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2023年陕西省西安国际港务区铁一中陆港初级中学中考三模数学试卷
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这是一份2023年陕西省西安国际港务区铁一中陆港初级中学中考三模数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学中考数学三模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
2．如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．新型冠状病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m．数0.000000102用科学记数法表示为（ ）
A．1.02×10﹣6 B．10.2×10﹣8 C．1.02×10﹣7 D．0.102×10﹣6
4．如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，则图中与∠AGE相等的角（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下表中列出的是一个一次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
…
y
…
0
﹣2
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象不经过第四象限
C．该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为16
D．该函数图象关于x轴对称的函数的表达式为y＝2x+4
6．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）
9．已知x﹣y＝0.5，x+5y＝3.5，则代数式x2+4xy+4y2的值为 ．
10．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
11．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
12．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，tanB＝，则k＝ ．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为△ABC内一个动点，∠EAB＝∠ECA，则BE的最小值为 ．
三．解答（共13小题）
14．计算：+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
15．用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．
16．先化简，再求值．，其中a＝﹣3．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，在BC边上求作一点D，使BD＝2CD．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
18．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
求证：AE＝CF．
19．小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
20．有A、B两组卡片共5张，A组的三张分别写有数字2，4，6；B组的两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．
（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
21．如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为α，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角∠ACE为45°，已知tanα＝，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度．
22．习近平总书记指出，“红色是中国共产党、中华人民共和国最鲜亮的底色”，要用好红色资源，赓续红色血脉，为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成绩分为以下5个等级：A．100分、B.90分、C.80分、D.70分、E.60分，比赛结束后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如图统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）所抽取学生比赛成绩的众数是 分，中位数是人 分；
（2）求所抽取学生比赛成绩的平均数；
（3）若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A、B两个等级的学生购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？
23．聚焦三农，脱贫攻坚，响应习主席小木耳大市场的倡导，小李家的网店将A、B两种木耳进行销售，A和B这两种规格木耳的相关信息如下表
木耳
A
B
规格
250g/袋
500g/袋
成本（元/袋）
98
160
售价（元/袋）
122
190
根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）已知今年五月份，小李家网店销售A和B两种木耳共875kg，获得利润6.6万元，求今年五月份小李家网店销售A和B两种木耳各多少袋；
（2）根据之前的销售情况，估计今年六月份，小李家网店还能销售A和B两种木耳共800kg，其中A木耳的销售量不低于300kg，假设六月份销售A木耳x（kg），销售A和B两种木耳获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出六月份小李家网店销售A和B两种木耳至少获得总利润多少元．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段MN为对角线的四边形MPNQ为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
26．问题提出
（1）如图1，AD是△ABC的中线，则有S△ADC S△ADB．（填“＜”、“＞”或“＝”）
问题探究
（2）如图2，点M是矩形ABCD内一点，AB＝6，BC＝3，点A与坐标原点O重合，AB、AD分别位于x、y轴正半轴，M（，1），是否存在直线l经过点M且将矩形ABCD分成面积相等的两部分，若存在，请求出直线l的解析式；如不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图3，长方形OABC是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点A、C在坐标轴上，记O为坐标原点，顶点B（20，12），原有的一个出入口D在边OC上，且CD＝4米，为使工作高效有序，现计划在边AB，OA，BC上依次再设出入口E，G，H，沿DE，GH拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分，请问，是否存在满足上述条件的点E，H，G，如存在，请求出点E的坐标及GH的函数表达式，如不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
