2023杭州高三下学期教学质量检测（二模）数学含答案

2022学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测

数学试题卷

考生须知：

1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2. 请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！

3. 考试结束，只需上交答题卡.

选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设复数z满足（i是虚数单位），则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 在数列中，“数列是等比数列”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设平面向量，，且，则（    ）

A. 1 B. 14 C.  D.

5. 某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是（    ）

A. 相关系数r变小  B. 决定系数变小

C. 残差平方和变大  D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强

6. 已知，，且，则ab的最小值为（    ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

7. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知满足，且在上单调，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若直线与圆C：相交于A，B两点，则的长度可能等于（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10. 已知函数是奇函数，且，是的导函数，则（    ）

A.  B. 的周期是4 C. 是偶函数 D.

11. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ）

A. 事件，为互斥事件 B. 事件B，C为独立事件

C.   D.

12. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（    ）

A. 球与圆柱的体积之比为

B. 四面体CDEF的体积的取值范围为

C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为

D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______.

14. 已知，，则______.

15. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分.已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则______.

16. 已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意，都有成立，则______.

四、解答题

17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

（1）求角B的大小；

（2）若，且AC边上的高为，求的周长.

18. 设公差不为0的等差数列的前n项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，，求数列的前n项和.

19. 在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.

（1）求证：；

（2）若，，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.

20. 已知椭圆C：的离心率为，左，右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，面积的最大值为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线AP，QB的斜率分别为，，且.

（i）求证：直线PQ经过定点.

（ii）设和的面积分别为，，求的最大值.

21. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示.

当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：

（1）请直接写出与的数值.

（2）证明是一个等差数列，并写出公差d.

（3）当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义.

22. 已知函数.

（1）讨论函数零点个数；

（2）若恒成立，求a的取值范围