人教B版高中数学选择性必修第二册4.2.4《离散型随机变量的方差》（第2课时）（课件+教案）

www.ks5u.com第2课时　离散型随机变量的方差

山东省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十四届全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数分布列如下所示．

问题：如果从平均水平和发挥稳定性角度分析，你认为派谁参加全运会更好一些？

1．离散型随机变量的方差与标准差

(1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．

则D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi，称为离散型随机变量X的方差；称为离散型随机变量X的标准差．

(2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)．

(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2D(X)．

2．两点分布及二项分布的方差

(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

(2)若随机变量X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

思考：两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系．

[提示]　由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，取n＝1，则D(X)＝p(1－p)就是两点分布的方差．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值．  (　　)

(2)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．  (　　)

(3)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平．  (　　)

(4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为(　　)

A．2　　　 B．3　　　

C．4 D．5

C　[因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C.]

3．若随机变量ξ～B，则D(ξ)＝________.

1　[∵ξ～B，∴D(ξ)＝4××＝1.]

4．已知随机变量X的分布列为

则X的标准差为________．

　[E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，

∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋

(5－3.2)2×0.5＝3.56.

∴X的标准差为＝＝.]

【例1】　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．

(1)求X的分布列、均值和方差；

(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．

[思路点拨]　(1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．

(2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b.

[解]　(1)X的分布列为

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.

D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.

(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.

又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，

∴或即为所求．

1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤

↓

↓

↓

↓

2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．

1．(1)已知随机变量X的分布列为

若E(X)＝，则D(X)等于(　　)

A.　　　　　 B.

C.   D.

(2)已知X的分布列如下．

①求X2的分布列；

②计算X的方差；

③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．

(1)B　[由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以D(X)＝×＋×＋×＝.]

(2)[解]　①由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为

②由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝.

③E(Y)＝4E(X)＋3＝4×＋3＝2，

D(Y)＝16D(X)＝11.

【例2】　某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.

(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差；

(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差．

[解]　 (1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B，

∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.

(2)由已知得Y＝30X，

∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.

1．如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．

2．如果随机变量C服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．

2．(1)设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　)

A．m　　　　　 B．2m(1－m)

C．m(m－1) D．m(1－m)

(2)若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝，则p＝________.

(1)D　(2)或　[(1)随机变量ξ的分布列为

∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.

∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．

(2)∵X～B(3，p)，

∴D(X)＝3p(1－p)，

由3p(1－p)＝，得p＝或p＝.]

[探究问题]

1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表．

A机床

B机床

试求E(X1)，E(X2)．

[提示]　E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.

E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.

2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？

[提示]　不能．因为E(X1)＝E(X2)．

3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？

[提示]　利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．

【例3】　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.

(1)求ξ，η的分布列；

(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．

[思路点拨]　(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．

(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．

[解]　(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.

因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.

所以ξ，η的分布列如下表所示．

(2)由(1)得：

E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；

E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；

D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；

D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.

由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．

利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤

1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．

2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．

3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．

3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：

甲保护区：

乙保护区：

试评定这两个保护区的管理水平．

[解]　甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为

E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；

D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.

乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为

E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；

D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.

因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.

1．求离散型随机变量的方差的类型及解决方法

(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，

①求均值；②求方差．

(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，

①若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差．

(4)对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．

2．解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点

(1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义．

(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．

1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)

A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较

B　[∵D(X甲)>D(X乙)，

∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．]

2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)

A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4

C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1

B　[由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，

∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.]

3．已知随机变量X，且D(10X)＝，则X的标准差为________．

　[由题意可知D(10X)＝，

即100D(X)＝，∴D(X)＝，

∴＝.即X的标准差为.]

4．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________．

　[由题意知X～B，所以D(X)＝4××＝.]

5．已知离散型随机变量X的分布列如下表．

若E(X)＝0，D(X)＝1，求a，b，c的值．

[解]　由题意，

解得a＝，b＝c＝.