2023年河南省信阳市固始县中考数学一模试卷（含答案）

2023年河南省信阳市固始县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 厉 B. 害 C. 了 D. 我

3.  下列计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，纳米为十亿分之一米，即米一种新型病毒，长度仅纳米左右约为人类头发直径的百分之一，“纳米”用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5.  如图，四边形是菱形，，分别是，两边上的点，不能保证和一定全等的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当时，随的增大而增大．
则这个函数表达式可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的高，按以下步骤作图：
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；
作直线交于点；
在直线上截取；
以点为圆心，长为半径画圆交于点．
则下列说法错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  若方程有两个不相等的实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在▱中，动点从点出发，沿折线运动，设点经过的路程为，的面积为，把看作的函数，函数的图象如图所示，则图中的等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  不等式组的解集是______．

13.  某轨道列车共有节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是______．

14.  如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，以格点为圆心的三段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于______结果保留

15.  如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
年春节“流浪地球”在全国各大影院进行热播为了激发学生的研究兴趣，某校举行了科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生获奖情况进行统计，分为如下组满分分，组：优秀奖，组：三等奖组：二等奖，组：一等奖，组：特等奖，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题：

本次调查一共随机抽取了        名学生的成绩；
补全学生成绩频数分布直方图；
学校共有名学生，估计该校荣获一等奖及特等奖的学生共有多少人？
学校将从获得满分的名同学其中有两名男生，三名女生中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．

18.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于第二、四象限、两点，过点作轴于，，，且点的坐标为．
求一次函数与反比例函数的解析式；
请直接写出满足的的取值范围；
是轴上一点，且是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点坐标．

19.  本小题分
某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量一古建筑的牌匾悬挂的高度，如图，大门上悬挂着巨大的匾额，图中的线段就是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，他们在该古建筑底部所在的平地上，选取两个不同测量点、，分别测量了该牌匾端点的仰角以及这两个测量点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测量点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表不完整．
 

、之间距离的平均值是______．
求匾额悬挂的高度的长．参考数据：，，

20.  本小题分
某商品经销店欲购进、两种纪念品，用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵元．
求、两种纪念品每件的进价分别为多少元？
若该商店种纪念品每件售价元，种纪念品每件售价元，这两种纪念品共购进件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，求种纪念品最多购进多少件？

21.  本小题分
掷实心球是中考体育考试项目之一．如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
求关于的函数表达式；
根据中考体育考试评分标准男生版，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
 

22.  本小题分
预警三角标志牌用于放置在车道上，告知后方来车前有停置车辆，如图所示所示贝贝想制作类似此标志的图形，先使用反光材料设计一个物件，如图所示，其中四边形为长方形，、分别以、为直径的半圆，且灰色部分为反光区域接着，将三个图的物件以图的方式组合并固定，其中固定点、、皆与半圆的圆心重合，且各半圆恰好与长方形的长边相切，而在图左下方的局部放大图中，、皆为其切点，、皆为直径．

请根据上述资讯，回答下列问题：
图中的度数为多少？
根据图的组合方式，求出可看见的反光区域面积为多少？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．

23.  本小题分
小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图，在与中，，，，，．

【探索发现】将两个三角形顶点与顶点重合，如图，将绕点旋转，他发现与的数量关系一直不变，则线段与具有怎样的数量关系，请说明理由；
【深入思考】将两个三角形的顶点与顶点重合，如图所示将绕点旋转．
当、、三点共线时，连接、，线段、、之间的数量关系为______；
如图所示，连接、，若线段、交于点，试探究四边形能否为平行四边形？如果能，求出、之间的数量关系，如果不能，试说明理由．
【拓展延伸】如图，将绕点旋转，连接，取的中点，连接，则的取值范围为______用含、的不等式表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
由负数绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“国”与“我”是相对面．
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算、完全平方公式、乘方运算以及整式的除法运算即可取出答案．
本题考查二次根式的加减运算、完全平方公式、乘方运算以及整式的除法运算，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：纳米米，
纳米米米．
故选：．
绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
A、在和中，
，
≌，故选项A不符合题意；
B、在和中，
，
≌，故选项B不符合题意；
C、，
，
在和中，
，
≌，故选项C不符合题意；
D、由，，，不能判定和一定全等，故选项D符合题意；
故选：．
由菱形的性质和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；
对于函数，当时，随的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意．
故选：．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，，故A选项正确；
是的高，
，
，故B选项正确；
，
，故C选项错误；
，
故D选项正确．
说法错误的是．
故选：．
根据作图过程可得是的垂直平分线，进而可以逐一判断．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】由题意可求得，利用三角形的外角性质即可求的度数．
解：如图所示：

