2023扬州中学高二上学期12月月考试题数学含解析

江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期12月考

高二数学

2022.12

试卷满分：150分，考试时间：120分钟

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）公众号高中僧试题下载

1．已知点，，则直线AB的倾斜角为（        ）

A．30°     B．60°     C．30°或150°   D．60°或120°

2．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（        ）

A．4     B．3     C．2     D．1

3．在等比数列中，已知，则（        ）

A．4     B．6     C．8     D．10

4．抛物线的准线方程为（        ）

A．    B．    C．    D．

5．已知圆E：与x轴相切，且截y轴所得的弦长为，则圆E的面积为（        ）

A．    B．    C．    D．

6．已知，双曲线的左､右焦点分别为，，点P是双曲线右支上一点，则的最小值为（        ）

A．5     B．7     C．9     D．11

7．已知数列满足，且，则（        ）

A．     B．     C．     D．

8．已知，，为椭圆C：上不同的三点，直线l：，直线PA交l于点M，直线PB交l于点N，若，则（        ）

A．0     B．     C．     D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．下列说法中，正确的有（        ）

A．直线在y轴上的截距是2

B．直线经过第一、二、三象限

C．过点，且倾斜角为90°的直线方程为

D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为

10．过点且与圆相切的直线的方程为（        ）

A．    B．    C．  D．

11．已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（        ）

A．         B．E的离心率等于

C．双曲线渐近线的方程为    D．的内切圆半径是

12．已知数列满足，设数列的前n项和为，其中，则下列四个结论中，正确的是（        ）

A．的值为2         B．数列的通项公式为

C．数列为递减数列       D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．曲线在点处的切线的斜率为              ．

14．已知数列首项为2，且，则             

15．已知直线：与直线：（m，）相交于点M，点N是圆C：上的动点，则的取值范围为              ．

16．已知椭圆C：的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为              ．

四、解答题（本大题共6小题，计70分．）

17．已知二次函数，其图象过点，且．

（1）求a、b的值；

（2）设函数，求曲线在处的切线方程．

18．已知抛物线C：上的点到抛物线C的焦点的距离为2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）直线l：与抛物线交于P，Q两个不同的点，若，求实数m的值．

19．已知数列前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2），求数列的前n项和．

20．已知圆C：．

（1）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；

（2）若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求△CMN的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

21．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，．各项均为正数的等比数列满足，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

22．已知椭圆C：的离心率为，直线过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线的距离为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点，过点的直线l不经过点A，且与椭圆C交于M，N两点，证明：直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值．

参考答案：

1．B

【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率k，即可知直线的倾斜角．

【详解】由题意可知A，B两点间的斜率，

设直线AB的倾斜角为α，

则，所以

故选：B

2．A

【分析】根据平均变化率的定义直接求解．

【详解】因为函数，

所以该函数在区间上的平均变化率为

，

故选：A

3．A

【分析】用基本量，q表示出来可以求；或者考虑下标和公式．

【详解】在等比数列中，，解得，

则．

故选：A．

4．D

【分析】由抛物线定义，求出p，则可求准线方程．

【详解】抛物线的方程可变为，由，则其准线方程为．

故选：D．

5．A

【分析】根据圆E与x轴相切，可得，再结合圆心到y轴的距离、半弦长、半径满足勾股定理，建立方程即可求解．

【详解】∵圆E：与x轴相切，截y轴所得的弦长为，

∴圆心为，半径为，半弦长为，圆心到y轴的距离为，

∴，解得，

∴，即圆E的面积为：．

故选：A．

6．C

【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案．

【详解】由双曲线，则，，即，且，，由题意，作图如下：

，当且仅当A，P，共线时，等号成立．

故选：C．

7．C

【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案．

【详解】

因为，

所以，

则，

有，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

则，

所以

则，

所以．

故选：C．

【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等，其中待定系数法较为常见．

一、倒数变换法，适用于（A，B，C为常数）

二、取对数运算

三、待定系数法

1、构造等差数列法

2、构造等比数列法

①定义构造法。利用等比数列的定义通过变换，构造等比数列的方法．

②（A，B为常数）型递推式可构造为形如的等比数列．

③（A，B，C为常数，下同）型递推式，可构造为形如的等比数列．

四、函数构造法

对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法．

8．B

【分析】根据三角形面积公式及或得，再应用相交弦长公式列方程，即可求．

【详解】由，则

由图知：当P位置变化时，或，故，

所以，而直线AP、BP斜率存在且不为0（），

故，

，

所以，即或，

当，化简得．

当时，，显然，无解．

所以．

故选：B．

9．BC

【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。

【详解】

对于A：令时，，故在y轴上的截距是2，A错．

对于B：直线的斜率为2，在x、y轴上的截距分别为、5，故直线经过第一、二、三象限，B对．

对于C：过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对．

对于D：当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代入直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代入直线得，直线方程为：，故D错．

故选：BC

10．AC

【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解．

【详解】设切线为l，圆心到切线的距离为d，圆的半径为

若l的斜率不存在，则直线方程为，

圆心到直线的距离，满足题意；

若l的斜率存在，设直线方程为，即，

因为直线与圆相切，所以，解得，

所以切线方程为．

故选：AC．

11．ACD

【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合，得到，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径r的表达式与c有关，可判断D项正确．

