第11讲 用图像处理实验数据和误差分析之牛顿第二定律相关实验（解析版）

第11讲 用图像处理实验数据和误差分析之牛顿第二定律相关实验

1．（2022·山东）在天宫课堂中，我国航天员演示了利用牛顿第二定律测量物体质量的实验，受此启发，某同学利用气垫导轨、力传感器、无线加速度传感器、轻弹簧和待测物体等器材设计了测量物体质量的实验。如图甲所示，主要步骤如下：

①将力传感器固定在气垫导轨左端支架上，加速度传感器固定在滑块上；

②接通气源，放上滑块，调平气垫导轨；

③将弹簧左端连接力传感器，右端连接滑块，弹簧处于原长时滑块左端位于O点，A点到O点的距离为5.00cm，拉动滑块使其左端处于A点，由静止释放并开始计时；

④计算机采集获取数据，得到滑块所受弹力F，加速度a随时间t变化的图像，部分图像如图乙所示。

回答以下问题（结果均保留两位有效数字）：

（1）弹簧的劲度系数为 　12　N/m；

（2）该同学从图乙中提取某些时刻F与a的数据，画出a﹣F图像如图丙中Ⅰ所示，由此可得滑块与加速度传感器的总质量为 　0.20　kg；

（3）该同学在滑块上增加待测物体，重复上述实验步骤，在图丙中画出新的a﹣F图像Ⅱ，则待测物体的质量为 　0.13　kg。

【解答】解：（1）由题知，弹簧处于原长时滑块左端位于O点，A点到O点的距离为5.00cm.拉动滑块使其左端处于A点，由静止释放并开始计时。结合图乙的F﹣t图有

Δx＝5.00cm＝0.05m，F＝0.610N

根据胡克定律

k

计算出

k≈12N/m

（2）根据牛顿第二定律有

F＝ma

则a﹣F图像的斜率为滑块与加速度传感器的总质量的倒数，根据图丙中Ⅰ，则有

kkg﹣1＝5kg﹣1

则滑块与加速度传感器的总质量为

m＝0.20kg

（3）滑块上增加待测物体，同理，根据图丙中Ⅱ，则有

kg﹣1＝3kg﹣1

则滑块、待测物体与加速度传感器的总质量为

m'＝0.33kg

则待测物体的质量为

Δm＝m'﹣m＝0.33kg﹣0.20kg＝0.13kg

故答案为：（1）12；（2）0.20；（3）0.13

2．（2021·湖南）某实验小组利用图（a）所示装置探究加速度与物体所受合外力的关系。主要实验步骤如下：

（1）用游标卡尺测量垫块厚度h，示数如图（b）所示，h＝　1.02　cm；

（2）接通气泵，将滑块轻放在气垫导轨上，调节导轨至水平；

（3）在右支点下放一垫块，改变气垫导轨的倾斜角度；

（4）在气垫导轨合适位置释放滑块，记录垫块个数n和滑块对应的加速度a；

（5）在右支点下增加垫块个数（垫块完全相同），重复步骤（4），记录数据如下表：

根据表中数据在图（c）上描点，绘制图线。

如果表中缺少的第4组数据是正确的，其应该是 　0.345　m/s2（保留三位有效数字）。

【解答】解：（1）游标卡尺的精度为0.1mm，游标卡尺的示数为主尺与游标尺的示数之和，所以h＝10mm+2×0.1mm＝10.2mm＝1.02cm；

（2）由表中的数据在坐标系中先描点，再过这些点画一条直线，如图所示。

根据实验过程知，在已经调水平后，放n个垫块的加速度a＝gsinθ，结合绘制的a﹣n图象可求得图角的斜率k0.0862m/s2，那么当n＝4时，a4＝4k＝4×0.0862m/s2＝0.345m/s2。

故答案为：（1）1.02；（2）如上图、0.345

一、知识回顾

1.常规实验原理与图像处理

（一）原理

1．保持小车质量不变，通过改变槽码的个数改变小车所受的拉力，探究加速度与拉力的定量关系。

2．保持小车所受的拉力不变，通过在小车上增加重物改变小车的质量，探究加速度与质量的定量关系。

（二）器材

打点计时器、纸带、复写纸片、小车、一端附有定滑轮的长木板、槽码(若干个)、夹子、细绳、垫木、低压交流电源、导线、天平(带有一套砝码)、刻度尺。

（三）步骤

1．称量质量——用天平测量小车的质量M。

2．安装器材——按照如图所示装置把实验器材安装好，只是不把悬挂槽码的细绳系在小车上(即不给小车牵引力)。

3．补偿阻力——在长木板不带定滑轮的一端下面垫上一块薄木块，反复移动薄木块的位置，直至小车在斜面上运动时可以保持匀速直线运动状态。

4．让小车靠近打点计时器，挂上槽码，先接通电源，再让小车拖着纸带在木板上匀加速下滑，打出一条纸带。计算槽码的重力，即为小车所受的合力，由纸带计算出小车的加速度，并把力和对应的加速度填入表1中。

