2021-2022学年上海市市西中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市市西中学高二上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知无穷等比数列的首项为1，公比为，则各项的和为__．

【答案】##

【分析】根据等比数列的求和公式即可得到，从而得到结果.

【详解】由于无穷等比数列的首项为1，公比为，所以．

故答案为：

2．一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______．

【答案】

【分析】画出满足题意的三棱锥图形，根据题意，画出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积．

【详解】由题意画出图形，如图所示：

因为三棱锥是正三棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，

在三角形中：

因为三角形三边长，，

所以，

则这个棱锥的侧面积．

故答案为18．

【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积和棱锥的结构特征，考查数形结合思想，还考查计算能力，是基础题，棱锥的侧面积是每一个侧面的面积之和．

3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______．

【答案】

【详解】试题分析：设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．

【解析】1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．

4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中随机选取一个数，它是奇数或3的倍数的概率是__．

【答案】##

【分析】利用列举法及古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】这10个数中满足“是奇数或3的倍数”的有1，3，5，6，7，9共6个，

所以从中随机抽取一个是奇数或3的倍数的概率是．

故答案为：.

5．棱长为的正四面体对棱之间的距离为______.

【答案】

【分析】连接对棱中点，是相对两条棱间的距离，然后解三角形即可得出结果.

【详解】

如图，连接、的中点、，

可得，，

是、的公垂线，

相对两条棱间的距离为.

故答案为：

6．6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有________种（用数字表示）

【答案】240

【分析】利用捆绑法可得排法总数.

【详解】解：6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻，用捆绑法可得排法数有种.

故答案为：240.

【点睛】本题考查捆绑法解决排列问题，是基础题.

7．在数列中，是其前项和，若，则___________

【答案】

【解析】利用数列前n项和与的关系求通项公式.

【详解】当时，，

当时，，

所以

故答案为：

8．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有________不同的报名方法．

【答案】36

【分析】将4个运动员分成三组，再每个项目安排一组人，即可求出不同的报名方法数.

【详解】1、将4人分成三组：任选其中两人为一组种，

2、每组选一个比赛项目：三组人员全排列有种，

∴共有种.

故答案为：

9．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为__．

【答案】20

【分析】根据等差数列的性质得出，，再结合等差数列前项和与等差中项求解即可.

【详解】因为，所以和异号，

又数列的前项和有最大值，

所以数列是递减的等差数列，

所以，，又，

所以，，

所以的最大值为20．

故答案为：20.

10．已知正四棱柱中、的交点为，AC、BD的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______________.

【答案】3

【分析】当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大，根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．

【详解】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，由题知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大，

因为过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，

所以，解得，

于是正四棱柱的体积为.

故答案为：3.

二、单选题

11．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.

【详解】若直线与平面没有公共点，那直线与平面只能平行，故充分条件成立；若直线与平面平行，则直线与平面没有公共点，故必要性也成立，所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充分必要条件.

故选：C

12．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为

A．35 B．50 C．70 D．100

【答案】B

【详解】分析：排列组合题目，先分配：（42，33），再选排，最后根据加法原理求结果.

详解：若两辆汽车人数分别为4人与2人，则排列数为

若两辆汽车人数分别为3人与3人，则排列数为

因此不同的乘车方法数为选B.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

13．已知等差数列中，前项和，则使有最小值的是（    ）

A．7 B．8 C．7或8 D．9

【答案】C

【解析】看作关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．

【详解】，

∴数列的图象是分布在抛物线上的横坐标为正整数的离散的点．

又抛物线开口向上，以为对称轴，且|，

所以当时，有最小值．

故选：C

14．过平面外一点引斜线段、以及垂线段，若与所成角是，，，则线段长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】画出已知图形，可得出是以为斜边的直角三角形，求出的长度，则线段长的范围即可求出.

【详解】如下图所示：

，，.

又，，、平面，平面.

平面，，

在中，，，.

在平面内，要使得是以为斜边的直角三角形，则，即，因此，线段长的取值范围是.

故选C.

【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

三、解答题

15．求二项展开式中的常数项.

【答案】

【分析】根据二项式展开式的通项即可得出其常数项.

【详解】展开式的通项为：，

令，得，

所以常数项为：.

16．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.

（1）求证：数列{an＋1}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）an＝2n－1.

【解析】（1）利用等比数列的定义可证明数列{an＋1}是等比数列；

（2）求出数列{an＋1}的通项公式，进而可得数列{an}的通项公式．

【详解】（1）∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知

a1＋1≠0，∴an＋1≠0.∴＝2(n∈N＋)．

∴数列{an＋1}是首项为，公比为2的等比数列．

（2）由（1）知an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.

17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．

(1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)

(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）

【答案】(1)

(2)（克）

【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；

（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.

【详解】（1）该半球的直径，

所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，

所以两个半球的体积之和为，

而，

该“浮球”的体积是；

（2）上下两个半球的表面积是，

而“浮球”的圆柱筒侧面积为，

所以1个“浮球”的表面积为，

因此，2500个“浮球”的表面积的和为，

因为每平方米需要涂胶100克，

所以总共需要胶的质量为：（克）．

18．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，．

(1)求与平面所成角的大小；

(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，当时，使得点到平面的距离为

【分析】（1）根据线面垂直的性质定理及矩形的性质，利用线面垂直的判定定理及线面角的定义，结合勾股定理及锐角三角函数即可求解；

（2）根据已知条件做出图形，利用线面垂直的判定定理及点到面的距离的定义即可求解.

【详解】（1）因为平面，平面，所以，

又因为底面是矩形，所以，

又，平面，

所以平面，直线在平面的射影为直线，

所以是直线与平面所成的角，

因为，,

所以，

在中，，

故直线与平面所成角的大小为；

（2）假设边上存在一点满足题设条件，作，如图所示

因为平面，平面，所以，

又，平面，

所以平面，故，且△DQA∽△ABG，所以，

故存在点，当时，使得点到平面的距离为；

19．已知数列和满足.若为等比数列，且，.

(1)求与；

(2)设.记数列的前项和为，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由已知可求出，再由，可求出公比，从而可求出，再由可求出，

（2）由（1）得，然后利用分组求和，裂项相消求和法可求得

【详解】（1）由题意，，，

知，，

又有，得公比或（舍去），

所以数列的通项公式为，

所以，

故数列的通项公式为，；

（2）由（1）知，，

所以，