【详解】如图所示，

因为M，O分别是，的中点，所以中，，所以轴，

A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；

B选项中，中，，，，

所以，得：，故B不正确；

C选项中，由，即，即，即，

所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；

D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，所以D正确

故选：ACD．

12．ACD

【分析】

对于A．只需令即可得出的值；对于B．已知数列的前n项和，根据前n项和与数列的关系即可求出的通项公式，继而得到的通项公式；对于C．已知的通项公式，利用递减数列定义列式判断即可；对于D．化简得出数列，裂项相消即可得出．

【详解】

对于A．，即，故A正确；

对于B．①，②，

①－②得，，

当时，

故数列的通项公式为，B错误．

对于C．令

因为，所以，数列为递减数列，故C正确

对于D．

故D正确．

故选：ACD

【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求．

13．2

【分析】由导数几何意义即可求．

【详解】，，

∴所求切线斜率为2．

故答案为：2

14．

【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可．

【详解】由可得，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以，即，

故答案为：

15．

【分析】根据题设易知过定点，过定点且，则M在以AB为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆C的圆心距，根据动点分别在两圆上知的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案．

【详解】由题设，：（m，）恒过定点，：（m，）恒过定点，

因为，所以，即垂足为M，

所以M在以AB为直径的圆上，圆心为，半径为，

故M轨迹方程为D：，

而C：的圆心为，半径为2，

所以两圆圆心的距离为，而M、N分别在两圆上，

故的最大值为，最小值为，

所以．

故答案为：．

16．

【分析】先由得到F为△APQ的重心，再利用点差法求得a、b、c之间的关系，进而求得椭圆的离心率

【详解】设，，，，线段PQ的中点为，

由，知F为△BPQ的重心，故，

即，解得，，

又M为线段PQ的中点，则，，

又P、Q为椭圆C上两点，则，，

两式相减得，

所以，

化简得，则

解得或（∵故舍去）

则，则离心率．

故答案为：

17．（1）（2）

【分析】

（1）利用导数和已知条件可得出关于实数a、b的方程组，可求得实数a、b的值；

（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程．

（1）解：

因为，则，

所以，，解得．

（2）解：因为的定义域为，且，

所以，，，故切点坐标为，

所以，函数在处的切线方程为．

18．（1）（2）

【分析】

（1）运用抛物线定义即可；

（2）联立方程解到韦达定理，再将OP⊥OQ转化为向量垂直，根据数量积为0列方程，化简，求值即可．

【详解】

（1）已知抛物线过点，且，

则，

∴，

故抛物线的方程为．

（2）设，．

联立，

消去y整理得

∴，

则，

则，．

由OP⊥OQ得

，

∴或．

当时，直线l与抛物线的交点中有一点与原点O重合，不符合题意，

综上，实数m的值为．

19．（1），（2）

【分析】

（1）根据已知条件并结合公式即可计算出数列的通项公式；

（2）先根据第（1）题结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和．

【详解】

（1）由题意，当时，，

当时，，

∵当时，也满足上式，

∴，．

（2）由（1），可得

则

20．（1）或；（2）最大值为8，或．

【分析】

（1）求出圆C的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；

（2）设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，而△CMN的面积，从而可求出△CMN的面积的最大值，再由的值可求出，进而可求出直线方程．

【详解】

（1）圆C的圆心坐标为，半径，

因为直线l被圆C截得的弦长为，所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离．

①当直线l的斜率不存在时，l：，显然不满足；

②当直线l的斜率存在时，设l：，即，

由圆心C到直线l的距离，得，

即，解得或，

故直线l的方程为或．

（2）因为直线l过点且与圆C相交，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即，

则圆心C到直线l的距离为，

又△CMN的面积，

所以当时，S取最大值8．

由，得，解得或，

所以直线l的方程为或．

21．（1），（2）

【分析】

（1）由，可得，两式相减化简可得，再求出，可得是首项为1，公差为3的等差数列，从而可求出，再由，可求出数列的公比q，从而可求出；

（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求得．

【详解】

（1）因为，

当时，，解得；

当时，，

两式相减，得，即，

又各项均为正数，所以，即．

因为满足上式，

所以是首项为1，公差为3的等差数列．

所以．

设等比数列的公比为q，因为，，

所以，

解得（或舍去），

所以．

（2），

所以，

，

两式相减得：

所以．

22．（1）（2）证明见解析

【分析】

（1）根据已知条件求得a，b，从而求得椭圆C的标准方程．

（2）设出直线l的方程并与椭圆C的方程联立，化简写出根与系数关系，由此计算出直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值．

【详解】

（1）由题意得，所以，

不妨设直线的方程为，，即，

所以原点O到直线的距离为，

解得，所以，故椭圆C的标准方程为．

（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为，即，

设，，

联立，

整理得：，

则，

解得，

，，

设直线AM的斜率与直线AN的斜率分别为，，

则

，

故直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值．