5．改变槽码的质量，重复步骤4，并多做几次。

6．保持槽码的质量不变，在小车上放上砝码改变小车的质量，让小车在木板上运动打出纸带。计算小车上砝码和小车的总质量M，并由纸带计算出小车对应的加速度，并将所对应的质量和加速度填入表2中。

7．改变小车上砝码的个数，重复步骤6，并多做几次。

表1　小车质量一定

表2　小车所受的拉力一定

（四）用图像处理数据

1．计算加速度——先在各条纸带上标明计数点，测量各计数点间的距离，再根据逐差法计算纸带对应的加速度。

2．作图像找关系——根据表1中记录的各组对应的加速度a与小车所受牵引力F，建立直角坐标系，描点画a­F图像，如果图像是一条过原点的倾斜直线，便证明加速度与合力成正比。

再根据表2中记录的各组对应的加速度a与小车和小车上砝码的总质量M，建立直角坐标系，描点画a－图像，如果图像是一条过原点的倾斜直线，就证明了加速度与质量成反比。

（五）误差分析与图像特征

因实验原理不完善引起误差。以槽码(槽码质量为m)为研究对象得mg－F＝ma；以小车和小车上砝码整体(整体质量为M＝M0＋m砝)为研究对象得F＝Ma；求得F＝·mg＝·mg<mg。

本实验用槽码的重力mg代替小车受到的拉力，而实际上小车所受的拉力要小于槽码的重力。槽码的质量越小于小车和小车上砝码的总质量，由此引起的误差就越小。因此，满足槽码的质量远小于小车和小车上砝码的总质量的目的就是减小因实验原理不完善而引起的误差。

从图像来看，用槽码的重力mg代替小车受到的拉力时，当m较大时，a-F图像明显弯曲，如下图所示。图像斜率减小。

（六）作图要求

作图时，两坐标轴单位长度的比例要适当，要使尽可能多的点落在所作直线上，不在直线上的点应尽可能均匀地分布在所作直线两侧。

2.用图像处理实验数据和进行误差分析的方法

分析处理图像信息前，要根据牛顿第二定律和运动学公式等规律推导出横纵坐标所表示的物理量间的关系式（函数解析式）。然后，根据解析式，明确直线的斜率和截距表示的物理意义。最后.根据实验目的和原理，结合图像解决设问。

二.例题精讲

例1、实验室有小车、打点计时器、纸带、砝码等器材，某班级同学想用这些器材探究加速度与力的关系，设计了不同的实验方案。

（1）某小组用图甲所示方案做实验，关于操作过程中，以下说法正确的是 　C　。

A.在平衡摩擦阻力环节，可以挂上砝码盘，用砝码盘的重力平衡一部分摩擦力

B.小车需要从同一位置静止释放

C.该实验不需要测量小车质量

D.实验时先放小车，后开打点计时器

（2）某小组用图乙所示方案做实验，先挂上托盘和砝码，调整垫块位置，使质量为M的小车拖着纸带沿木板匀速下滑，然后取下托盘和砝码，用天平测出其总质量为m，把小车放回木板上原位置，让小车沿木板加速下滑，测出其下滑的加速度a。

①该小组为了测量多组不同的数据，需要改变的是 　CD　（多选）；

A.小车质量

B.小车运动方向

C.斜面倾角

D.砝码和砝码盘的总质量

②该小组根据测量数据描绘出的a﹣F关系图象，正确的是 　A　。

【解答】解：（1）A、在平衡摩擦阻力环节，不需挂上砝码盘，使重力沿斜面向下的分力等于摩擦力，故A错误；

B、小车不需要从同一位置静止释放，故B错误；

C、该实验采用控制变量法探究加速度与力的关系，不需要测量小车质量，故C正确；

D、为充分利用纸带、减小误差，实验时先开打点计时器，后放小车，故D错误；

（2）①该实验采用控制变量法探究加速度与力的关系，小车加速下滑时受到的合外力等于砝码和砝码盘的总重力，为了测量多组不同的数据，实验中，小车的质量、小车运动的方向均不能改变，需要改变斜面倾角、砝码和砝码盘的总质量；故CD正确，AB错误；