解：|﹣2023|＝2023，
故选：D．
【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2．如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图得出结论即可．
解：根据题意知，该几何体的左视图为，
故选：B．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
3．新型冠状病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m．数0.000000102用科学记数法表示为（ ）
A．1.02×10﹣6 B．10.2×10﹣8 C．1.02×10﹣7 D．0.102×10﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.000000102
＝1.02×10﹣7，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，则图中与∠AGE相等的角（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据对顶角相等得出∠CGF＝∠AGE，根据角平分线定义得出∠CAB＝∠DAC，根据平行线性质得出∠CGF＝∠CAB＝∠DCA，∠DAC＝∠ACB，即可得出答案．
解：根据对顶角相等得出∠CGF＝∠AGE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAC，
∵AB∥CD∥EF，BC∥AD，
∴∠CGF＝∠CAB＝∠DCA，∠DAC＝∠ACB，
∴与∠AGE相等的角有∠CGF、∠CAB、∠DAC、∠ABAC，∠DCA，共5个．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线性质，对顶角相等，角平分线的定义的应用，主要考查学生的推理能力．
5．下表中列出的是一个一次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
…
y
…
0
﹣2
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象不经过第四象限
C．该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为16
D．该函数图象关于x轴对称的函数的表达式为y＝2x+4
【分析】由表格中的几组数求得一次函数的解析式，然后通过函数的性质以及平移的规律得到结果．
解：A．根据表格数据可知，y随x的增大而减小，故不合题意；
B．∵一次函数y＝kx+b过点（﹣2，﹣4），（﹣4，0），
∴，解得，则解析式为y＝﹣2x﹣8，
∴函数图象经过第二、三、四象限，不经过第四象限，故不合题意；
C．令x＝0，则y＝﹣8，
∴函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），
又∵函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0），
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为×8×4＝16，结论正确；
D．点（0，﹣8）关于x轴对称的点坐标为（0，8），
设y＝k′x+b′，把（﹣4，0）和（0，8）代入得，
解得：，
∴函数y＝﹣2x﹣8图象关于x轴对称的函数的表达式为y＝2x+8，故不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，解题关键是求得直线的解析式．
6．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∴AF＝DE
∵AD＝4，
∴AF＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【分析】连接CD，根据∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度数，再根据AC＝CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝＝4，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴的长为：，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④；
解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，
可得OA＝5，OB＝1，
∴点A（﹣5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝0，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a，
∵a＞0，
∴9a+4c＜0，故③正确；
④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，
由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）
9．已知x﹣y＝0.5，x+5y＝3.5，则代数式x2+4xy+4y2的值为 4 ．
【分析】先由已知式变形，再根据完全平方公式解答即可．
解：∵x﹣y＝0.5，x+5y＝3.5，
∴2x+4y＝4，
∴x+2y＝2，
∴x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝22＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了完全平方公式，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键．
10．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG＝BH，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BG＝2AG，接着证明HG＝AG可得结论．
解：如图，∵△ABG≌△BCH，
∴AG＝BH，
∵∠ABG＝30°，
∴BG＝2AG，
即BH+HG＝2AG，
∴HG＝AG＝1，
∴中间正六边形的面积＝6××12＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出HG．
11．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 4.55 尺高．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
12．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，tanB＝，则k＝ ﹣6 ．
【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．
解：如图：
AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
则∠BOD+∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴＝（）2＝＝3，
∵S△AOC＝×2＝1，
∴S△OBD＝3，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为△ABC内一个动点，∠EAB＝∠ECA，则BE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】连接BD，证明∠AEC＝135°，推出点E在D为圆心，DC为半径的圆上运动，求出DE＝2，再根据BE≥BD﹣DE，可得结论．
解：连接BD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠DCB＝∠CBA＝90°，∠BCA＝∠BAC＝45°，
∴BD＝AC＝2
∵∠EAB＝∠ECA，
∴∠ECA+∠EAC＝∠EAB+∠EAC＝45°，
∴∠AEC＝135°，
∴点E在D为圆心，DC为半径的圆上运动，
∴DE＝CD＝2，
∵BE≥DB﹣DE＝2﹣2，
∴BE的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了正方形的性质、轨迹、勾股定理，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹．
三．解答（共13小题）
14．计算：+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
【分析】分别根据数的乘方及开方法则、零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则计算出各数即可．
解：原式＝2+12﹣1×4
＝2+12﹣4
＝2+8．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解题的关键．
15．用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
解：x2﹣3x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
16．先化简，再求值．，其中a＝﹣3．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：原式＝
＝
＝，
当a＝﹣3时，
原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，在BC边上求作一点D，使BD＝2CD．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
【分析】作∠BAC的平分线交BC于D，则∠CAD＝∠BAC＝∠B＝30°，所以DA＝DB，由于DA＝2CD，所以BD＝2CD．
解：作∠BAC的平分线交BC于D，如图，
点D为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
18．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
求证：AE＝CF．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，可证∠ADE＝∠CBF，然后通过SAS证△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19．小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
【分析】在这次竞赛中，小明获得优秀（90分以上），即小明的得分＞90分，设小明答对了x，就可以列出不等式，求出x的值即可．
解：设小明答对了x题，根据题意可得：
（25﹣x）×（﹣2）+6x＞90，
解得：x＞17，
∵x为非负整数，
∴x至少为18，
答：小明至少答对18道题才能获得奖品．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，正确利用代数式表示出小明的得分．
20．有A、B两组卡片共5张，A组的三张分别写有数字2，4，6；B组的两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．
（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
【分析】（1）三个数中抽到数字为2，故概率是；
（2）画树状图分析甲乙获胜的概率即可做出判断．
解：（1）由题知，A组三个数中抽到数字为2，
故概率为；
（2）不公平，理由如下，
画树状图如下：
积 6 10 12 20 18 30
从树状图中可知共有6个可能的结果，而所选出的两数之积为3的倍数的机会有4个，
∴P（甲获胜）＝，
∴P（乙获胜）＝，
∵P（甲获胜）＞P（乙获胜），
∴这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
【点评】本题考查了概率的知识，掌握概率的知识分析游戏的公平性是关键．
21．如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为α，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角∠ACE为45°，已知tanα＝，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度．
【分析】根据题意可得：DH＝CG＝EB＝1.5米，∠AEC＝90°，DC＝HG＝5米，然后设AE＝x米，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出DE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算可求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：由题意得：
DH＝CG＝EB＝1.5米，∠AEC＝90°，DC＝HG＝5米，
设AE＝x米，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴CE＝＝x（米），
∴DE＝DC+CE＝（x+5）米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝α，
∴tanα＝＝＝，
解得：x＝17.5，
经检验：x＝17.5是原方程的根，
∴AE＝17.5米，
∴AB＝AE+BE＝17.5+1.5＝19（米），
∴建筑物AB的高度为19米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．习近平总书记指出，“红色是中国共产党、中华人民共和国最鲜亮的底色”，要用好红色资源，赓续红色血脉，为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成绩分为以下5个等级：A．100分、B.90分、C.80分、D.70分、E.60分，比赛结束后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如图统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）所抽取学生比赛成绩的众数是 80 分，中位数是人 80 分；
