总时间：
设返回时，与的表达式为：，
将，代入得：
，
解得．
∴表达式．
（3）当时，
答：此时他离家．
第19章 一次函数（期中精讲）
目录
19.1 函数-知识与方法 3
知识点① 常量与变量 3
知识点② 函数 3
知识点③ 函数自变量的取值范围 4
知识点④ 函数值 4
知识点⑤ 函数的解析式 4
知识点⑥ 函数的图象 4
知识点⑦ 函数的表示方法 4
方法① 函数的识别方法 5
方法② 确定自变量取值范围的方法 5
方法③ 利用函数图象获取信息的方法 5
方法④ 利用函数图象正确描述实际问题的方法 5
方法⑤ 分段函数的应用方法 6
19.1 函数-考点分类汇编 6
【考点1】 变量与函数 6
【命题点（一）】 函数的概念 6
【命题点（二）】 函数解析式 6
【命题点（三）】 函数自变量取值范围 6
【命题点（四）】 函数值 6
【考点2】 函数图像 6
【命题点（一）】 函数图像的识别 6
【命题点（二）】 从函数图像中获取信息 6
【命题点（三）】 动点问题的函数图像 7
19.2 一次函数-知识与方法 7
知识点① 正比例函数与一次函数 7
知识点② 待定系数法 8
知识点③ 正比例函数的图象特征与性质 8
知识点④ 一次函数的图象特征与性质 8
知识点⑤ k、b的符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系 8
知识点⑥ 一次函数与一元一次方程 8
知识点⑦ 一次函数与二元一次方程（组） 9
知识点⑧ 一次函数与一元一次不等式 9
知识点⑨ 利用一次函数解决实际问题的步骤 9
知识点⑩ 利用一次函数解决实际问题的常见类型 9
方法① 根据一次函数的概念求字母常数的值的方法 10
方法② 解成正比例关系问题的方法 10
方法③ 函数性质的应用 11
方法④ 根据一次函数图象的位置及增减性判断k,b的值（范围） 11
方法⑤ 由k,b的值（范围）确定直线的位置及函数增减性的方法 11
方法⑥ 一次函数图象平移规律的应用方法 11
方法⑦ 计算一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积的方法 11
方法⑧ 利用一次函数求解方程组或不等式的方法 11
方法⑨ 一次函数模型的应用方法 12
方法⑩ 选取合适的一次函数解决方案问题 12
方法⑪ 一次函数图象的交点坐标的实际应用方法 12
方法⑫ 利用一次函数最值解决最优化问题的方法 12
方法⑬ 构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 12
19.2 一次函数-考点分类汇编 13
【考点1】 正比例函数 13
【命题点（一）】 正比例函数的定义 13
【命题点（二）】 正比例函数的图像 13
【命题点（三）】 正比例函数的性质 13
【考点2】 一次函数 13
【命题点（一）】 识别一次函数 13
【命题点（二）】 判断一次函数图像 13
【命题点（三）】 一次函数的平移 13
【命题点（四）】 根据一次函数性质求参数 14
【命题点（五）】 根据一次函数性质比较大小 14
【命题点（六）】 求一次函数的解析式 14
【考点3】 一次函数与方程、不等式 14
【命题点（一）】 根据图像解一元一次方程 14
【命题点（二）】 根据图像解二元一次方程 14
【命题点（三）】 根据图像解不等式 14
【命题点（四）】 求直线围成的三角形面积 14
【考点4】 一次函数的应用 14
【命题点（一）】 方案问题 14
【命题点（二）】 行程问题 14
19.1 函数-知识与方法
知识点① 常量与变量★★☆
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
知识点② 函数★★☆
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
知识点③ 函数自变量的取值范围★★☆
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点④ 函数值★★☆
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
知识点⑤ 函数的解析式★★☆
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点⑥ 函数的图象★★★
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
知识点⑦ 函数的表示方法★★☆
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
方法① 函数的识别方法★☆☆
对于函数的定义，两个变量是前提，它们的对应关系是基础.必须明确：两个变量之间的对应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个或多个不同的自变量值对应一个函数值，但决不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值
方法② 确定自变量取值范围的方法★★★
整式型：等式右边是整式：全体实数
分式型：等式右边的自变量在分母的位置上：分母不为0
开平方型：等式右边是开平方的式子：被开方式大于或等于0
方法③ 利用函数图象获取信息的方法★★☆
根据图象读取信息时，要把握以下三个方面：
1)横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；
2)关于图象上的某个点，可以向横、纵轴作垂线来求得该点坐标；
3)在实际问题中，要注意图象与横、纵轴交点的坐标代表的具体含义
方法④ 利用函数图象正确描述实际问题的方法★★☆
对于已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实际问题，要正确理解图象的横、纵坐标表示的意义，以及横、 纵坐标的单位，图象的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义。
方法⑤ 分段函数的应用方法★★☆
自变量在不同的范围内取值时，函数y和自变量x有不同的对应关系，这种函数称为分段函数.解决分段函数的有关问题的关键是弄清自变量的取值范围，选择合适的解析式解决问题。
19.1 函数-考点分类汇编
【考点1】 变量与函数
【命题点（一）】 函数的概念
【例题精析1】 下列图形中，表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【例题精析2】 下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C．D．
【解答】解：A.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C.对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D.对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
【例题精析3】 一本练习本每本元，买x本共付y元，则和y分别是（ ）
A．常量，常量 B．常量，变量 C．变量，变量 D．变量，常量
【解答】解：根据常量和变量的概念可判断出是常量，y是变量．
故选：B．
【例题精析4】 下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，y是x的函数，故A不符合题意；
B、，y是x的函数，故B不符合题意；
C、，y是x的函数，故C不符合题意；
