第10讲 传送带模型（原卷版）
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一.水平传送带模型
已知传送带长为L，速度为v，与物块间的动摩擦因数为μ，则物块相对传送带滑动时的加速度大小a＝μg。
项目 | 图示 | 滑块可能的运动情况 |
情景1 | v0＝0时，物块加速到v的位移x＝ (1)一直加速 若x≥L即v≥时，物块一直加速到右端。 (2)先加速后匀速 若x<L即v<时，物块先加速后匀速； | |
情景2 | 如图甲，当v0≠0，v0与v同向时， (1)v0>v时，一直减速，或先减速再匀速 当v0>v时，物块减速到v的位移x＝， 若x<L，即v0>v> ，物块先减速后匀速； 若x≥L，即v≤ ，物块一直减速到右端。 （2）当v＝v0时，物块相对传送带静止随传送带匀速运动到右端。 (3)v0<v时，或先加速再匀速，或一直加速 当v0<v时，物块加速到v的位移x＝， 若x<L，即v0<v< ，物块先加速后匀速； 若x≥L，即v≥ ，物块一直加速到右端。
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情景3 | 如图乙，v0≠0，v0与v反向，物块向右减速到零的位移x＝ (1)传送带较短时，滑块一直减速达到左端 若x≥L，即v0≥，物块一直减速到右端； (2)传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端。 即x<L，即v0<，则物块先向右减速到零，再向左加速(或加速到v后匀速运动)直至离开传送带。 若v0>v，返回时速度为v，若v0<v，返回时速度为v0
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二. 倾斜传送带模型
物块在倾斜传送带上又可分为向上传送和向下传送两种情况，物块相对传送带速度为零时，通过比较μmgcosθ与mgsinθ的大小关系来确定物块是否会相对传送带下滑，μ>tanθ时相对静止，μ<tanθ时相对下滑。
项目 | 图示 | 滑块可能的运动情况 |
情景1 | （一）若0≤v0<v且μ>tanθ (1)一直加速 传送带比较短时，物块一直以a＝μgcosθ－gsinθ向上匀加速运动。 (2)先加速后匀速 传送带足够长时，物块先以a＝μgcosθ－gsinθ向上匀加速运动再向上匀速运动。 （二）若0<v0<v且μ<tanθ： 物块向上做减速运动运动至0后反向加速运动至v0，回到出发点。整个运动过程加速度不变，加速度大小a＝gsinθ－μgcosθ。 | |
情景2 | (一)若0≤v0<v且μ>tanθ (1)一直加速 传送带比较短时,物块一直以a＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动 (2)先加速后匀速 传送带足够长时,物块先以a＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动再向下匀速运动 （二）若0≤v0<v且μ<tanθ (1)传送带比较短时，物块一直以a＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动。 (2)传送带足够长时物块先以a1＝μgcosθ＋gsinθ向下匀加速运动再以a2＝gsinθ－μgcosθ向下匀加速运动。 （三）v0=v，一直匀速（μ≥tanθ时）或一直匀加速（μ<tanθ，加速度大小a＝gsinθ－μgcosθ向下匀加速运动） （四）若v0>v且μ>tanθ： (1)传送带比较短时，物块一直以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动。 (2)传送带足够长时，物块先以a＝μgcosθ－gsinθ向下匀减速运动再向下匀速运动。 （五）若v0>v且μ<tanθ，物块一直以a＝gsinθ－μgcosθ向下匀加速运动 | |
情景3 | (1) μ<tanθ，一直加速(2) μ=tanθ一直匀速 (3) μ>tanθ时，一直减速或先减速后反向加速 若v0>v，反向加速至v后，匀速运动，返回时速度为v；若v0<v，反向加速到最高点，返回时速度为v0 |
三.两个难点与三个易错点
1.难点一：物块与传送带都发生运动，以地面为参考系的运动过程分析。
攻坚克难方法：需通过画运动过程示意图和v-t图像来再现运动过程。运动过程示图要标明不是位置对应的速度，不同运动过程对应的时间及位移、加速度。
难点二：物块与传送带同速后，是相对传送带静止还是运动，不会判断；如果运动，是相对传送带向前运动还是向后运动，不会判断。
攻坚克难方法：假设法。假设物块相对传送带静止，研究物块受到的静摩擦力是否大于最大静摩擦力（通常等于滑动摩擦力），如果大于，则假设不成立，物块相对传送带滑动。如果发生相对滑动，同样可用假设法判断是相对传送带向前还是向后滑动，如果合理，假设成立；否则，不成立。
2.注意三个易错点：
（1）物块与传送带同速时，物块受到传送带的摩擦力往往会发生突变。
（2）传送带运动方向或顺或逆，物块在传送带上或一直加速，或先加速后匀速，或先减速后反向加速……有多种可能时，存在多解。
（3）物块相对传送带位移与痕迹长不一定总相等，物块相对传送带运动的路程与痕迹长不一定总相等。
四.例题精讲
题型A：多解讨论类型
（多选）例1．如图所示，传送带的水平部分长为L，运动的速率恒为v，在其左端无初速放上一木块，若木块与传送带间的动摩擦因数为μ，则木块从左到右的运动时间可能是（ ）
A． B． C． D．
题型B：多解讨论+摩擦力突变（动静突变）
