2023年湖南省娄底市涟源市中考数学一模试卷

这是一份2023年湖南省娄底市涟源市中考数学一模试卷，共18页。

2023年湖南省娄底市涟源市中考数学一模试卷
一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3分）“学习强国”平台上线的某天，全国约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为（　　）
A．1246×105 B．124.6×106 C．1.246×107 D．1.246×108
2．（3分）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）代数式有意义，那么x应满足的条件是（　　）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x≠3
4．（3分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么估计该厂10万件产品中合格品为（　　）
A．9.5万件 B．95万件 C．9500件 D．5000件
7．（3分）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（　　）

A．西北方向 B．北偏西30° C．北偏西60° D．西偏北60°
8．（3分）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可能是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．1
9．（3分）若k＜0，b＜0，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）今年，郑凯12岁，他爸39岁．x年后郑凯年龄是他爸的一半，则x是（　　）
A．10 B．12 C．14 D．15
11．（3分）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（　　）

A．4 B．6 C．9 D．12
二.填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．（3分）如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么这组数据的中位数是 　 　．
14．（3分）已知α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，则α+β+αβ＝　 　．
15．（3分）已知m为实数，则点P（1+m2，﹣1）一定在第 　 　象限．
16．（3分）两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是　 　．

17．（3分）将一副三角尺按如图的方式拼摆，则∠CED的度数为 　 　°．

18．（3分）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是 　 　个．（用含有n的式子表示）
​
三.解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x的值从﹣1，0，1，2中选取．
四.解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）购物支付方式日益增多，主要有：A微信，B支付宝，C现金，D其他．数学兴趣小组对消费者的支付方式进行了抽样调查，得到如两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名消费者？
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中D对应的圆心角度数．

22．（8分）如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．

五.解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）直播带货已经成为年轻人的购物时尚．为回馈粉丝，直播带货达人甜甜姐推出促销措施，在她的直播间按市场价购买火狐狸服装，均可到线上客服处领取13%的补贴．粉丝丽丽因此购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去6000元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多600元．
（1）丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？
（2）丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？
24．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC＝40°，当四边形BFDE是正方形时，求∠EBA的度数．

六.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线，交OD的延长线于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC＝6，tanE＝，求BE的长．

26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴为直线x＝1，且AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD．求证：CD⊥BC；
（3）点P是x轴上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年湖南省娄底市涟源市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3分）“学习强国”平台上线的某天，全国约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为（　　）
A．1246×105 B．124.6×106 C．1.246×107 D．1.246×108
【解答】解：124600000＝1.246×108．
故选：D．
2．（3分）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
3．（3分）代数式有意义，那么x应满足的条件是（　　）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x≠3
【解答】解：∵代数式有意义，
∴6﹣2x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
4．（3分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
在数轴上表示为
．
故选：C．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：C．
6．（3分）某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么估计该厂10万件产品中合格品为（　　）
A．9.5万件 B．95万件 C．9500件 D．5000件
【解答】解：根据抽样调查的结果可知，该纺织厂的合格率为：（100﹣5）÷100＝95%，
故该厂10万件产品中的合格品为：100000×95%＝95000＝9.5万（件），
故合格品为9.5万件，
故选：A．
7．（3分）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（　　）

A．西北方向 B．北偏西30° C．北偏西60° D．西偏北60°
【解答】解：如图：

由题意得：∠AOC＝30°，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC＝∠BOA﹣∠AOC＝60°，
∴OB的方位角是北偏西60°，
故选：C．

8．（3分）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可能是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．1
【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得：k＜2．
∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意；
故选：D．
9．（3分）若k＜0，b＜0，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∵k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
10．（3分）今年，郑凯12岁，他爸39岁．x年后郑凯年龄是他爸的一半，则x是（　　）
A．10 B．12 C．14 D．15
【解答】解：由题意得：12+x＝，
解得：x＝15．
故选：D．
11．（3分）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：A．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（　　）

A．4 B．6 C．9 D．12
【解答】解：解法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
由题意可知：∠BFC＝∠DEC＝90°，
∴△BCF∽△CDE，
∴，
设CD＝x，
∴BC＝2CD＝2x，
∴，
∴CF＝6．
解法二：∵AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴S△ABD＝S△ACD，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵DE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝，S△ACD＝，
∵AB＝AC，DE＝3，
∴CF＝2DE＝6．
故选：B．

二.填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
13．（3分）如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么这组数据的中位数是 　4　．
【解答】解：由题意知＝4，
解得x＝5，
这组数据为2、3、4、5、6，
所以其中位数为4，
故答案为：4．
14．（3分）已知α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，则α+β+αβ＝　2023　．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，
∴α+β＝2022，αβ＝1，
∴α+β+αβ＝2022+1＝2023．
故答案为：2023．
15．（3分）已知m为实数，则点P（1+m2，﹣1）一定在第 　四　象限．
【解答】解：∵1+m2＞0，﹣1＜0，
∴点P（1+m2，﹣1）一定在第四象限．
故答案为：四．
16．（3分）两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是　　．

【解答】解：画树形图如下：

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，两人手势相同有3种，两人手势相同的概率＝，
故答案为：．
17．（3分）将一副三角尺按如图的方式拼摆，则∠CED的度数为 　105　°．