D、，当时，，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
【命题点（二）】 函数解析式
【例题精析5】 某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为___________．
【解答】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得：
，
即y关于x的函数解析式为．
故答案为：
【例题精析6】 以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
摄氏温度值/
0
10
20
30
40
50
华氏温度值/
32
50
68
86
104
122
根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是___________．
【解答】解：根据题意得：当摄氏温度值为时，华氏温度值为，且摄氏温度值每增加，华氏温度值增加，
设华氏温度值为y，摄氏温度值为x，则
华氏温度值与摄氏温度值的函数关系式为，
当时，，
解得：，
即当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是．
故答案为：
【例题精析7】 如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形的边长为，则矩形的面积与的关系式为___________．
【解答】解：由题意，得：，
∴，
即：；
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【命题点（三）】 函数自变量取值范围
【例题精析8】 函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【解答】根据题意得：
解得：且
故选：D．
【例题精析9】 在关系式中，当自变量时，因变量y的值为（ ）
A． B．8 C． D．22
【解答】解：把代入中，
得：．
故选B．
【例题精析10】 函数 中，自变量x的取值范围是_____．
【解答】解：由题意得，，
则或，
解得，或，
故答案为：或．
【例题精析11】 函数中，自变量x的取值范围是______．
【解答】解：由题意得，，
解得，且
故答案为：且．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【例题精析12】 函数自变量的取值范围为________．
【解答】解：由题意得：
，且，
解得：且，
故答案为：且．
【命题点（四）】 函数值
【例题精析13】 如图所示，表示了自变量x与因变量y的关系，当输入x的值是时，输出y的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：当时，；
故选C．
【例题精析14】 一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间（秒）与滑下的路程（米）之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程为_________米．
【解答】解：当时，，
即滑下的路程为米．
故答案为：.
【例题精析15】 根据下图所示的程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的结果为_____．
【解答】解：∵在之间，
∴将代入函数得：．故答案为：0.5．
【例题精析16】 已知函数，那么______．
【解答】解：由题意，，故答案为：．
【考点2】 函数图像
【命题点（一）】 函数图像的识别
【例题精析17】 如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度与注水时间之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：先大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，当大烧杯的液面高度达到小烧杯的高度时，大烧杯的液面高度y保持不变，所以B选择项不符合题意；当小烧杯水注满后，大烧杯的液面高度y随时间x的增加而增大，所以A选择项不符合题意；这时增加的速度较先前的慢，所以C选择项不符合题意，D项符合题意．
故选：D．
【例题精析18】 如图所示的是一台自动测温记录仪的图象，它反映了重庆秋季某天一段时间的气温随时间t变化而变化的关系，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（ ）
A．该段时间内最高气温为 B．从6时至20时，气温随着时间的推移而上升
C．从6时至15时，气温随着时间的推移而上升 D．该段时间内6时达到最低气温
【解答】解：A、由图可知，该段时间内最高气温为，故A正确，不符合题意；
B、从6时至20时，气温随着时间的推移先上升再下降，故B错误，符合题意；
C、从6时至15时，气温随着时间的推移而上升，故C正确，不符合题意；
D、该段时间内6时达到最低气温，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【例题精析19】 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的行驶路程y与行驶时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一条边长x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：汽车从地匀速行驶到地，根据汽车的行驶路程随行驶时间的增加而增加，故①不符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积不是长的一次函数，故②不符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，故③符合题意；
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是③．
故选：B．
【例题精析20】 晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会儿天，然后一起跑步回家，下面能反映肜彤和妈妈离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：彤彤和妈妈最后跑步回家，因此最后的y值为0，排除A选项；
彤彤和妈妈在公园中央的休息区聊了会儿天，因此中间有一段时间y值不变，排除D选项；
彤彤和妈妈散步到公园，再从公园跑步回家，因此回家用时较少，排除B选项，
故选C．
【命题点（二）】 从函数图像中获取信息
【例题精析21】 如图，是函数的图像，通过观察图像得出了如下结论：
（1）当时，随的增大而增大；
（2）该函数图像与轴有三个交点；
（3）该函数的最大值是，最小值是；
（4）当时，随的增大而增大．
以上结论中正确的有（ ）个
A． B． C． D．
【解答】解：（1）当时，随的增大而减小，故（1）错误；
（2）该函数图像与轴有三个交点，分别是，故（2）正确；
（3）函数的取值范围是，当时，；当时，，该函数的最大值是，最小值是，故（3）正确；
（4）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故（4）错误．
综上所述，结论正确的有（2），（3），
故选：．
【例题精析22】 正常人的体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同，如图反映了一天24小时内小明体温的变化情况，下列说法错误的是（ ）
