上海市普陀区2022届高考二模数学试题（原卷+解析）

上海市普陀区2022届高考二模数学试题

一、单选题

1．已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（     ）

A．椭圆 B．双曲线

C．抛物线 D．直线

2．“”是“”的（     ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

3．数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（   ）

A．数列是常数列

B．若，则是递增数列

C．若，则

D．若，则的最小项的值为

4．已知定义在上的偶函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数，（），若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

5．若，则实数的值为_______.

6．若复数在复平面内对应的点为，则________.

7．已知等差数列（）满足，则__________.

8．在的展开式中，含项的系数为__________.

9．若增广矩阵为的线性方程组无实数解，则实数________.

10．已知一个圆锥的侧面积为，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为________.

11．设函数的反函数为，若集合，则由中所有元素所组成的一组数据的中位数为________.

12．设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.

13．从集合的非空子集中随机任取两个不同的集合和，则使得的不同取法的概率为________（结果用最简分数表示）.

14．若，则等式成立的一个的值可以是________.

15．设直线（）与函数和的图像分别交于，两点，则__________.

16．如图，动点在以为直径的半圆上（异于A，），，且，若，则的取值范围为__________.

三、解答题

17．如图所示，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，设.

(1)当时，求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）；

(2)当时，若，且，求正实数的值.

18．设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.

19．如图所示，等腰直角是某大型商场一楼大厅的局部，商场管理部门拟用围栏在其中围出一个三角形区域，供商家开展促销活动.已知（米），，分别是，上的动点，为的中点，且，设.

(1)当时，求围栏段的长度（精确到）；

(2)求区域面积的最小值（精确到），并指出面积达到最小值时的相应的值.

20．设分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于M，N两点，过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为．

(1)求双曲线的方程；

(2)当时，求实数m的值；

(3)设点M关于坐标原点O的对称点为P，当时，求△PMN面积S的值．

21．对于函数和，设集合，，若存在，，使得，则称函数与“具有性质”.

(1)判断函数与是否“具有性质”，并说明理由；

(2)若函数与“具有性质”，求实数的最大值和最小值；

(3)设且，，若函数与“具有性质”，求的取值范围.

参考答案：

1．C

【分析】由抛物线的定义求解即可.

【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.

故选：C

2．A

【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.

【详解】由，又，

所以，即，充分性成立；

当时，即，显然时成立，必要性不成立.

故“”是“”的充分非必要条件.

故选：A

3．D

【分析】由题设可得且()，进而可知时偶数项、奇数项的值分别相等，再结合各项的描述判断正误.

【详解】当时，，

当时，，则，

而不一定成立，故不一定是常数列，A错误；

由，显然且，即不单调，B错误；

若，则，，故，偶数项为3，奇数项为，

而，C错误；

若，则，，故，偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，D正确.

故选：D

4．D

【分析】先根据函数满足的关系式及奇偶性，值域，得到，再写出，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当时，及时，的图象要位于的下方，得到，求出实数的取值范围.

【详解】变形为，

所以或，即或，

因为为偶函数，且值域为，

所以，

因为，所以，

在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：

要想满足若对任意的，存在，使得成立，

则当时，，所以，

且时，的图象要位于的下方，

故只需，即，解得：，

综上：实数的取值范围是.

故选：D

【点睛】对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参数的取值范围.

5．2

【分析】根据行列式的定义计算即可

【详解】由题知,即,所以

故答案为：2

6．##

【分析】由复数对应点写出复数，再应用复数的除法化简即可.

【详解】由题设，，故.

故答案为：

7．1

【分析】利用等差中项的性质可得，进而可求结果.

【详解】由题设，

所以，即.

故答案为：1

8．80

【分析】应用二项式展开式通项确定项对应r值，即可得系数.

【详解】由题设，，

所以项的系数为.

故答案为：80

9．

【分析】由，且求解即可.

【详解】因为增广矩阵为的线性方程组无实数解

所以，且

所以且，解得

故答案为：

10．##

【分析】由圆锥侧面积公式求得底面半径，体高为，应用圆锥的体积公式求体积.

【详解】由题设，令圆锥底面半径为，则体高为，母线为，

所以，则，

故圆锥的体积为.

故答案为：

11．5

【分析】先求反函数，再解不等式即可

【详解】由,得,所以

由,得,即,所以

所以

所以由中所有元素所组成的一组数据的中位数为5

故答案为：5

12．6

【分析】根据椭圆的性质判断为上下顶点时的大小判断直角三角形个数，再加上、对应直角三角形个数，即可得结果.

【详解】由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，，

所以，故焦点三角形中最大为，故有2个；

又、对应的直角三角形各有2个；

综上，使得是直角三角形的点的个数为6个.

