甘肃青海宁夏三省2023届高三下学期联考数学（理）试卷（含答案）

甘肃青海宁夏三省2023届高三下学期联考数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知复数z是方程的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则(   )

A. B. C. D.

3、已知平面向量，，且，则(   )

A.5 B. C. D.

4、已知互相垂直的两个平面，交于直线l，若直线m满足，则(   )

A. B. C. D.

5、某企业为了解员工身体健康状况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是(   )

A.90 B.96 C.102 D.120

6、已知实数x，y满足约束条件则的最大值是(   )

A.1 B. C.2 D.3

7、已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

8、已知，，则(   )

A. B. C. D.

9、将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的单调递增区间为(   )

A. B.

C. D.

10、已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

11、设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为(   )

A. B.2 C. D.3

12、已知，，，则(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、函数的图象在点处的切线的斜率为_______.

14、南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为____________cm.

15、2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有___________种.

16、在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是__________.

三、解答题

17、设数列的前n项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

18、赤霉素在幼芽、幼根、末成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x(单位：ng/g)直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集后天生长茁壮的种子数量y(单位：粒)，得到的数据如下表：

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为的种子中后天生长茁壮的数量.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

19、如图，在四棱锥中，，，四边形ABCD是菱形，，E是棱PD上的动点，且.

(1)证明：平面ABCD.

(2)是否存在实数，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20、已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，试问直线，的斜率之和是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由.

21、已知函数.

(1)当时，讨论函数在上的单调性；

(2)当时，，求实数a的取值范围.

22、[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C与极轴相交于O，A两点.

(1)求曲线C的极坐标方程及点A的极坐标；

(2)若直线l的极坐标方程为，曲线C与直线l相交于O，B两点，求的面积.

23、[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：由题意可得，，则.

2、答案：D

解析：复数范围内方程的根为.因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以，则.

3、答案：C

解析：，则，所以.

4、答案：C

解析：因为，，所以.又，所以或.故选C.

5、答案：D

解析：设参加体检的人数是n，则，解得.

6、答案：C

解析：画出可行域，如图所示，且，表示的是可行域内的点与原点连线的斜率，故.

7、答案：A

解析：因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称.因为在上单调递增，所以在上单调递减.因为，所以，解得.

8、答案：A

解析：由，解得，则，则.

9、答案：D

解析：，令，，解得，，故的单调递增区间为.

10、答案：B

解析：因为球的体积为，所以球的半径为1，又球与正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，高为2，则三棱柱外接球的半径为，即外接球的表面积为.

11、答案：A

解析：设，，则解得，，又因为，解得，则该双曲线的离心率为.

12、答案：B

解析：因为，所以.设，则，故在上单调递增.因为，所以，即.设，则，当时，，则在上单调递减.因为，所以，即.综上，.

13、答案：5

解析：因为，所以.

14、答案：

解析：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，

依题意可得A的坐标为.设抛物线的标准方程为，

则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为.

15、答案：252

解析：先从甲、乙之外的6人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的7人中选取2人担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有种.

16、答案：

解析：因为，所以，所以，则.因为，所以，所以，则，即.因为是锐角三角形，所以所以，所以，则，故，即的取值范围是.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)当时，，解得.

当时，，则，即，

从而是首项为1，公比为2的等比数列，

故.

(2)由(1)可得，则，

故

.

18、答案：(1)

(2)615

解析：(1)，.

，，

则，.

故y关于x的线性回归方程为.

(2)将代入，得到，

则估计1000粒赤霉素含量为的种子中后天生长茁壮的数量为.

19、答案：(1)证明见解析

(2)存在实数

解析：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以.

因为，，平面PAC，且，所以平面PAC.

因为平面PAC，所以.

因为，所以，所以.

因为，平面ABCD，且，所以平面ABCD.

(2)解：取棱CD的中点F，连接AF，易证AB，AF，AP两两垂直，故以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

设，则，，，，

故，，.

因为，所以，则.

设平面ACE的法向量为，

则令，得.

平面PAB的一个法向量为.

设平面PAB与平面ACE所成的锐二面角为，

则，

整理得，解得或(舍去).

故存在实数，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是.

20、答案：(1)

(2)直线，的斜率之和是定值，且该定值为1

解析：(1)由椭圆的对称性可知，，在椭圆C上.

由题意可得解得

故椭圆C的标准方程为.

(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，则不妨令，.

因为，所以，，故.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，

联立整理得，

则由，得，，.

因为，，

所以

.

综上，直线，的斜率之和是定值，且该定值为1.

21、答案：(1)见解析

(2)实数a的取值范围为

解析：(1)当时，，

令，，

则，则在，上单调递减.

又，所以当时，，所以在上单调递减.

(2)由(1)可知当，时，，

则当时，，满足题意.

由，化简可得，

令，.

当时，若，则，在上是减函数，所以当时，，不符合题意.

当时，，则在上是减函数，所以，不符合题意.

综上所述，实数a的取值范围为.

22、答案：(1)曲线C的极坐标方程为；点A的极坐标为

(2)的面积

解析：(1)由消去参数，

得，即，

则曲线C的极坐标方程为.

令，则，故点A的极坐标为.

(2)令，则，

故的面积.

23、答案：(1)

(2)a的取值范围为

解析：(1)因为，所以.

当时，原不等式转化为，无解.

当时，原不等式转化为，解得.

当时，原不等式转化为，解得.

综上所述，原不等式的解集为.

(2).

由不等式的解集非空，可得，

则，

解得，故a的取值范围为.