A．清晨5时体温最低
B．17时，小明体温是
C．从5时至24时，小明体温一直是升高的
D．从0时至5时，小明体温一直是下降的
【解答】解：由函数图象可知，图中最低部的数据，则是温度最低的时刻，最高位置的数据则是温度最高的时刻；则清晨5时体温最低，下午5时体温最高；最高温度为，最低温度为；从5时到17时，小明的体温一直是升高的趋势，而17时到24时的体温是下降的趋势，从0时至5时的体温是下降的趋势．
∴四个选项中只有选项C说法错误，
故选C．
【例题精析23】 一辆货车和一辆轿车从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段和线段分别表示货车和轿车离甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系．
(1)货车的速度是________，两车相遇时，它们距甲地________；
(2)轿车的速度是________；轿车出发时，两车相距________；
(3)轿车从甲地出发到乙地所用的时间是________．
【解答】（1），
．
故答案为：60，210；
（2），
．
故答案为：100，84；
（3），
故答案为：3．
【命题点（三）】 动点问题的函数图像
【例题精析24】 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：如图，连接交于点，连接，连接交于点．
四边形是正方形，
是的中点，
点是的中点，
是的重心，
，
，
、关于对称，
，
，
当、、共线时，的值最小，
的值最小就是的长，
，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
负值已舍，
即正方形的边长为．
故选：C．
【例题精析25】 如图1，在矩形中，点E在边上，连接，点P从点A出发，沿折线A→E→C以的速度匀速运动至点C．图2是点P运动时，的面积随时间变化的函数图像，则a的值为（ ）
A．40 B．10 C．24 D．20
【解答】解：设，根据题意，，结合函数图像，得到
，，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
解得（舍去），
故选：B．
【例题精析26】 如图1，四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【解答】解：当时，点到达点处，即，
如图，过点作于点，则四边形为矩形，
，
，
，
当时，点到达点处，
，
，
四边形的面积：，
故选：D．
【例题精析27】 如图1，在四边形中，，.一动点从点出发，以的速度沿的方向不停移动，直到点到达点后才停止，已知的面积（单位：）与点移动的时间（单位：）的关系图象如图2所示，则点从运动开始到停止一共用去的时间为__________.（结果保留根号）
【解答】解：由图②可知，在2到4秒时，的面积不发生变化，
∴在上运动的时间是2秒，在上运动的时间是．
∵动点的运动速度是，
∴，．
如图，过点 作于点，过点作于点，则四边形是长方形，
∴，，
∵在2到4秒时，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴在上运动的时间是秒，
∴点从开始移动到停止移动一共用了．
故答案为：．
【例题精析28】 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量表示点运动的路程，变量表示的面积，图2表示变量随的变化情况，则当时，点所在的边是________．
【解答】解：∵时，即点R从C到达点D时，的面积开始不变，
∴，
同理可得：，
∵四边形为长方形，
∴，，
当点R在上运动时，的面积不变，且面积最大，面积为：
，
当时，，
∴点R在或边上．
故答案为：或．
19.2 一次函数-知识与方法
知识点① 正比例函数与一次函数★☆☆
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数．
知识点② 待定系数法★★★
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．
知识点③ 正比例函数的图象特征与性质★★★
正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
知识点④ 一次函数的图象特征与性质★★★
一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
知识点⑤ k、b的符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系★★☆
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
知识点⑥ 一次函数与一元一次方程★★☆
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数（≠0，为常数），当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
知识点⑦ 一次函数与二元一次方程（组）★★☆
一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
知识点⑧ 一次函数与一元一次不等式★★☆
一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
知识点⑨ 利用一次函数解决实际问题的步骤★★☆
审：仔细审题，理解题意
找：找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系
列：建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围
解：根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程
检：检验结果，得出符合实际的结论
知识点⑩ 利用一次函数解决实际问题的常见类型★★★
1.一次函数模型的应用：根据题中所给信息明确一次函数模型，利用一次函数解决实际问题
2.选取合适的一次函数解决方案问题：题中通常涉及两个一次函数或分段函数，先根据题意求出两个函数关系式然后分情况讨论，即，，进而分别求解.
3.一次函数图象的交点坐标的实际应用：题目通常先给出函数图象，通过对实际问题的理解，围绕图象交点获取信息，进而解决实际问题。
4.利用一次函数最值解决最优化问题：题中通常涉及利润最大或费用最少问题，在自变量的取值范围内，根据一次函数图象的增减性确定函数的最大（小）值
方法① 根据一次函数的概念求字母常数的值的方法★☆☆
在利用一次函数的概念求函数表达式中的字母常数的值时，一般方法是根据一次函数 的一般形式得到一个关于字母常数的关系式，解之即可求得字母常数的值。
方法② 解成正比例关系问题的方法★☆☆
两个变量y与x成正比例关系，则应满足y=kx(k≠0)的形式,这里的y与x可以表示任意整式。
方法③ 函数性质的应用★★☆
正比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)的性质主要是指函数的增减性,即y随x的变化情况，它只和k的符号有关，与b的符号无关当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
方法④ 根据一次函数图象的位置及增减性判断k,b的值（范围）★★★
1.判断k正负的方法
1)从图象倾斜方向上看：左低右高，形如“/”，k>0;左高右低，形如“\”，k<0.
