2022扬州中学高二下学期6月月考数学试题含解析

江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期6月月考试题

高二数学

试卷满分：150分，考试时间：120分钟

注意事项：

1． 作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码．

2． 将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效．

3． 考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得结果.

【详解】因为，则或

，因此，.

故选：D.

2. 若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂函数的图象经过点求解.

【详解】解：因为幂函数的图象经过点，

所以，解得，

所以．

故选：A

3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接由散点图判断相关系数的正负及大小即可.

【详解】由题中的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，则，，

图2和图4是负相关，相关系数小于0，则，，

图3和图4的点相对于图1和图2更加集中，所以相关性较强，所以更接近于1，更接近于，由此可得．

故选：A．

4. 展开式中的系数为（    ）

A. 10 B. 24 C. 32 D. 56

【答案】D

【解析】

【分析】

先将式子化成，再分别求两项各自的的系数，再相加，即可得答案.

【详解】∵，

∴展开式中含的项为，

展开式中含的项，

故的系数为.

故选：D.

【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

5. 已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】把题意转化为在内应有两个不同的异号实数根，利用零点存在定理列不等式组即可求得.

【详解】函数，导函数.

因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．

，解得：，实数a的取值范围.

故选：C．

6. 已知函数的图像如图所示，则该函数的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象知的定义域及时B中函数值符号、趋向正无穷C中函数值的变化趋势，结合排除法即可得答案.

【详解】由题图知：定义域为，排除A；

当时，则，排除D：

当趋向正无穷时，、趋向于正无穷，趋向于0，则趋向于正无穷，

而的变化率比大，即趋向于0，排除C.

故选：B

7. 医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（    ）

A.  B.  C. 1% D. 10%

【答案】A

【解析】

【分析】在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是感染者为阴性除以正常人为阴性与感染者为阴性的和.

【详解】由题意知，某小区感染了该病的人有，未感染的人有

该试剂将感染者判为阳性的概率是，则试剂将感染者判为阴性的概率是

将正常者判为阳性的概率是，则将正常者判为阴性的概率是

则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率为

故选：A.

8. 已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先作函数和的图象，利用特殊值验证A错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.

【详解】作函数和的图象，如图所示：

当时，，即，解得，此时，故A错误；

结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误；

当时，，即，

故，即，所以，

故，即，所以，故D正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）

9. 现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（    ）

A. 每人都安排一项工作的不同方法数为

B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为

C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这名同学全部被安排不同方法数为

D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

【答案】CD

【解析】

【分析】利用分步计数原理可判断A选项；利用先分组再排序，结合分步计数原理可判断B选项；利用分类加法与以及部分平均分组原理可判断C选项；利用分类计数原理和分步计数原理可判断D选项.

【详解】对于A选项，每人各有种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为，A错；

对于B选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则必有人参加一份工作，

其余人都参加一份工作，

可先将人分为组，有一组为人，然后将这四组分配给四种工作即可，共有种安排方法，B错；

对于C选项，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，有两种情况：

①有人选同一种工作，其余人只安排一种工作；

②有种工作只有人，其余种工作都只有人.

所以，不同的安排方法种数为，C对；

对于D选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，

甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，分两种情况讨论：

①开车这份工作有人参与，其余工作各分配人，共有种安排方法；

②开车这份工作只有人参与，有人参与同一份工作，其余人各参与一份工作，共有.

综上所述，共有不同安排方案的种数是，D对.

故选：CD.

10. 已知，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用赋值法可判断ABC，在展开式两边对求导，然后利用赋值法可判断D.

【详解】在中，令，得，故A正确；

在中，令，得，

在中，令，得，

所以，故B正确；

在中，令，得，

又，所以，故C不正确；

在中，两边对求导，

得，

令，得，故D正确.

故选：ABD.

11. 已知正方体的棱长为1，若，，则（    ）

A. 至多与，之一垂直 B. 若，则

C. 异面直线与所成角的正弦值为 D.

【答案】BC

【解析】

【分析】如图，建立空间直角坐标系,利用向量法依次判断各选项即可得出结果.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，则

，,则A错误.

又,不垂直，D错误.

又,,，C正确.

又则， ，到面的距离即为到面的距离,

面,到面的距离为,

,则B正确，

故选：BC

12. 已知函数及其导函数满足，且，则（    ）

A. 在上单调递增 B. 在上有极小值

C. 的最小值为-1 D. 的最小值为0

【答案】ABD

【解析】

【分析】构造函数，利用导数运算公式求出函数的解析式，由此可得函数的解析式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项.

【详解】设，则，

所以（C为常数），

所以，

又，所以，

所以，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以在处取得极小值，

因为，所以，

所以在上有极小值

可知A，B都正确．

，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的极小值即最小值为，故C错误．

，

当时，，，所以，

当时，，，所以，

而当时，，所以的最小值为0，

故D正确．

故选：ABD.

【点睛】本题解决的关键在于通过构造函数，利用所给条件求出函数函数解析式.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）

13. 某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X ~N（80，25），如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是___________.（若X ~ N（μ，σ2），则P（μ-σ<X<μ+σ）= 0.6827，P（μ- 2σ<X<μ+2σ）= 0.9545，P（u-3σ<X<μ+ 3σ）= 0.9973）

【答案】0.1587

【解析】

【分析】直接根据正态分布的对称性即可得结果.

【详解】.

故答案为： 0.1587.

14. 若命题“，成立.”是真命题，则实数a的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】将命题转化为在上有解，结合二次函数的性质求a的范围.

【详解】令，则在上有解，

开口向上且对称轴为，，

所以或，解得.