（2）求所抽取学生比赛成绩的平均数；
（3）若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A、B两个等级的学生购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？
【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）根据算术平均数的计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中A、B等级的人数占调查人数的几分之几，再进行计算即可．
解：（1）这次调查成绩出现次数最多的是80分，共出现8次，因此众数是80分，
这次调查的总人数为1+4+8+4+3＝20（人），
将这20人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是80分，因此中位数是80分，
故答案为：80，80；
（2）这20人的平均成绩为＝78（分），
答：所抽取学生比赛成绩的平均数为78分；
（3）100×＝25（份），
答：估计学校大约需要准备25份奖品．
【点评】本题考查条形统计图，掌握平均数、中位数、众数的定义和计算方法是解决问题的前提．
23．聚焦三农，脱贫攻坚，响应习主席小木耳大市场的倡导，小李家的网店将A、B两种木耳进行销售，A和B这两种规格木耳的相关信息如下表
木耳
A
B
规格
250g/袋
500g/袋
成本（元/袋）
98
160
售价（元/袋）
122
190
根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）已知今年五月份，小李家网店销售A和B两种木耳共875kg，获得利润6.6万元，求今年五月份小李家网店销售A和B两种木耳各多少袋；
（2）根据之前的销售情况，估计今年六月份，小李家网店还能销售A和B两种木耳共800kg，其中A木耳的销售量不低于300kg，假设六月份销售A木耳x（kg），销售A和B两种木耳获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出六月份小李家网店销售A和B两种木耳至少获得总利润多少元．
【分析】（1）设未知数，列二元一次方程组解答即可；
（2）根据利润与销售量的关系，得出y与x之间的函数关系式，再根据函数的增减性，得出何时利润最少．
解：（1）设销售A种木耳x袋，B种木耳y袋，由题意得，
，
解得，x＝1500，y＝1000，
答：今年五月份小李家网店销售A种木耳1500袋，B种木耳1000袋．
（2）由题意得，
y＝（122﹣98）+（190﹣160）＝36x+48000，
∴y随x的增大而增大，
∵x≥300，
当x＝300时，y最小＝36×300+48000＝58800元，
答：y与x之间的函数关系式为y＝36x+48000，六月份小李家网店销售A和B两种木耳至少获得总利润多少元58800元．
【点评】考查二元一次方程组解法及其应用，一次函数的性质等知识，正确的得到函数关系式是解决问题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB＝OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；
（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE＝2BG．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
则AC为圆O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝12．
【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段MN为对角线的四边形MPNQ为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
（2）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）存在，
如图，设对角线MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上，
∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，
∴Q（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，确定出P、Q的位置是解题的关键．
26．问题提出
（1）如图1，AD是△ABC的中线，则有S△ADC ＝ S△ADB．（填“＜”、“＞”或“＝”）
问题探究
（2）如图2，点M是矩形ABCD内一点，AB＝6，BC＝3，点A与坐标原点O重合，AB、AD分别位于x、y轴正半轴，M（，1），是否存在直线l经过点M且将矩形ABCD分成面积相等的两部分，若存在，请求出直线l的解析式；如不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图3，长方形OABC是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点A、C在坐标轴上，记O为坐标原点，顶点B（20，12），原有的一个出入口D在边OC上，且CD＝4米，为使工作高效有序，现计划在边AB，OA，BC上依次再设出入口E，G，H，沿DE，GH拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分，请问，是否存在满足上述条件的点E，H，G，如存在，请求出点E的坐标及GH的函数表达式，如不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据等底同高的三角形面积相等，即可求解；
（2）连接AC、BD交于点N，过M、N作直线l，则直线l即为所求，由待定系数法求出直线l的解析式即可；
（3）利用图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，即可解决问题．
解：（1）∵AD是△ABC的中线，
根据等底同高的三角形面积相等，则S△ADC＝S△ADB，
故答案为：＝；
（2）连接AC、BD交于点N，如下图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，D（0，3），B（6，0），BN＝DN，
∴N（3，），
过M、N作直线l，则直线l即为所求，
设直线l的解析式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝x+；
（3）如下图，在AB上取AE＝CD＝4，连接DE，则E（4，12），
取DE的中点M，AO的中点N，连接MN，
则MN是梯形AODE的中位线，
∴MN＝＝10（米），
AN＝ON＝6（米），
∴点M的坐标为（10，6），
由于长方形被分成四块面积相等的部分，
∴每块面积为：×20×12＝60（平方米），
又∵S梯形AEMN＝（4+10）×6＝42（平方米），
在点的下方取一点G，使S△MNG＝60﹣42＝18（平方米），
由S＝NG•MN得：NG＝＝3.6（米），
∴OG＝6﹣3.6＝2.4（米），
∴点G坐标为（0，2.4），
连接GM并延长交BC于H，
则D、E、G、H为所求作的点，
设GH的解析式为：y＝kx+b，
则b＝2.4，10k+b＝6，
解得：k＝0.36，b＝2.4，
∴y＝0.36x+2.4．