2)从图象经过的象限看：图象如果过第一、三象限，那么k>0;图象如果过第二、四象限，那么k<0.
3)从增减性上看：x增大y也增大，则k>0;x增大y反而减小，则k<0.
2.判断b的符号的方法b是直线与y轴交点的纵坐标，所以通过直线与y轴的交点判断b的符号。
方法⑤ 由k,b的值（范围）确定直线的位置及函数增减性的方法★★★
在y=kx+b(k≠0)中,当k>0时,y随x的增大而增大，此时若b>0,则直线y=kx+b经过第一、二、三象限；若b=0,则直线y=kx+b经过原点及第一、三象限；若b<0,则直线y=kx+b经过第一、三、四象限。
当k<0时，y随x的增大而减小，此时若b>0,则直线y=kx+b经过第一、二、四象限；若b=0,则直线y=kx+b经过原点及第二、四象限：若b<0,则直线y=kx+b经过第二、三、四象限。
方法⑥ 一次函数图象平移规律的应用方法★★☆
1.上、下平移：直线y=kx+b(k≠0)向上平移n(n>0)个单位长度，得到直线y=kx+b+n;直线y=kx+b(k≠0)向下平移n(n>0)个单位长度，得到直线y=kx+b-n.简记为：上加下减(只改变b).
2.左、右平移：直线y=kx+b(k≠0)向左平移m(m>0)个单位长度，得到直线y=k(x+m)+b;直线y=kx+b(k≠0)向右平移m(m>0)个单位长度，得到直线y=k(x-m)+b.简记为：左加右减（只改变x).
方法⑦ 计算一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积的方法★★☆
1.在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积。
2.在求两条直线与一个坐标轴所围成的三角形的面积时，可以先确定两条直线与这个坐标轴的交点坐标（即确定三角形的底），然后求两条直线的交点坐标，最后利用三角形的面积公式得出结果。
方法⑧ 利用一次函数求解方程组或不等式的方法★★☆
1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。
2.关于x的一元一次不等式kx+b>0(<0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围。
3.关于x、y的二元一次方程组的解
方法⑨ 一次函数模型的应用方法★☆☆
函数应用题是以贴近现实生活中的话题为背景，运用函数知识来解决的一类实际生活中的问题.这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决。
方法⑩ 选取合适的一次函数解决方案问题★★☆
方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值的大小问题转化为解方程或解不等式的问题。
方法⑪ 一次函数图象的交点坐标的实际应用方法★★☆
一次函数图象的交点坐标的实际应用问题实质是方程思想在函数中的具体体现，两个一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数联立形成的二元一次方程组的解.函数图象的交点坐标的实际意义往往是解决问题的关键点。
方法⑫ 利用一次函数最值解决最优化问题的方法★★☆
最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)中的自变量x的取值范围是全体实数，其图象是一条直线，所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。
方法⑬ 构造一次函数模型解决动态几何问题的方法★☆☆
在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来解决图形运动的变化规律.解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，能够在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力。
19.2 一次函数-考点分类汇编
【考点1】 正比例函数
【命题点（一）】 正比例函数的定义
【例题精析29】 下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意；
B、，是正比例函数，符合题意；
C、，不是正比例函数，不符合题意；
D、，不是正比例函数，不符合题意．
故选：B．
【例题精析30】 已知一次函数是正比例函数，那么_____________.
【解答】一次函数是正比例函数，则，所以，
故答案为：2．
【例题精析31】 若函数是关于的正比例函数，则的值为________．
【解答】解：∵函数是关于x的正比例函数，
∴，，
∴，
故答案为：2．
【命题点（二）】 正比例函数的图像
【例题精析32】 当时，正比例函数的图像大致是（ ）
A． B． C．D．
【解答】解：正比例函数的图像是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限，故A正确．
故选：A．
【例题精析33】 已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是__________．（只需写出一个符合条件的实数）
【解答】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴k的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【例题精析34】 正比例函数的图象经过，两点，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．4
【解答】解：设该正比例函数的解析式为，
把，代入得：
，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【例题精析35】 正比例函数的图象经过点，，则的值为（ ）
A．3 B． C．－3 D．
【解答】解：正比例函数的图象经过点，
，
．
故选：B．
【命题点（三）】 正比例函数的性质
【例题精析36】 已知点，都在过第一、三象限的同一条直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【解答】因为直线过第一、三象限，可设直线的关系式为，
所以，
所以y的值随x的增大而增大，
因为点，都在这条直线上，，
所以；
故选：A.
