2022-2023学年上海交通大学附属中学高一年级上册学期分考试数学试题【含答案】

2022-2023学年上海交通大学附属中学高一上学期分考试数学试题

一、填空题

1．关于x的不等式的解集是___________.

【答案】

【分析】把给定不等式化成一元二次不等式求解即可.

【详解】不等式化为：，解得，

所以不等式的解集是.

故答案为：.

2．已知a、，且，则ab的最大值是____________.

【答案】##0.25

【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值.

【详解】因为实数满足，

所以由基本不等式可得：

所以，当且仅当，即或时等号成立，

即的最大值为.

故答案为：.

3．若点P(3，y)是角终边上一点，且，则y的值是____________.

【答案】

【分析】利用三角函数值的定义，即可求解.

【详解】，解得.

故答案为：.

4．已知.若是奇函数，则实数a的值是____________.

【答案】

【分析】利用已知函数的定义域，结合奇函数的定义计算作答即可.

【详解】函数的定义域为且，

因为函数是奇函数，则当且时，恒成立，

因此，整理得，

即，于是得，解得，

所以实数a的值是.

故答案为：

5．若函数的值域是，则函数的值域是____________.

【答案】

【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.

【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，

函数变为，，

由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，

时，，而时，，时，，即，

所以原函数值域是.

故答案为：.

6．已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为.那么里氏8.4级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的_____________倍.(精确到0.1)

【答案】

【分析】根据给定条件，作差并结合对数运算求解作答.

【详解】令里氏8.4级的地震释放的能量为，里氏6.8级的地震释放的能量为，

则，，两式相减并整理得，

即，因此.

故答案为：

7．若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为____________.

【答案】或.

【分析】设顶角，则其底角的余弦值为，由半角公式求值即可.

【详解】设顶角，则，∴或

则其底角的余弦值为或.

故答案为：或.

8．已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点顺时针旋转至，则点的横坐标是____________.

【答案】

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合差角的余弦公式求解作答.

【详解】以x轴非负半轴为角的始边，令射线OA为终边的角为，则射线为终边的角为，

显然，，

因此，

所以点的横坐标是.

故答案为：

9．方程的实数解为____________.

【答案】

【分析】分、两种情况化简方程，求出的值，解之即可.

【详解】当时，则，由可得，可得（舍）；

当时，则，由可得，可得，解得.

故答案为：.

10．设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.

【答案】

【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数，

均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，

且满足，所以函数为奇函数，

因为，即，

可得恒成立，即在上恒成立，

则满足，即，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

11．已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是_____________.

【答案】

【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值.

【详解】因为函数在上单调递增，

对任意的，都存在唯一的，使得，

则，解得.

故答案为：.

12．对任意集合M，定义，X是全集，集合，则对任意的，下列命题中真命题的序号是_____________.

（1）若，则；

（2）；

（3）；

（4）(其中符号[a]表示不大于a的最大整数).

【答案】（1）（2）（3）（4）

【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.

【详解】对于(1)，因，时，，，时，，而或，则，(1)正确；

对于(2)，时，，则，时，，

即，，从而有，(2)正确；

对于(3)，，则，，

即，

，则，此时与至少有一个成立，即与中至少一个成立，从而成立，

综上知(3)正确；

对于(4)，时，，若，则，，

若，则，，

若，同理可得，

若，则，，，

综上得，(4)正确.

故答案为：（1）（2）（3）（4）.

【点睛】方法点睛：本题关键是理解函数的新定义，题目的来源是数学中著名的狄利克雷函数，需要对函数的新定义充分理解，进行合理的分类讨论，做到不重复不遗漏，可以利用维恩图进行辅助.

二、单选题

13．若a，b为实数，则“”是“”的（    ）

A．充分但非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】D

【分析】通过举反例和反例即可判断.

【详解】当时，满足，但此时，故正向无法推出，

同样时，满足，但此时，故反向也无法推出，

故“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

14．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用辅助角公式可得出，求出的取值范围，结合正弦函数的值域可得出的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】因为，则，所以，，

所以，可取的值为.

故选：A.

15．已知.对于正实数，下列关系式中不可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，结合均值不等式可得，再探讨函数的单调性，确定中不可能最大的作答.