②由于乙实验方案在作a﹣F关系时，小车受到的合外力F＝mg＝Ma，则有，故A正确；

故答案为：（1）C；（2）①CD；②A。

例2、如图甲所示是“探究加速度与力、质量关系”的三种实验方案的实验装置，砂和砂桶的总质量为m，小车的质量为M．（滑轮质量不计）

（1）用方案一的实验装置做实验，下列操作正确的是 　AD　（多选）。

A．为减小误差，实验中要保证砂和砂桶的总质量m远小于小车的质量M

B．在挂砂和砂桶的前提下，将带滑轮的长木板右端垫高，以平衡摩擦力

C．当小车的质量M改变时，需要重新平衡摩擦力

D．小车靠近打点计时器，先接通电源，再释放小车

（2）用方案二的实验装置做实验，在小车前端安装了力传感器，重新平衡摩擦力以后，改变砂和砂桶质量进行多组实验，并以力传感器的示数F为横坐标，加速度a为纵坐标，画出的a﹣F图线是一条直线，如图乙所示，图线与横坐标的夹角为θ，求得图线的斜率为k，则小车的质量M等于 　D　。

A．tanθ

B．

C．k

D．

（3）在方案二的实验中得到如图丙所示的一条纸带（两计数点间还有四个点没有画出），已知打点计时器采用频率为50Hz的交流电，根据纸带可求出小车的加速度为 　2.0　m/s2（结果保留两位有效数字）。

（4）方案三的实验步骤如下：

a．挂上砂和砂桶，改变木板的倾角，使质量为M的小车拖着纸带沿木板匀速下滑；

b．取下砂和砂桶，测出其总质量为m，让小车沿木板加速下滑，测出加速度a；

c．改变砂和砂桶质量和木板倾角，多次测量，通过作图可得到a﹣F的关系。

下列方案要求砂和砂桶的总质量m远小于小车的质量M的是 　C　。

A．方案二

B．方案三

C．方案二和方案三都不要

D．方案二和方案三都要

【解答】解：（1）A、对整体，根据牛顿第二定律得：

mg＝（M+m）a

对小车，根据牛顿第二定律得：

当m远小于小车的质量M时，F＝mg

因此为了减小误差，实验中要保证砂和砂桶的总质量远小于小车的质量，故A正确；

B、不挂砂和砂桶的前提下，将带滑轮的长木板右端垫高，以平衡摩擦力，故B错误；

C、当小车的质量M改变时，不需要重新平衡摩擦力，故C错误；

D、为了获得较多的点，小车靠近打点计时器，先接通电源，再释放小车，故D正确；

故选：AD。

（2）根据F＝Ma可知，a﹣F图像斜率的倒数表示质量，因此，故ABC错误，D正确；

故选：D。

（3）小车的加速度为

（4）方案二可以直接通过传感器测得拉力大小，故不需要砂和砂桶的总质量m远小于小车的质量M，方案三，挂上砂和砂桶，改变木板的倾角，使质量为M的小车拖着纸带沿木板匀速下滑，取下砂和砂桶，让小车沿木板加速下滑，则小车合力为mg，因此不需要砂和砂桶的总质量m远小于小车的质量M，故ABD错误，C正确；

故选：C。

故答案为：（1）AD；（2）D；（3）2.0；（4）C

三.举一反三，巩固练习

1. （1）在下列实验中，需要用到如图甲所示器材的实验有 　BC　。

A.探究弹簧的弹力与伸长量的关系

B.探究加速度与力、质量的关系

C.验证机械能守恒定律

D.研究平抛运动

（2）某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点，相邻点间的距离如图乙所示，每两个相邻的计数点之间还有4个计时点未画出，电源频率为50Hz。

①试根据纸带上计数点间的距离，计算出打下B点时小车的瞬时速度，并填入表中（结果保留3位有效数字）。

②以打下A点的时刻为计时起点，请在图丙中标出B点，并画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线。