【例题精析37】 ，是正比例函数图象上的两个点，下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，，
故A，B，D选项错误，不符合题意；C正确，符合题意．
故选：C
【例题精析38】 对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过点
C．该函数图象经过一、三象限 D．y随着x的增大而增大
【解答】解：A、函数是正比例函数，原说法正确，不符合题意，选项错误；
B、当时，，函数图象过点，原说法不正确，符合题意，选项正确；，
C、，该函数图象经过一、三象限，原说法正确，不符合题意，选项错误；
D、，y随着x的增大而增大，原说法正确，不符合题意，选项错误，
故选B．
【例题精析39】 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是_____．
【解答】解：∵在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，
∴，
解得．
故答案为：．
【例题精析40】 已知在平面直角坐标系中，点是直线上的两点，则m，n的大小关系是m____________n．（填“”，“”或“”）
【解答】解：在正比例函数中，，
该函数图象上，y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【例题精析41】 如果与成正比例，且时，．求出y与x之间的函数关系式．
【解答】设，
把，代入得，解得，
所以，
所以y与x之间的函数关系式为
【考点2】 一次函数
【命题点（一）】 识别一次函数
【例题精析42】 下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：（1），是一次函数；
（2），是一次函数；
（3），不是一次函数；
（4），是一次函数；
（5），不是一次函数，
综上，（1）（2）（4）是一次函数，共3个；
故选：B．
【例题精析43】 下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：y是x的一次函数的有：①，④，共2个，
故选：B．
【例题精析44】 下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①是一次函数；
②是一次函数；
③=3，没有自变量，不是一次函数；
④，自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤，自变量次数不为1，故不是一次函数．
综上所述，是一次函数的有2个．
故选：C．
【例题精析45】 已知函数是一次函数，则的值为___________________．
【解答】解：依题意，，
解得：，
故答案为：．
【例题精析46】 已知函数是关于x的一次函数，则m的值是______．
【解答】解：函数是关于x的一次函数，
，，
故答案为：．
【命题点（二）】 判断一次函数图像
【例题精析47】 已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，
∴一次函数的图象经过定点；
∴一次函数一定经过第二象限，
当时，即，在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，
∴一次函数的图象经过定点，
∴一次函数必定经过第三象限，
又∵，
∴一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【例题精析48】 已知点在第四象限内，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【解答】解：点为第四象限内的点，
，，
∴，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，观察选项，A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意；
故选：A．
【例题精析49】 在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误；
B、反映，，反映，，则，故本选项错误；
C、反映，，反映，，则，故本选项错误；
D、反映，，反映，，则，故本选项错误；
故选：D．
【例题精析50】 下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中、为常数，且）的大致图像，其中表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A.由一次函数图像可知，则；正比例函数的图像可知不矛盾，故此选项正确，符合题意；
B. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
C. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
D. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【例题精析51】 函数与的图象在同一直角坐标系内的大致位置是（ ）
A． B． C．D．
【解答】分四种情况：
①当，时，的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、三象限，无选项符合；
②当，时，的图象经过第一、三、四象限；的图象经过第一、二、四象限，B选项符合；
③当，时，的图象经过第一、二、四象限；的图象经过第一、三、四象限，B选项符合；
④当，时，的图象经过第二、三、四象限；的图象经过第二、三、四象限，无选项符合．
故选：B．
【命题点（三）】 一次函数的平移
【例题精析52】 在平面直角坐标系中，将一次函数（k是常数）的图象向上平移2个单位长度后经过点，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由题意得，平移后的一次函数解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
∴，
故选A．
【例题精析53】 在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向右平移2个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：平移后抛物线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
故选：C．
【例题精析54】 直线可以由直线沿着轴向______（填“上”“下”）平移______个单位得到．
【解答】解：直线可以由直线沿y轴向向上平移5个单位得到．
故答案为：上，5．
【例题精析55】 在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．
【解答】解：将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，即，
∴平移后的直线与x轴交于，
∴，
解得，
故答案为．
【例题精析56】 一次函数的图像经过点，每当增加个单位时，增加个单位，则此函数图像向上平移个单位长度的表达式是________．