【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，解题关键是利用面积确定点G的位置．
2023年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学中考数学三模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
2．如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．新型冠状病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m．数0.000000102用科学记数法表示为（ ）
A．1.02×10﹣6 B．10.2×10﹣8 C．1.02×10﹣7 D．0.102×10﹣6
4．如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，则图中与∠AGE相等的角（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下表中列出的是一个一次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
…
y
…
0
﹣2
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象不经过第四象限
C．该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为16
D．该函数图象关于x轴对称的函数的表达式为y＝2x+4
6．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）
9．已知x﹣y＝0.5，x+5y＝3.5，则代数式x2+4xy+4y2的值为 ．
10．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
11．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
12．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，tanB＝，则k＝ ．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为△ABC内一个动点，∠EAB＝∠ECA，则BE的最小值为 ．
三．解答（共13小题）
14．计算：+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
15．用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．
16．先化简，再求值．，其中a＝﹣3．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，在BC边上求作一点D，使BD＝2CD．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
18．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
求证：AE＝CF．
19．小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
20．有A、B两组卡片共5张，A组的三张分别写有数字2，4，6；B组的两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．
（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
21．如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为α，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角∠ACE为45°，已知tanα＝，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度．
22．习近平总书记指出，“红色是中国共产党、中华人民共和国最鲜亮的底色”，要用好红色资源，赓续红色血脉，为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成绩分为以下5个等级：A．100分、B.90分、C.80分、D.70分、E.60分，比赛结束后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如图统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）所抽取学生比赛成绩的众数是 分，中位数是人 分；
（2）求所抽取学生比赛成绩的平均数；
（3）若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A、B两个等级的学生购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？
23．聚焦三农，脱贫攻坚，响应习主席小木耳大市场的倡导，小李家的网店将A、B两种木耳进行销售，A和B这两种规格木耳的相关信息如下表
木耳
A
B
规格
250g/袋
500g/袋
成本（元/袋）
98
160
售价（元/袋）
122
190
根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）已知今年五月份，小李家网店销售A和B两种木耳共875kg，获得利润6.6万元，求今年五月份小李家网店销售A和B两种木耳各多少袋；
（2）根据之前的销售情况，估计今年六月份，小李家网店还能销售A和B两种木耳共800kg，其中A木耳的销售量不低于300kg，假设六月份销售A木耳x（kg），销售A和B两种木耳获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出六月份小李家网店销售A和B两种木耳至少获得总利润多少元．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段MN为对角线的四边形MPNQ为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
26．问题提出
（1）如图1，AD是△ABC的中线，则有S△ADC S△ADB．（填“＜”、“＞”或“＝”）
问题探究
（2）如图2，点M是矩形ABCD内一点，AB＝6，BC＝3，点A与坐标原点O重合，AB、AD分别位于x、y轴正半轴，M（，1），是否存在直线l经过点M且将矩形ABCD分成面积相等的两部分，若存在，请求出直线l的解析式；如不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图3，长方形OABC是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点A、C在坐标轴上，记O为坐标原点，顶点B（20，12），原有的一个出入口D在边OC上，且CD＝4米，为使工作高效有序，现计划在边AB，OA，BC上依次再设出入口E，G，H，沿DE，GH拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分，请问，是否存在满足上述条件的点E，H，G，如存在，请求出点E的坐标及GH的函数表达式，如不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