③由所画的v﹣t图像求出小车的加速度为 　0.80　m/s2（结果保留两位有效数字）。

【解答】解：（1）A、探究弹簧的弹力与伸长量的关系只需测出弹簧的弹力与弹簧长度即可，实验不需要电火花打点计时器，故A错误；

B、探究加速度与力、质量的关系实验需要电火花打点计时器，故B正确；

C、验证机械能守恒定律需要电火花打点计时器，故C正确；

D、研究平抛运动实验只需找出运动轨迹上的点，根据运动轨迹上的点作出运动轨迹即可，实验不需要电火花打点计时器，故D错误。

故选：BC。

（2）①每两个相邻的计数点之间还有4个计时点未画出，电源频率为50Hz，相邻计数点间的时间间隔t＝5Ts＝0.1s

很短时间内的平均速度近似等于瞬时速度，打下B点时小车的瞬时速度vBm/s＝0.400m/s

②根据实验数据在坐标系内描出对应的点，让尽可能多的点过直线，不能过直线的点对称分布在直线两侧，根据坐标系内描出的点作出图象如图所示

③根据图示v﹣t图象可知，加速度a

故答案为：（1）BC；（2）①0.400；②图象如上图所示；③0.80。

2. 在“探究加速度与合外力和质量间的关系”时，采用如图1所示的实验装置，小车及车中的砝码质量用M表示，盘及盘中的砝码质量用m表示，小车的加速度可由纸带上的点计算得出

（1）当满足M 　远大于　m（选填“远大于”或“远小于”）的大小关系时，才可以认为细线对小车的拉力大小等于盘和盘中砝码的重力；

（2）一组同学在保持盘及盘中的砝码质量一定的情况下，探究加速度与小车质量的关系，下列做法正确的是 　B　。

A．平衡摩擦力时，应将盘及盘中的砝码用细线绕过定滑轮系在小车上

B．每次改变小车的质量时，不需要重新平衡摩擦力

C．实验时，先放开小车，再接通打点计时器的电源

D．小车运动的加速度也可以用天平测量出m和M后，用公式求出

（3）保持小车及车中的砝码质量M一定，探究加速度与所受合外力关系时，由于操作不当，甲、乙两名同学得到的a﹣F关系如图2①、②所示（a为小车的加速度，F为盘及盘中砝码的总重力）。

甲同学得到的图像①不过原点的原因是：　平衡摩擦力不足或未平衡摩擦力　；

乙同学得到的图像②后部分弯曲的原因是：　随着盘和盘中砝码质量的增大，不在满足M远大于m　。

【解答】解：（1）对盘及盘中砝码mg﹣F＝ma，对小车F＝Ma，联立可得，，即只有当M远大于m时，才可认为细线对小车的拉力大小等于盘和盘中砝码的重力；

（2）A、平衡摩擦力时，先去掉盘、盘中砝码和细线，只让小车在重力沿斜面方向的分力作用下向左运动，当小车能匀速运动时，重力沿斜面方向的分力和摩擦力平衡，故A错误；

B、调好后，当再次改变小车质量时，无需再平衡摩擦力，故B正确；

C、实验时，要先接通打点计时器的电源，使打点计时器正常工作，再释放小车，故C错误；

D、小车的加速度是通过处理纸带确定的，故D错误；

（3）由图①可看出只有当F达到一定值时，才会有加速度，说明平衡摩擦力不足或未平衡摩擦力；图像②后部分弯曲的原因是，随着盘及盘中砝码的总质量增大，不再满足M远大于m；

故答案为：（1）远大于；（2）B；（3）平衡摩擦力不足或未平衡摩擦力；随着盘及盘中砝码的总质量增大，不再满足M远大于m。

3. 图甲所示为某实验小组测量A、B两个箱子质量的装置图，其中D为铁架台，E为固定在铁架台上的轻质定滑轮（质量和摩擦可忽略），F为光电门，C为固定在A上、宽度为d的细遮光条（质量不计）.此外该实验小组还准备了砝码一套（总质量m0＝1kg）和刻度尺等，请在以下实验步骤中按要求作答：