【详解】正实数，则，有，于是，

因此，函数，

即有函数在上单调递减，在上单调递增，

若，则有，C正确；

若，则有，A正确；

若且，则当时，，

当时，，实数最大数记为，

于是，

因此选项B可能，选项D一定不可能.

故选：D

16．若，，下列判断错误的是（     ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】D

【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.

【详解】由选项知，，，

令，有，，

则，

对于A，当时，为第一象限角，且，，，则，A正确；

对于B，当时，为第四象限角，且，，，则，B正确；

对于C，当时，为第二象限角，且，，，则，C正确；

对于D，当时，为第三象限角，且，，，则，D错误.

故选：D

三、解答题

17．已知，.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；

(2)利用弦化切的方法求解.

【详解】（1）因为，

所以解得或，

因为，所以.

（2）.

18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.

(1)假定函数的定义域是，写出，的值，并判断的单调性；

(2)设，求实数t的值，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.

【答案】(1)；；严格单调递减；

(2)；答案见解析.

【分析】（1）根据给定信息，直接求出，的值，再根据题意判断的单调性即可；

（2）分别计算两种方式的农药残留量，再作差比较大小即可.

【详解】（1）表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样，则，

因为用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，因此，

因为用水越多洗掉的农药量也越多，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比越小，因此函数严格单调递减.

（2）由（1）知，，而函数，于是，解得，，

清洗一次，残留在蔬菜上的农药量为，

把水平均分成2份后清洗两次，残留在蔬菜上的农药量为，

，

当时，，当时，，当时，，

所以当时，分成2份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量少；

当时，两种清洗方案效果相同；

当时，清洗一次，清洗后蔬菜上残留的农药量少.

19．已知是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求的值，并写出的解析式；

(2)若，求实数a，b的值.

【答案】(1),.

(2)

【分析】(1)根据函数奇偶性的概念求函数值和解析式；

(2)根据函数的单调性结合值域列出方程即可求解.

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，

所以，

当时，，

所以，即.

（2）因为当时，单调递减，

且函数为奇函数，所以在上单调递减，

所以当时，，当时，，

因为，所以，

所以，即解得.

20．在平面直角坐标系中，两点、的“直角距离”定义为，记为.如，点、的“直角距离”为9，记为.

(1)已知点，Γ是满足的动点Q的集合，求点集Γ所占区域的面积；

(2)已知点，点，求的取值范围；

(3)已知动点P在函数的图像上，定点，若的最小值为1，求的值.

【答案】(1)2

(2)

(3)或或

【分析】（1）分类讨论区绝对值，得到其图形为正方形，求出其边长，则得到面积；

（2）分，，，四类讨论即可；

（3）利用绝对值不等式有，再根据范围即可得到答案.

【详解】（1）设，则，

当，则，

当，则，

当，则，

当，则，

顺次连接四点，得到如图所示正方形，其边长为,

则得到点集所占区域面积.

（2），

当，此时，

则，

，，

，即，则，

当，此时，

则，

，，

，即，则，

当，此时，

则，

，，

则，则，

当，此时，，

则，

，，

则，，

综上，.

（3）设，根据绝对值不等式有

，

若，即，，，

或，或.

若，即，，

综上或或.

21．设函数的反函数存在，记为.设，.

(1)若，判断是否是、中的元素；

(2)若在其定义域上为严格增函数，求证：；

(3)若，若关于的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）求出函数的解析式，利用元素与集合的关系判断与集合、的关系，可得出结论；

（2）分析可知，利用集合的包含关系以及函数的单调性证得，，即可证得结论成立；

（3）令，分析可得，由已知方程可得，可得，可得出，分析可得方程有两个不等的非负实根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.

【详解】（1）解：因为，则，

所以，，则，所以，，

，则，所以，.

（2）解：由题意可得，

任取，则，所以，，，故；

任取，则，下面证明出.

因为函数在其定义域内为严格增函数，

若，则，与题设矛盾；

若，则，与题设矛盾.

故，即，故.

综上所述，.

（3）解：令，则，则，即，

由可得，所以，，

因为在其定义域内单调递增，所以，，即有两个不等的非负实根，

整理可得，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.