【解答】解：∵一副三角尺按如图的方式拼摆，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DAB＝30°，∠D＝60°，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CED＝∠CBD+∠BDE＝45°+60°＝105°．
故答案为：105．
18．（3分）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是 　（4n+1）　个．（用含有n的式子表示）
​
【解答】解：由图形可知：
第1个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5，
第2个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：9＝5+4＝5+4×1，
第3个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：13＝5+4+4＝5+4×2，
…，
∴第n个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5+4（n﹣1）＝4n+1，
故答案为：（4n+1）．
三.解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝4×﹣﹣1﹣1
＝2﹣2﹣1﹣1
＝﹣2．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x的值从﹣1，0，1，2中选取．
【解答】解：
＝•
＝，
∵x＝0，±1时，原分式无意义，
∴x＝2，
当x＝2时，原式＝＝．
四.解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）购物支付方式日益增多，主要有：A微信，B支付宝，C现金，D其他．数学兴趣小组对消费者的支付方式进行了抽样调查，得到如两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名消费者？
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中D对应的圆心角度数．

【解答】解：（1）68÷34%＝200（名），
答：本次调查的总人数为200名；
（2）A支付方式的人数为200×40%＝80（名），
D支付方式的人数为200﹣（80+68+32）＝20（名），
补全条形统计图如下：

（3）在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为360°×＝36°．
22．（8分）如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．

【解答】解：由题意得：
AC＝BD＝EF＝1.7米，AB＝CD＝6米，∠MFD＝90°，
∵∠MCF是△MCD的一个外角，
∴∠MCF＝∠CDM+∠CMD，
∴∠CMD＝∠MCF﹣∠CDM＝30°，
∴∠CDM＝∠CMD＝30°，
∴CD＝CM＝6米，
在Rt△MCF中，MF＝MC•sin60°＝6×＝3（米），
∴ME＝MF+EF＝（1.7+3）米，
∴学校大门ME的高是（1.7+3）米．
五.解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）直播带货已经成为年轻人的购物时尚．为回馈粉丝，直播带货达人甜甜姐推出促销措施，在她的直播间按市场价购买火狐狸服装，均可到线上客服处领取13%的补贴．粉丝丽丽因此购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去6000元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多600元．
（1）丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？
（2）丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？
【解答】解：（1）设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：丽丽所买皮衣的单价是4200元，毛衣的单价是1800元；
（2）6000×13%＝780（元）．
答：丽丽可以到线上客服处领取780元补贴．
24．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC＝40°，当四边形BFDE是正方形时，求∠EBA的度数．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BCA，
即∠BAE＝∠BCF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABO＝∠ABC＝20°，
∵四边形BFDE是正方形，
∴∠EBD＝45°，
∴∠EBA＝25°．
六.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线，交OD的延长线于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC＝6，tanE＝，求BE的长．

【解答】证明：（1）如图，连接OC，

∵OD⊥AC，OD经过原点，
∴OP垂直平分AC，
∴∠AOP＝∠COP，
在△OAP和△COP中，
，
∴△OAP≌△COP（SAS），
∴∠OCP＝∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）连接BC，如图，


∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，
∴∠ECB+∠BCO＝∠BCO+∠ACO，
∴∠ECB＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝∠ECB，
∵∠E＝∠E，
∴△ECB∽△EAC，
∴EC：EA＝EB：EC，
∴EC2＝EA•EB，
∵tanE＝＝，PA＝PA＝6，
∴AE＝8，PE＝＝＝10，
∴EC＝PE＝PC＝4，
∴BE＝＝2．


26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴为直线x＝1，且AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD．求证：CD⊥BC；
（3）点P是x轴上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且AB＝4，
则A（﹣1，0）、B（3，0），
由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）证明：
如下图，连接BD．

∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，顶点为D，
∴C（0，3），
当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4，
即点D（1，4），
∵B（3，0），
由点B、C、D的坐标得：BC2＝OB2+OC2＝32+32＝18，
同理可得：CD2＝12+（4﹣3）2＝2，BD2＝（3﹣1）2+42＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD为直角三角形，
即CD⊥BC；

（3）解：
存在，理由：
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵B（3，0）、C（0，3），
∴，解得：．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
∵D（1，4），
设点Q（m，﹣m+3），
当CD是对角线时，由中点坐标公式得：1＝x+m且3+4＝﹣m+3，
解得：m＝﹣4，x＝5，
则点P、Q的坐标分别为（5，0）、（﹣4，7），
经验证：CD≠PQ，故此种情况不存在；
当CP是对角线时，由中点坐标公式得：x＝1+m且3＝﹣m+3+4，
解得：m＝4，x＝5，
则点P、Q的坐标分别为（5，0）、（4，﹣1），
经验证：CP＝DQ，故此种情况存在；
当CQ是对角线时，由中点坐标公式得：x+1＝m且4＝﹣m+3+3，
解得：m＝2，x＝1，
则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（2，1），
经验证：CQ≠PD，故此种情况不存在；
∴点P、Q的坐标分别为（5，0）、（4，1）．