【解答】解：∵函数图像经过点，每当增加个单位时，增加个单位，
∴函数图像经过点，
∴根据题意可得方程：
∴解方程得：
∴一次函数的解析式为：，
∴函数图像向上平移个单位长度的表达式为：,
故答案为：．
【命题点（四）】 根据一次函数性质求参数
【例题精析57】 已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值是（ ）
A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定
【解答】解：由一次函数性质知，当时，y随x的增大而增大，所以得，
解得，
即；
当时，y随x的增大而减小，所以得，
解得，
即．
∴的值为或16．
故选C．
【例题精析58】 若关于的一次函数，y随x的增大而增大，则的取值范围___________．
【解答】解：∵一次函数，y随x的增大而增大，
∴．
∴．
故填：．
【命题点（五）】 根据一次函数性质比较大小
【例题精析59】 已知、是一次函数的图像上的不同两个点，时，k的取值范围是______．
【解答】∵，
与同号，
∴当时，，当时，，
∴y随x增大而增大，
，
故答案为：．
【例题精析60】 已知一次函数的图象上两个点，，当时，．则________（填＞，＜，＝）
【解答】∵当时，
∴
∴．
故答案为：＜．
【例题精析61】 已知：点、在函数的图像上，则______（在横线上填写“”或“”或“”）．
【解答】解：∵，
∴y将随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【例题精析62】 已知点，是函数图像上的两个点，若，则______．（填“＞”“＜”或“＝”）
【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵点，是函数图象上的两个点，且，即
∴．
故答案为：．
【例题精析63】 已知、是一次函数的图象上的两点，则______．（填“”或“”或“”）
【解答】解：一次函数中的，
随的增大而增大，
、是一次函数的图象上的两点，且，
，
故答案为：．
【命题点（六）】 求一次函数的解析式
【例题精析64】 如图，直线：分别与x，y轴交于、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)直线：交于E，交于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）将点代入直线解析式可得：
，
解得：，
直线 解析式为，
直线与y轴交于B点，则B点横坐标为，
，
B点坐标为：．
（2），且，
，
点C的坐标为，
设的解析式是，将点和代入解析式，
得，
解得：，
直线的解析式是：．
（3）过E、F分别作轴，轴，则，
，
，
又，
，
，
联立得，
解得：，
联立，
解得：，
，，
，
，
当时，存在直线：，使得．
【例题精析65】 已知一条直线经过点，．
(1)求直线的表达式；
(2)若过点作直线平行于，求的表达式．
【解答】（1）解：设直线的表达式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵直线平行于，
∴可设的表达式为，
把点代入得：
，
解得：，
∴的表达式为．
【例题精析66】 已知一次函数．当时，；当时，．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求这个一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】（1）解：由题意得，，
∴，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）设一次函数与x轴，y轴分别交于A，B，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴．
【考点3】 一次函数与方程、不等式
【命题点（一）】 根据图像解一元一次方程
【例题精析67】 在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则方程的解为___________．
【解答】解：∵一次函数和的图象交于点，
∴方程的解为．
故答案为：．
【例题精析68】 如图，一次函数的图象经过点，，则方程的解是_______．
【解答】解：∵一次函数的图象经过点，
当时，，
∴方程的解是；
故答案为：．
【例题精析69】 如图，已知直线，则方程的解为__________．
【解答】解：根据图象可知：在的图象中，当时， ，
则的解为，
故答案为：．
【例题精析70】 如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，关于x的方程的解是______．
【解答】解：根据题意，则
∵直线与直线交于点，
∴关于x的方程的解是：，
故答案为：．
【命题点（二）】 根据图像解二元一次方程
【例题精析71】 如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得，二元一次方程组的解是 _____．
【解答】解：∵函数和的图象的交点的坐标为，
∴二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【例题精析72】 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__．
【解答】解：把代入得：，
∴，
∵点P为一次函数与的图象交点，
∴方程组的解是；
故答案为：．
【例题精析73】 一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____．
2
1
0
0
3
6
9
6
3
0
【解答】解：由表中数据得到时，，
所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为，
所以方程组的解为，．
故答案为：1，3．
【例题精析74】 已知函数的交点坐标为，则关于x的不等式的解集为_________．
【解答】∵，
∴，
∵函数的交点坐标为，
如图，
∴当时，，当时，，
∴满足的x的范围为，
故答案为：．
【命题点（三）】 根据图像解不等式
【例题精析75】 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知：两条直线的交点坐标为，
∵，
∴，
∴，即直线在直线的上方，
∵当时，直线在直线的上方，
∴解集为，
故选：B．
【例题精析76】 如图，一次函数（、为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围，
∴当时，x的取值范围是，
故选：A．
【例题精析77】 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的下方，
∴关于x的不等式的解集是．
故选：B．
【命题点（四）】 求直线围成的三角形面积
【例题精析78】 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴，
设点D的坐标为，则：
，
解得：，
，
∴点D的坐标为，故A正确．
故选：A．
【例题精析79】 已知一次函数与的图像都过点，且与y轴分别交于点B，C．
(1)求m，n的值；
(2)求的面积．