解：|﹣2023|＝2023，
故选：D．
【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2．如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图得出结论即可．
解：根据题意知，该几何体的左视图为，
故选：B．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
3．新型冠状病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m．数0.000000102用科学记数法表示为（ ）
A．1.02×10﹣6 B．10.2×10﹣8 C．1.02×10﹣7 D．0.102×10﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.000000102
＝1.02×10﹣7，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，则图中与∠AGE相等的角（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据对顶角相等得出∠CGF＝∠AGE，根据角平分线定义得出∠CAB＝∠DAC，根据平行线性质得出∠CGF＝∠CAB＝∠DCA，∠DAC＝∠ACB，即可得出答案．
解：根据对顶角相等得出∠CGF＝∠AGE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAC，
∵AB∥CD∥EF，BC∥AD，
∴∠CGF＝∠CAB＝∠DCA，∠DAC＝∠ACB，
∴与∠AGE相等的角有∠CGF、∠CAB、∠DAC、∠ABAC，∠DCA，共5个．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线性质，对顶角相等，角平分线的定义的应用，主要考查学生的推理能力．
5．下表中列出的是一个一次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
…
y
…
0
﹣2
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象不经过第四象限
C．该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为16
D．该函数图象关于x轴对称的函数的表达式为y＝2x+4
【分析】由表格中的几组数求得一次函数的解析式，然后通过函数的性质以及平移的规律得到结果．
解：A．根据表格数据可知，y随x的增大而减小，故不合题意；
B．∵一次函数y＝kx+b过点（﹣2，﹣4），（﹣4，0），
∴，解得，则解析式为y＝﹣2x﹣8，
∴函数图象经过第二、三、四象限，不经过第四象限，故不合题意；
C．令x＝0，则y＝﹣8，
∴函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），
又∵函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0），
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为×8×4＝16，结论正确；
D．点（0，﹣8）关于x轴对称的点坐标为（0，8），
设y＝k′x+b′，把（﹣4，0）和（0，8）代入得，
解得：，
∴函数y＝﹣2x﹣8图象关于x轴对称的函数的表达式为y＝2x+8，故不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，解题关键是求得直线的解析式．
6．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∴AF＝DE
∵AD＝4，
∴AF＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【分析】连接CD，根据∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度数，再根据AC＝CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可．
解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝＝4，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴的长为：，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④；
解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，
可得OA＝5，OB＝1，
∴点A（﹣5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝0，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a，
∵a＞0，
∴9a+4c＜0，故③正确；
④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，
由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）
9．已知x﹣y＝0.5，x+5y＝3.5，则代数式x2+4xy+4y2的值为 4 ．
【分析】先由已知式变形，再根据完全平方公式解答即可．
解：∵x﹣y＝0.5，x+5y＝3.5，
∴2x+4y＝4，
∴x+2y＝2，
∴x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝22＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了完全平方公式，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键．
10．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG＝BH，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BG＝2AG，接着证明HG＝AG可得结论．
解：如图，∵△ABG≌△BCH，
∴AG＝BH，
∵∠ABG＝30°，
∴BG＝2AG，
即BH+HG＝2AG，
∴HG＝AG＝1，
∴中间正六边形的面积＝6××12＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出HG．
11．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 4.55 尺高．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
12．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，tanB＝，则k＝ ﹣6 ．
【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．
解：如图：
AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