，，，
，
是的一个外角，
．
故选：．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图知，，，，
过点作于点，

设，则，
则，即：，
解得：，
则，
故选：．
由图知，，，，再通过解直角三角形，求出高，进而求解．
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
由得，
由得，；
不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

13.【答案】 

【解析】解：把节车厢分别记为、、，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有种，
则甲和乙从同一节车厢上车的概率为．
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，根据图形可知：
阴影部分面积．
故答案为：．
如图，连接，根据图形隐含条件可以知道阴影部分面积，依此计算即可求解．
此题主要考查了扇形面积的计算，同时也利用了等积变换．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，连接，即为的最小值，

根据轴对称的定义得，，
为等边三角形，为等边三角形，
，，，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，连接，即为的最小值，根据轴对称的定义可推出为等边三角形，为等边三角形，得，，，再根据勾股定理即可得出结果．
本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线，找出的最小值即的长是解题的关键．
 

16.【答案】解：


；


． 

【解析】先算零指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值，然后计算乘法，再算加减即可；
先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：本次调查一共随机抽取的学生有名．
故答案为：．
组的学生人数人，
组的学生人数为人．
补全学生成绩频数分布直方图如图所示．

人．
估计该校荣获一等奖及特等奖的学生大约共有人．
设两名男生分别记为，，三名女生分别记为，，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有：，，，，，，，，，，，，共种，
抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．
用组的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查抽取的学生人数．
用本次调查抽取的学生人数乘以组人数所占的百分比，可得组的人数，再用本次调查抽取的学生人数分别减去，，，组的学生人数，可求出组的学生人数，补全条形统计图即可．
根据用样本估计总体，用乘以本次调查中组和组的学生所占的百分比之和，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数和抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解频数率分布直方图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：轴，
，
在中，，
，
，
根据勾股定理得，，
点在第二象限，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数上，
，
，
，
点，在直线上，
，
，
一次函数的解析式为；
由图象知，满足的的取值范围为或；
设点的坐标为，
，，
，，，
是等腰三角形，
当时，，
，
或，
当时，，
或舍，
，
当时，，
，
，
即：满足条件的点的坐标为或或或． 

【解析】先利用三角函数求出，得出点坐标，进而求出反比例函数解析式，进而求出点坐标，将点，坐标代入直线解析式中，建立方程组，求解即可得出结论；
根据图象直接得出结论；
设出点坐标，进而表示出，，再分，，三种情况，建立方程求解即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：、之间距离的平均值是，
故答案为：；
过点作，，垂足分别为、，如图所示：
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即：，
解得：米，
答：匾额悬挂的高度的长约为米．
求出两次的平均值即可；
过点作，，垂足分别为、，在中，求出、，再在中用的代数式表示，然后根据得出，列方程求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元．
设种纪念品购进件，则种纪念品购进件，
根据题意得：，
解得：．
答：种纪念品最多购进件． 

【解析】设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元，由题意：用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
设种纪念品购进件，则种纪念品购进件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，列出一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
该男生在此项考试中不能得满分，理由：
令，则，
解得：，舍去，
，
该男生在此项考试中不能得满分． 

【解析】根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
 

22.【答案】解：如图，由题意可知，，
、是的切线，、为切点，
，，
在四边形中，
，
如图，由题意可知，，连接，则，
在中，公分，
图不规则图形的面积为：平方公分，
如图，图的面积为：平方公分，
由题意可知，
平方公分，
答：可看见的反光区域面积为平方公分． 

【解析】根据切线的性质，四边形的内角和定理得出答案；
求出“图的面积”和“图中不规则图形的面积”，由阴影部分的面积为个“图面积”减去个“图中的不规则图形面积”进行计算即可．
本题考查切线的性质，扇形面积、矩形面积计算，掌握切线的性质，扇形面积的计算方法是解决问题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：【探究发现】，，理由如下：
如图，

，
，
，
在和中，
，
≌，
；
【深入思考】，理由如下：
如图，

在上截取，可得是等腰直角三角形，
，
由【探究发现】得：，
；
故答案为：；
四边形可以为平行四边形，
此时，，
，
，
，
；
【拓展延伸】如图，

延长至，是，连接，
，
在中，，，
，
点在以为圆心，的圆上运动，
当点在的延长线上时，最大，最大值为：，
当点在射线上时，最小，最小值为，
，，
故答案为：．
【探究发现】证明≌，进一步得出结果；
【深入思考】在上截取，可得是等腰直角三角形，根据【探究发现】可得出结论；
四边形可以为平行四边形，根据勾股定理可得，进一步得出结果；
【拓展延伸】延长至，是，连接，，可求得，从而点在以为圆心，的圆上运动，进一步得出结果．
本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是确定点的运动轨迹．