【解答】（1）解：∵一次函数与的图像都过点，
∴把点分别代入，得
，，
∴，；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，，
分别令，则
，，
∴点B的坐标为，点C的坐标为；
∴，
∴的面积为：；
【例题精析80】 已知直线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线上有点C，且满足，求点C的坐标．
【解答】（1）设直线的解析式为，
∵直线过点、点，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
（2）设点C的坐标为，
∵，
∴，解得或，
∴或，
∴点C的坐标是或．
【例题精析81】 如图，直线：与直线：相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3．
(1)求直线的解析式；
(2)若D是直线上一点，且点D的横坐标为1，求的面积．
【解答】（1）解：当时，，
，
，
，
点的纵坐标为3，
，解得，
，
则，解得．
故直线的解析式为；
（2）在中，令，则，
∴，
的面积．
【考点4】 一次函数的应用
【命题点（一）】 方案问题
【例题精析82】 为了准备“迎新”汇演，七（1）班学生分成甲乙两队进行几天排练．其中甲队队长对乙队队长说：你们调人来我们队，则我们的人数和你们的人数相同；乙队队长跟甲队队长说：你们调人来我们队，则我们的人数是你们的人数的倍．
(1)根据甲队队长对乙队队长交谈的内容，设甲队有人，则乙队有 人，求出七（1）班的学生人数 ；
(2)为了增强演出的舞台效果，全部学生需要租赁演出服装，班主任到某服装租赁店了解到可供选择的收费方式如下：
方式一：一套服装一天收取元，另收总计元的服装清洗费；
方式二：在一套服装一天收取元的基础上打九折，一套服装每天收取服装清洗费元，另收每套服装磨损费元不按天计算；
设租赁服装天为整数，请你帮班主任参谋一下：选择哪种付费方式节省一些，并说明理由．
【解答】（1）解：设乙队有人，由题意可得：
，
解得：，
七（1）班的学生人数为：
人，
故答案为；
（2）解：分别用、表示两种方案的总费用，由题意可得：
，
，
，
当时，，即租赁服装天数为天时，第一种付费方式较节省；
当时，，即租赁服装天数为天时，两种付费方式一样；
当时，，即租赁服装天数多于天时，第二种付费方式较节省．
【例题精析83】 由于连日大雨，某城市局部面临内涝，当地相关部门迅速组织防涝抗涝工作，抽调一批抽水泵紧急抽水排险．经在抽水现场测得A型和B型两款抽水泵抽水量情况如下：4台A型抽水泵和5台B型抽水泵同时工作，可抽水的水；2台A型抽水泵和10台B型抽水泵同时工作，可抽水的水．
(1)求A、B两款抽水泵每分钟分别能抽水多少立方米？
(2)该地防洪相关部门，为了以后抗涝需要，计划进购一批A型和B型两款抽水泵，要求这批抽水泵全部同时工作1分钟，能抽水150立方米的水．设购买A型抽水泵m台，B型抽水泵台，请用含n的代数式表示m．
(3)A型抽水泵每台标价2万元，若一次性购买不少于30台，可打九折，若少于30台则按标价销售；B型抽水泵每台标价3万元，若一次性购买不少于30台，可打八折，若少于30台则也按标价销售；在（2）的条件下，问如何购买使得总费用最小？请通过分析计算给予说明．
【解答】（1）解：设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和；
（2）解：由题意可知：，
；
（3）解：，当n取最大值50时，，则A型抽水泵至少要买40台，
这项购买计划中A型抽水泵价格始终是标价的九折，
当时，购买总费用：，
即时，购买总费用最小，费用为（万元），
当时，购买总费用：，
即时，购买总费用最小，费用为（万元），
答：选购B型抽水泵30台，A型抽水泵64台时，购买总费用最少，此时需要万元．
【例题精析84】 广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．
【解答】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，
，
解得．
即一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨；
（2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，
根据题意有：，且为正整数，
解得，且为正整数，
设总共费用为w，
根据题意有：，
∵，
∴总共费用w，随着a的增大而增大，
∴当时，最小，且最小为：（元），
此时最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆．
【例题精析85】 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？
【解答】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得，
解得．
设6台机器人每小时的分拣量为w，则．
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每小时的分拣量最大．
【例题精析86】 渭南水晶饼金面银帮，起皮掉酥，凉舌渗齿，清香适口，具有浓郁的传统风味，被商业部定为名特食品.某水晶饼生产商借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售水晶饼，已知线上零售40kg、线下批发80kg水晶饼共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg水晶饼的销售额相同.
(1)求线上零售和线下批发水晶饼的单价分别为每千克多少元？
(2)该生产商某月线上零售和线下批发共销售水晶饼2000kg，设线上零售，获得的总销售额为元：
①请写出与的函数关系式；
②当线上零售和线下批发的数量相等时，求获得的总销售额为多少？
【解答】（1）设线上零售水晶饼的单价为每千克元，线下批发水晶饼的单价为每千克元，
由题意得，，
解得：，
答：线上零售水晶饼的单价为每千克40元，线下批发水晶饼的单价为每千克30元；
（2）①由题意得：，
即与的函数关系式为：；
②当时，，
即当线上零售和线下批发的数量相等时，获得的总销售额为70000元．
【命题点（二）】 行程问题
【例题精析87】 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
骑行时间/min
10
20
25
品牌收费/元
8
品牌收费/元
8
(2)填空：
①品牌10分钟后，每分钟收___________元
②如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱；
③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时的值是________．
(3)直接写出，关于的函数解析式．
【解答】（1）对于A品牌每分钟骑行的费用为：（元）
所以，骑行10分钟的费用为：（元）
骑行25分钟的费用为：（元）
对于B品牌，由图象可知，骑行10分钟的费用为：6元；
骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）；
所以，骑行25分钟后的费用为：（元）
所以，填表如下：