则∠BOD+∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴＝（）2＝＝3，
∵S△AOC＝×2＝1，
∴S△OBD＝3，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为△ABC内一个动点，∠EAB＝∠ECA，则BE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】连接BD，证明∠AEC＝135°，推出点E在D为圆心，DC为半径的圆上运动，求出DE＝2，再根据BE≥BD﹣DE，可得结论．
解：连接BD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠DCB＝∠CBA＝90°，∠BCA＝∠BAC＝45°，
∴BD＝AC＝2
∵∠EAB＝∠ECA，
∴∠ECA+∠EAC＝∠EAB+∠EAC＝45°，
∴∠AEC＝135°，
∴点E在D为圆心，DC为半径的圆上运动，
∴DE＝CD＝2，
∵BE≥DB﹣DE＝2﹣2，
∴BE的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了正方形的性质、轨迹、勾股定理，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹．
三．解答（共13小题）
14．计算：+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2．
【分析】分别根据数的乘方及开方法则、零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则计算出各数即可．
解：原式＝2+12﹣1×4
＝2+12﹣4
＝2+8．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解题的关键．
15．用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
解：x2﹣3x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
16．先化简，再求值．，其中a＝﹣3．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：原式＝
＝
＝，
当a＝﹣3时，
原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，在BC边上求作一点D，使BD＝2CD．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
【分析】作∠BAC的平分线交BC于D，则∠CAD＝∠BAC＝∠B＝30°，所以DA＝DB，由于DA＝2CD，所以BD＝2CD．
解：作∠BAC的平分线交BC于D，如图，
点D为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
18．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
求证：AE＝CF．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，可证∠ADE＝∠CBF，然后通过SAS证△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19．小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
【分析】在这次竞赛中，小明获得优秀（90分以上），即小明的得分＞90分，设小明答对了x，就可以列出不等式，求出x的值即可．
解：设小明答对了x题，根据题意可得：
（25﹣x）×（﹣2）+6x＞90，
解得：x＞17，
∵x为非负整数，
∴x至少为18，
答：小明至少答对18道题才能获得奖品．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，正确利用代数式表示出小明的得分．
20．有A、B两组卡片共5张，A组的三张分别写有数字2，4，6；B组的两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．
（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
【分析】（1）三个数中抽到数字为2，故概率是；
（2）画树状图分析甲乙获胜的概率即可做出判断．
解：（1）由题知，A组三个数中抽到数字为2，
故概率为；
（2）不公平，理由如下，
画树状图如下：
积 6 10 12 20 18 30
从树状图中可知共有6个可能的结果，而所选出的两数之积为3的倍数的机会有4个，
∴P（甲获胜）＝，
∴P（乙获胜）＝，
∵P（甲获胜）＞P（乙获胜），
∴这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
【点评】本题考查了概率的知识，掌握概率的知识分析游戏的公平性是关键．
21．如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为α，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角∠ACE为45°，已知tanα＝，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度．
【分析】根据题意可得：DH＝CG＝EB＝1.5米，∠AEC＝90°，DC＝HG＝5米，然后设AE＝x米，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出DE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算可求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：由题意得：
DH＝CG＝EB＝1.5米，∠AEC＝90°，DC＝HG＝5米，
设AE＝x米，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴CE＝＝x（米），
∴DE＝DC+CE＝（x+5）米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝α，
∴tanα＝＝＝，
解得：x＝17.5，
经检验：x＝17.5是原方程的根，
∴AE＝17.5米，
∴AB＝AE+BE＝17.5+1.5＝19（米），
∴建筑物AB的高度为19米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．习近平总书记指出，“红色是中国共产党、中华人民共和国最鲜亮的底色”，要用好红色资源，赓续红色血脉，为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的演讲比赛，比赛成绩分为以下5个等级：A．100分、B.90分、C.80分、D.70分、E.60分，比赛结束后随机抽取部分参赛选手的成绩，整理并绘制成如图统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）所抽取学生比赛成绩的众数是 80 分，中位数是人 80 分；
（2）求所抽取学生比赛成绩的平均数；
（3）若参加此次比赛的学生共100名，且学校计划为比赛成绩进入A、B两个等级的学生购买奖品，请估计学校共需要准备多少份奖品？