故答案为：6

13．

【分析】首先求出集合的非空子集个数，依题意对集合、中元素的个数分类讨论，最后利用古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：集合的非空子集有个，

从中任取两个不同的集合和共有种，

要使，

①中含有个元素，中也含有个元素，有种，

②中含有个元素，中含有个元素，有种，

③中含有个元素，中含有个元素，有种，

即满足的集合、的取法有种；

故概率；

故答案为：

14．##

【分析】由两角和的正弦公式和正弦的二倍角公式以及正弦函数的性质进行化简求解即可.

【详解】可得，

即，所以（舍去）

或，解得，，

当时，，

故答案为：

15．

【分析】两条曲线一条无限接近轴，另一条无限接近，画出图像分析即可

【详解】直线的斜率

如图,

故答案为：

16．

【分析】，把向量内积通过投影转化为三角函数问题

【详解】

设,则,作交OC的延长线于点

由余弦定理

所以,即

,因为,所以

所以

所以

故答案为 ：

17．(1)；

(2).

【分析】（1）构建空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再由空间向量夹角的坐标表示求线面角大小.

（2）由（1）易得，根据已知条件及向量坐标的线性运算及数量积的坐标表示求参数t即可.

【详解】（1）以为原点，射线、、分别为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，即，

平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，则，

所以，则设直线与平面所成角为.

（2）由（1）所建的坐标系得：，，，即，

又，则，即，

又，则，即.

18．(1)，

(2)8152

【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知建立方程组求解可得数列的通项公式；

（2）数列中在之前共有项，再分组，分别利用等差、等比求和公式可求得答案.

（1）解：设等比数列的公比为，则，解得，则等比数列的通项公式为，.

（2）解：数列中在之前共有项，当时，，当时，，则.则所求的数列的前项和为.

19．(1)米

(2)面积的最小值为（平方米），对应的值为.

【分析】（1）在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由余弦定理得，从而得到围栏段的长度；

（2）在三角形中，由正弦定理得，，在三角形中，由正弦定理得，则三角形的面积为，可得

即，根据的范围可得答案.

【详解】（1）由及题设条件得，

，，，，

在三角形中，由正弦定理得，，

即，

在三角形中，由余弦定理得，

即，则围栏段的长度为米.

（2）由条件得，，

，且，

在三角形中，由正弦定理得，

即，

在三角形中，由正弦定理得，

即，

则三角形的面积为，

即，

又，即，

当，即时，S取得最小值，且值为，

则区域面积的最小值为（平方米），对应的值为.

20．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；

（2）由点在直线上求得t＝2，根据F1到直线的距离与等腰三角形底边上的高相等，列方程求参数m；

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得，，由向量的数量关系可得，根据对称点，三角形面积公式，可求△PMN面积．

【详解】（1）因为双曲线过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为，

可得：，解得：，

所以双曲线的方程为．

（2）因为直线，且过点F2（2，0），

则，解得：，

由得：三角形为等腰三角形，

所以等腰三角形底边上的高的大小为，

又因为点F1到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，

则，

化简得：，即．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），

由直线与双曲线联立得：，

化简得：，

由韦达定理得：，，

又，即，则，，

即，则，

又点M关于坐标原点O的对称点为P，则：

．

则所求的△PMN面积为．

21．(1)与不具有性质，理由见解析；

(2)最小值为；最大值为；

(3)答案见解析.

【分析】（1）求出、的零点，再结合定义判断作答.

（2）利用零点存在性定理求出的零点，结合定义求出的零点所在区间，再借助二次函数零点分布求解作答.

（3）利用指对数函数的性质，分类讨论求得的关系式，再借助非线性规划求解作答.

【详解】（1）不具有性质，

设，，

任取，即，则，任取，即，则，

即，

所以与不具有性质.

（2）设，，

函数是R上的增函数，显然有，即是方程的唯一解，

又函数与具有性质，则存在，，使得，

因此，即方程在区间上有解，

有，令，则在上递减，在上递增，

则当，即时，，当时，，当时，，则当，即时，，

所以的最小值为，最大值为.

（3）设，，

因为函数与具有性质，则存在，，使得，

由得，，又，则，由得，，则，

当时，由得，，即，有，则，

显然满足，作出此不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中，

令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

作出直线，平移直线，当它分别为过点A，B时的直线时，其纵截距分别最大和最小，

即取最小和最大，则，，因此，

当时，由得，，即，有，则，

显然满足，作出此不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中

令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

作出直线，平移直线，当它分别为过点D，B时的直线时，其纵截距分别最大和最小，

即取最小和最大，则，，因此，

所以当时，的取值范围是，当时，的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题.