骑行时间/min
10
20
25
品牌收费/元
4
8
10
品牌收费/元
6
8
9
（2）①B品牌骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）；
②小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班所用时间为，（分钟）
A品牌骑行30分钟后的费用为：（元）；
B品牌骑行30分钟后的费用为：（元）；
由于，
因此，小明选择B品牌共享电动车更省钱；
③由题意可得，
或，
解得或，
故答案为：①0.2；②B；③7.5或35．
（3）设的解析式为，
把代入得，，解得，，
所以，；
当时，；
当时，设，
把，代入，得，
解得，
所以，，
即
【例题精析88】 假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到南京博物院参观，小区与南京博物院的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达南京博物院，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，
请根据图像回答下列问题：
(1)甲在南京博物院参观的时间为______分钟，甲返回小区的速度为______千米/分钟；
(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
(3)若两人之间的距离为y千米，请画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图像．
【解答】（1）甲在南京博物院参观的时间为（分钟）
甲返回小区的速度为（千米/分钟）
故答案为：，；
（2）设直线的函数表达式为．
∵，
∴，
解得．
∴直线的函数表达式为
当甲从图书馆返回时：设直线的函数表达式为．
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
∴，
解得．
当时，．
∴．
答：P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米．
（3）如图即为y（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数图像．
当时，两人之间的距离为；
当时，两人之间的距离为；
当时，两人之间的距离为；
当时，两人之间的距离为．
【例题精析89】 近年来，随着市场需求的快速提升以及快递行业的高速发展，快递业务量也在高速增长．已知A、两地之间有一条长千米的公路．某物流公司的快递车从A地出发匀速开往地，出发两小时到达目的地，在地卸完物品后按原路原速返回．车辆距A地的路程与行驶的时间之间的函数关系如图所示．
(1)求该车原路返回时与之间的函数关系式；
(2)当该车距地千米时，求该车行驶的时间．
【解答】（1）解：设与之间的函数关系式为，
该物流公司的快递车的速度：，按原路原速返回，
，
由图可知，函数图像经过，
，解得，，
与之间的函数关系式为；
（2）解：设去时函数解析式为，
将代入可得，
，解得，
∴，
当该车距地千米时，，
分别代入两个解析式得，
，解得，
，解得，
∴故该车行驶的时间为或；
【例题精析90】 为了合理利用防疫物资，省防疫指挥部积极在各个地区之间进行物资调配，甲、乙两辆车沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为，甲、乙两车前进的路程分别为、，甲车出发后的时间为，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：
(1)甲的速度是________，乙比甲晚出发_________h；
(2)请你分别求出甲、乙两人前进的路程、与甲出发后的时间之间的函数关系式；
(3)甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离B地还有多远？
【解答】（1）解：甲的速度是；
乙比甲晚出发；
故答案为：50；1．
（2）解：设甲、乙两人前进的路程、与甲出发后的时间之间的函数关系式分别为：，，
把代入得：，
解得：，
∴；
把，代入得：，
解得：，
∴；
（3）解：令，
解得：，
∴甲经过被乙追上；
把代入得：，
，
∴此时两人距离B地还有．
【例题精析91】 已知A，B两港口相距150海里，甲船从A港行驶到B港后，休息一段时间，速度不变，沿原航线返回，同时，乙船从A港出发驶向B港，甲、乙两船离A港的距离s（海里）与甲船行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，当两船相遇时，两船到A港的距离为90海里，乙船在行驶过程中，速度不变．（假设甲、乙两船沿同一航线航行）
(1)直接写出M点的坐标_______；
(2)分别求线段、的表达式；
(3)甲船行驶多少小时后两船在甲船返航过程中相距30海里？
【解答】（1）解：∵甲船返回时速度不变，
∴返回时间为5小时，
，
所以，点M的坐标为，
故答案为：；
（2）解：由图可知：点，
设所在直线的解析式为：，
把点，点分别代入解析式，得
解得
故线段的表达式为：；
甲船的速度(海里/时)，
到两船相遇时乙船行驶的时间为：(小时)，
乙船的速度为：(海里/时)，
乙船行驶的时间为：(小时)，
此时，
故点，由图可知：点，
设直线的表达式为，
把点，点分别代入解析式，得
解得
故线段的表达式为：；
（3）解：设甲船行驶x小时后两船相距30海里，
①若相遇前相距30海里，则，
解得，
②若相遇后再相距30海里，则，
解得，
所以，甲船行驶小时或小时后，两船相距30海里．
【例题精析92】 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．
(1)两城相距______千米；
(2)求出乙车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系式；
(3)求甲乙两车相遇时甲车行驶的时间以及此时距离A城的距离．
【解答】（1）解：根据函数图象可知，当时，，可得两城相距千米，
故答案为：．
（2）设直线乙的函数解析式为，
直线过点，点
，
解得，
即直线乙的函数解析式为
（3）由题可知，直线甲的函数解析式为
所以：，
解得
那么，甲乙两车相遇时甲车行驶的时间是2.5小时，此时距离A城的距离为150km．
【例题精析93】 小轩家、学校、图书馆依次在一条直线上，小轩从学校匀速步行到图书馆，到达图书馆还完书后，他想快点到家，于是骑共享单车原路返回家中(上、下车时间忽略不计)，骑自行车的速度是步行的倍．小轩离家的距离与他所用时间的函数关系如图所示．
(1)小轩家与学校的距离为______，小轩步行的速度为______；
(2)求小轩从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式；
(3)小轩出时，他离家有多远？
【解答】（1）解：依题意，小轩从学校匀速步行到图书馆，当时，小轩家与学校的距离为,
小轩步行的速度为
故答案为：，
（2）∵小轩从图书馆返回家的时间：
∴总时间：
设返回时，与的表达式为：，
将，代入得：
，
解得．
∴表达式．
（3）当时，
答：此时他离家．
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