【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）根据算术平均数的计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中A、B等级的人数占调查人数的几分之几，再进行计算即可．
解：（1）这次调查成绩出现次数最多的是80分，共出现8次，因此众数是80分，
这次调查的总人数为1+4+8+4+3＝20（人），
将这20人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是80分，因此中位数是80分，
故答案为：80，80；
（2）这20人的平均成绩为＝78（分），
答：所抽取学生比赛成绩的平均数为78分；
（3）100×＝25（份），
答：估计学校大约需要准备25份奖品．
【点评】本题考查条形统计图，掌握平均数、中位数、众数的定义和计算方法是解决问题的前提．
23．聚焦三农，脱贫攻坚，响应习主席小木耳大市场的倡导，小李家的网店将A、B两种木耳进行销售，A和B这两种规格木耳的相关信息如下表
木耳
A
B
规格
250g/袋
500g/袋
成本（元/袋）
98
160
售价（元/袋）
122
190
根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）已知今年五月份，小李家网店销售A和B两种木耳共875kg，获得利润6.6万元，求今年五月份小李家网店销售A和B两种木耳各多少袋；
（2）根据之前的销售情况，估计今年六月份，小李家网店还能销售A和B两种木耳共800kg，其中A木耳的销售量不低于300kg，假设六月份销售A木耳x（kg），销售A和B两种木耳获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出六月份小李家网店销售A和B两种木耳至少获得总利润多少元．
【分析】（1）设未知数，列二元一次方程组解答即可；
（2）根据利润与销售量的关系，得出y与x之间的函数关系式，再根据函数的增减性，得出何时利润最少．
解：（1）设销售A种木耳x袋，B种木耳y袋，由题意得，
，
解得，x＝1500，y＝1000，
答：今年五月份小李家网店销售A种木耳1500袋，B种木耳1000袋．
（2）由题意得，
y＝（122﹣98）+（190﹣160）＝36x+48000，
∴y随x的增大而增大，
∵x≥300，
当x＝300时，y最小＝36×300+48000＝58800元，
答：y与x之间的函数关系式为y＝36x+48000，六月份小李家网店销售A和B两种木耳至少获得总利润多少元58800元．
【点评】考查二元一次方程组解法及其应用，一次函数的性质等知识，正确的得到函数关系式是解决问题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB＝OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；
（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE＝2BG．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
则AC为圆O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝12．
【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段MN为对角线的四边形MPNQ为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
（2）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）存在，
如图，设对角线MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上，
∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，
∴Q（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，确定出P、Q的位置是解题的关键．
26．问题提出
（1）如图1，AD是△ABC的中线，则有S△ADC ＝ S△ADB．（填“＜”、“＞”或“＝”）
问题探究
（2）如图2，点M是矩形ABCD内一点，AB＝6，BC＝3，点A与坐标原点O重合，AB、AD分别位于x、y轴正半轴，M（，1），是否存在直线l经过点M且将矩形ABCD分成面积相等的两部分，若存在，请求出直线l的解析式；如不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图3，长方形OABC是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点A、C在坐标轴上，记O为坐标原点，顶点B（20，12），原有的一个出入口D在边OC上，且CD＝4米，为使工作高效有序，现计划在边AB，OA，BC上依次再设出入口E，G，H，沿DE，GH拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分，请问，是否存在满足上述条件的点E，H，G，如存在，请求出点E的坐标及GH的函数表达式，如不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据等底同高的三角形面积相等，即可求解；
（2）连接AC、BD交于点N，过M、N作直线l，则直线l即为所求，由待定系数法求出直线l的解析式即可；
（3）利用图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，即可解决问题．
解：（1）∵AD是△ABC的中线，
根据等底同高的三角形面积相等，则S△ADC＝S△ADB，
故答案为：＝；
（2）连接AC、BD交于点N，如下图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，D（0，3），B（6，0），BN＝DN，
∴N（3，），
过M、N作直线l，则直线l即为所求，
设直线l的解析式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝x+；
（3）如下图，在AB上取AE＝CD＝4，连接DE，则E（4，12），
取DE的中点M，AO的中点N，连接MN，
则MN是梯形AODE的中位线，
∴MN＝＝10（米），
AN＝ON＝6（米），
∴点M的坐标为（10，6），
由于长方形被分成四块面积相等的部分，
∴每块面积为：×20×12＝60（平方米），
又∵S梯形AEMN＝（4+10）×6＝42（平方米），
在点的下方取一点G，使S△MNG＝60﹣42＝18（平方米），
由S＝NG•MN得：NG＝＝3.6（米），
∴OG＝6﹣3.6＝2.4（米），
∴点G坐标为（0，2.4），
连接GM并延长交BC于H，
则D、E、G、H为所求作的点，
设GH的解析式为：y＝kx+b，
则b＝2.4，10k+b＝6，
解得：k＝0.36，b＝2.4，
∴y＝0.36x+2.4．
【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，解题关键是利用面积确定点G的位置．
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