（多选）例2．如图，一足够长的倾斜传送带顺时针匀速转动。一小滑块以某初速度沿传送带向下运动，滑块与传送带间的动摩擦因数恒定，则其速度v随时间t变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型C：多解讨论+摩擦力突变（动动突变）
（多选）例3．如图甲所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，在传送带上某位置轻轻放置一小木块，小木块与传送带间动摩擦因数为μ，小木块的速度随时间变化关系如图乙所示，v0、t0已知，则（ ）
A．传送带一定逆时针转动
B．μ＝tanθ
C．t0后木块的加速度为2gsinθ
D．传送带的速度大于v0
题型D：物块相对传送带位移不等于痕迹长
（多选）例4．如图甲所示，一足够长的传送带倾斜放置，倾角为θ，以恒定速率v＝4m/s顺时针转动。一煤块以初速度v0＝12m/s从A端冲上传送带，煤块的速度随时间变化的图像如图乙所示，g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为（2）s
B．煤块在传送带上留下的痕迹长为（12+4）m
C．倾斜传送带与水平方向夹角的正切值tanθ＝0.75
D．煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.35
五.举一反三，巩固练习
- （多选）如图甲所示，倾斜传送带的倾角θ＝37°，传送带以一定速度匀速转动，将一个物块轻放在传送带的上端A，物块沿传送带向下运动，从A端运动到B端的v﹣t图像如图乙所示，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计物块大小，则（ ）
A．传送带一定沿顺时针方向转动
B．传送带转动的速度大小为5m/s
C．传送带A、B两端间的距离为11m
D．物块与传送带间的动摩擦因数为0.5
- （多选）如图甲所示，一足够长的传送带倾斜放置，以大小为v＝2m/s的恒定速率顺时针转动．一质量m＝2kg的煤块以初速度v0＝12m/s从A端冲上传送带又滑了下来，煤块的速度随时间变化的图象如图乙所示，g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．煤块上升的最大位移为11m
B．煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25
C．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为
D．煤块在皮带上留下的划痕为
- 如图所示，是车站、民航等入口处的安检装置：水平传送带匀速运动，放在其上的各种行李会被“传送”经过一个能发出X射线的暗箱接受检查。某装置中的传送带以0.3m/s匀速运动，行李箱（可看作质点）先匀加速再匀速通过X射线检查通道，如果传送带上摩擦痕迹的长度为6mm，下列说法正确的是（ ）
A．行李箱加速过程中的平均速度大小是0.3m/s
B．行李箱加速过程中，经历的时间是0.04s
C．行李箱加速过程中，传送带的位移大小是6mm
D．行李箱加速过程中，行李箱的位移大小是12mm
- （多选）如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程，下列说法正确的是（ ）
A．电动机多做的功为
B．物体在传送带上摩擦生热为
C．传送带克服摩擦力做的功为
D．电动机增加的功率为μmgv
- （多选）如图所示，皮带输送机与地面成37°角固定放置。底端到顶端的距离为L＝10m，皮带在电动机带动下以v1＝4m/s的速率匀速运动。一物块以v0＝12m/s的初速度从底部冲上皮带，当物块运动到皮带最高点时速度恰好为零。重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则物块与皮带间的动摩擦因数μ可能为（ ）
A．0.125 B．0.25 C．0.45 D．0.5
- （多选）如图所示，水平传送带以恒定速度逆时针方向运行，运行的速度大小为v，小滑块以大小为v0的初速度滑上传送带，经过时间t小滑块最终离开传送带，小滑块前t时间内所受的滑动摩擦力大于零，后t时间内所受的摩擦力等于零。小滑块与传送带之间的动摩擦因数恒定不变，小滑块可看作是质点，重力加速度为g，以地面为参照系，下面说法正确的是（ ）
A．小滑块最终返回它的出发位置
B．传送带的速度v有可能大于滑块初速度v0
C．前t时间小滑块的位移最大
D．前t时间小滑块的位移为（v0﹣v）t
- 在一化肥厂有如图所示的传送装置，AB水平，长度l1＝4m，顺时针传动的速率v1＝5m/s，CD为靠近AB的倾斜传送带，θ＝37°，长l2＝5.3m，两表面动摩擦因数μ＝0.5，一袋标准化肥的质量m＝20kg，已知sin37°＝0.6、cos37°＝0.8、g＝10m/s2。
（1）若化肥从A端轻放上去，并使CD顺时针以速率v传动，v应满足什么条件才能使化肥送至顶点D？
（2）CD传送带不动时，一袋化肥从离A端x1的位置轻放上去，则在CD上上升的最大距离为x2，求x2与x1的关系。
- 如图所示，在物流分拣过程中，将货物无初速置于水平传送带左端Q点，传送带始终以v＝2m/s匀速传动，当货物到达传送带的右端P点后，它会沿一个可忽略摩擦的斜坡滑向水平地面。Q与P之间距离l＝2m，P点到地面的高度h＝1m，货物与传送带及地面的动摩擦因数分别是μ1＝0.4、μ2＝0.3，斜坡与传送带及水平地面均平滑连接。将货物视为质点，g取10m/s2．求：
（1）货物在传送带上经历的时间；
（2）货物在地面上的滑行距离。
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