故答案为：

15. 已知随机变量的分布列如下表：

若，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】由分布列的性质和期望的公式，联立方程组，求得，求得，结合，即可求解.

【详解】由分布列的性质和期望的公式，可得，，

解得，所以，

所以.

故答案为：.

16. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最大值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】先将转化为，再令构造函数，

求导得到单调性，最后参变分离得到a的取值范围即可.

【详解】由可得，，令，，

故在上单增，.令且，，当时，单增，

当或，单减.

又等价于，

当时，恒成立，；

当时，可得，即，；

当时，可得 ，又时，，.

综上，，故a的最大值是.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）

17. 已知：.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）   

（2）-1

【解析】

分析】（1）根据排列数，展开计算即可得解；

（2）一是可以利用二项展开式进行展开，计算得解后利用对应相等即可得解；二是可以由，得到，由即可得解.

【小问1详解】

由原式得：

，

∵，，∴；

【小问2详解】

方法一：由（1）知，，所以

，

方法二：由（1）知，，

所以，从而

所以.

18. 已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求，的值；

（2）用定义证明在上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】（1）根据奇函数定义，利用且，列出关于、的方程组并解之得；

（2）根据函数单调性的定义，任取实数、，通过作差因式分解可证出：当时，，即得函数在上为减函数；

（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为：对任意的都成立，结合二次函数的图象与性质，可得的取值范围．

【详解】解：（1）为上的奇函数，，可得

又（1）

，解之得

经检验当且时，，满足是奇函数．

（2）由（1）得，

任取实数、，且

则

，可得，且

，即，函数在上为减函数；

（3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数．

不等式恒成立，即

也就是：对任意的都成立．

变量分离，得对任意的都成立，

，当时有最小值为

，即的范围是．

【点睛】本题以含有指数式的分式函数为例，研究了函数的单调性和奇偶性，并且用之解关于的不等式，考查了基本初等函数的简单性质及其应用，属于中档题．

19. 党的十九届五中全会提出，要加快构建以国内大循环为主体、国内国际双循环相互促进的新发展格局．为适应新形势，满足国内市场需求，某对外零件加工企业积极转型，新建了A，B两个车间，加工同一型号的零件，质监部门随机抽检了两个车间的各100件零件，在抽取中的200件零件中，根据检测结果将它们分为“甲”、“乙”、“丙”三个等级，甲、乙等级都是合格品，在政策扶持下，都可销售出去，而丙等级是次品，必须销毁，具体统计结果如下表所示：

（表一）

（表二）

（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有95%的把握认为零件的合格率与生产车间有关？

（2）每个零件的生产成本为30元，甲、乙等级零件的出厂单价分别为元、元（）．另外已知每件次品的销毁费用为4元．若A车间抽检的零件中有10件为甲等级，用样本的频率估计概率，若A、B两车间都能盈利，求实数a的取值范围．

附：，其中．

【答案】（1）填表见解析；没有95%的把握认为零件的合格率与生产车间有关   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题目条件完成列联表，计算 ，根据卡方数表判断即可

（2）先分别求出车间“甲”、“乙”、“丙”三个等级的产品数量，再列出车间利润的分布列，求出期望，根据 确定的取值范围

【小问1详解】

完整的列联表为

所以

所以没有95%的把握认为零件的合格率与生产车间有关

【小问2详解】

设A、B两车间每件零件的利润分别为元、元，

则，的可能取值均为，，，则

则，的分布列为

所以A车间零件的平均利润为

B车间零件的平均利润为，

由得，所以时，两车间都盈利

20. 如图，已知四棱台的底面是矩形，平面平面，，为的中点，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）证明平面，原题即得证；

（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【小问1详解】

证明：平面平面，平面平面，，平面，

平面． 又平面，．

，平面，，

平面．

又平面，平面平面．

【小问2详解】

解：设，则．

由（1）知，故．

所以，即，解得，所以．

又由棱台的性质可知故．

由（1）可知所在直线两两垂直，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 ，

则

所以．

设，且平面，则，即

故可取．

设平面，可取，

所以．

由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

21. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫（）内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.

（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如表的数据：

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？

（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中）

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】（1），经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；（2）.

【解析】

【分析】（1）先求得，结合，求得，，写出回归方程，再将，代入求解；

（2）设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，根据最多再进行4局就有胜负，分，，，利用独立事件的概率，结合互斥事件的概率求解.

【详解】（1）由题意，，

令，设关于的线性回归方程为，则

，

则.

∴，又，

∴关于的回归方程为，

故时，.

∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒.

（2）设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局就有胜负.

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴；

当时，小明胜，∴.

∴小明最终赢得比赛的概率为.

22. 已知函数．

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；

（2）当时，函数有两个零点.

①求的取值范围；

②证明：．

【答案】（1）   

（2）① ；②证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行得到切线斜率，然后利用导数几何意义计算即可；

（2）①先将时，函数有两个零点转化为与直线有两个交点，然后判断函数在上的单调性，然后计算极值和区间端点值（或趋势值）即可求得的取值范围.

②通过对数运算并联立方程组得到，然后将待证不等式转化证明不等式，再构造函数证明即可.

【小问1详解】

，

．

【小问2详解】

①令，则．

设，则，

令，得．

当时，；当时，．

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

∵，

．

②不妨设，

由题意，取对数．

联立得，

令，则解得．

，

要证只需证，

即，

令，

，

，

即得证．

（其他方法酎情给分）

【点睛】本题第（2）问的①解题关键在于命题转化，将函数零点个数问题转化为两函数图像的交点个数问题；②的关键在于构造齐次式，然后将双变量问题转化为单变量问题进行处理.