（1）在铁架台上标记一位置O，并测得该位置与光电门之间的高度差h。

（2）取出质量为m的砝码放在A中，剩余砝码都放在B中，让A从位置O由静止开始下降。

（3）记录遮光条通过光电门时间t，计算出A下落到F处的速率；则下落过程中加速度。

（4）改变m，重复（2）（3）步骤，得到多组m及a的数据，作出（填“a﹣m”或“”）图像，如图乙所示（图中横、纵坐标物理量的单位均采用国际制单位）。

（5）请简要说明该图线是直线的原因：　根据公式a可知a﹣m的图象是一条直线　；并解释横纵截距和切线斜率的物理意义：　纵截距为，切线斜率为。　。

【解答】解：设AB两个箱子的质量分别为mA、和mB，根据牛顿第二定律对整个系统系统：（m+mA）g﹣（mB+m0﹣m）g＝（m0+mA+mB）a

可得a，所以a﹣m的图象是一条直线。

可知图象的斜率：k，纵轴截距b

故答案为：根据公式a可知a﹣m的图象是一条直线；纵截距为，切线斜率为。

4. 某实验小组利用图1所示装置探究加速度与物体所受合外力的关系．主要实验步骤如下：

①用游标卡尺测量遮光条的宽度d，示数如图2所示，d＝　0.40　cm；

②小球A、B用跨过光滑轻质定滑轮的足够长轻绳相连、B球上套有5个相同的槽码，系统静止；

③将n（依次取n＝1，2，3，4，5）个槽码套在A球上，其余5﹣n个仍留在B球上；

④接通电源，每次让遮光条由距离光电门x＝5cm处由静止释放，记录A球上槽码个数n与对应的遮光条挡光时间Δt，求相应的加速度a；

⑤对应不同n的a值如表．n＝2时Δt＝20.0ms，求出此时小球A的速度大小为 　0.20　m/s，系统的加速度a＝　0.40　m/s2（结果均保留2位有效数字）；

⑥根据表中数据在图3上描点，绘制图线。

⑦若每个槽码的质量m0＝0.01kg，重力加速度g取10m/s2，则A、B球的总质量M总＝　0.95　kg（结果保留2位有效数字）。

【解答】解：①游标卡尺的分度值为0.1mm，不需要估读，则

d＝3mm+0.1mm×10＝4.0mm＝0.40cm

⑤由于遮光条的平均速度近似等于小球A的瞬时速度，则有

由匀变速直线运动的速度—位移公式可得系统的加速度为

⑥描点，用一条直线尽可能地穿过更多的点，不在直线上的点尽量均匀地分布在直线两侧，误差较大的点舍去，画出的图像如下图所示：

⑦根据题意可知，在系统静止时则有

mAg＝mBg+5m0g

mA＝mB+5m0

由题表中的数据可知，当n＝5时，由牛顿第二定律得：

联立解得：mA＝50m0

mB＝45m0

M总＝mA+mB＝50m0+45m0＝95×0.01kg＝0.95kg

故答案为：①0.40；⑤0.20；0.40；⑥如上图所示；⑦0.95

5. 某同学用如图（a）所示的装置验证加速度与力的关系。

（1）为平衡摩擦力，将轨道一端略抬高，给小车一初速度使其在轨道上运动，利用位移传感器获得小车的速度﹣时间图像如图（b），则应适当 　减小　（选填“增大”“减小”）轨道倾角。平衡摩擦后，操作中要控制 　小车　（选填“小车”“钩码”）的质量不变。

（2）经过正确操作，所测量的拉力与加速度的数据如右表。请在图（c）中用“×”补充完成序号为4、5的数据描点并做出a﹣F图像。

（3）某同学对“将钩码的重力大小视为小车所受拉力的大小”的做法提出质疑，并开展了如下研究：他在小车上固定一个力传感器，可直接测得小车所受拉力。测得小车与传感器总质量为0.486kg，改变钩码质量，多次实验，测得多组钩码重力与小车所受拉力，图（d）中的图线①、②分别为钩码重力、小车所受拉力随钩码质量变化的关系图像。请根据图像，针对该同学的质疑给出回答。 　在平衡好摩擦力后，要用钩码的重力代替拉力，必满足钩码的质量远小于小车的总质量　。

【解答】解：（1）由题b可以看出，小车在倾斜的木板上做加速运动，而平衡阻力的目的是使合力为零，所以应减小木板的倾斜程度，使小车做匀速直线运动。

由实验目的可以知道，本实验是研究加速度与力的关系，所以要保证小车的质量不变，改变拉力。

（2）把4、5两组数据描在图C上（如图红色所示），并把所有的点尽量描在一条直线上，如图所示；

（3）若小车和小车的所有器材以加速a加速运动，则对小车的钩码整体有：a，对小车有：F＝Ma。联立两式可得：F。从表达式看出，只有当m＜＜M时，Fmg≈mg，若未满足m＜＜M，则显然F＜mg。以上从图象中可以得到证明：由题意知M＝0.486kg，而m＝0.03kg之前，F＝mg（F﹣m图象几乎重合），而m＝0.03kg之后，两者逐渐偏离，且两者越接近，偏离越大。

所以给该同学质疑的回答是：在平衡好摩擦力后，要用钩码的重力代替拉力，必满足钩码的质量远小于小车的总质量。

故答案为：（1）减小；（2）见解析；（3）在平衡好摩擦力后，要用钩码的重力代替拉力，必满足钩码的质量远小于小车的总质量