天津市河东区2023届高三一模数学试卷（原卷+解析）

天津市河东区2023届高三一模数学试卷

一、单选题

1．已知集合，，，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

2．命题“有一个偶数是素数”的否定是（    ）

A．任意一个奇数是素数 B．存在一个偶数不是素数

C．存在一个奇数不是素数 D．任意一个偶数都不是素数

3．如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

4．《天津日报》2022年11月24日报道，我市扎实推进实施深入打好污染防治攻坚战“1+3+8”行动方案，生态环境质量持续稳定向好，特别是大气环境质量改善成效显著．记者从市生态环境局获悉，1至10月份，全市PM2.5平均浓度为34微克/立方米、同比改善8.1%，优良天数222天，同比增加3天，重污染天2天，同比减少4天，为10年来最好水平．小明所在的数学兴趣小组根据2022年8月天津市空气质量指数（AQI）趋势图绘制频率分布直方图，下列说法错误的是（    ）

天津2022年08月份空气质量指数趋势

A．该组数据的极差为

B．小明根据极差确定组距为7，共分为6组

C．当分为6组时，小组，的频数分别为5，9

D．当分为6组时，小组对应纵轴值（）约为0.023

5．已知函数，下列说法错误的为（    ）

A．最小正周期为 B．为偶函数

C．在单调递减 D．

6．已知双曲线的实轴为4，抛物线的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，，，则，，的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

8．在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ）

A．4 B． C．2 D．1

9．定义在上的偶函数满足，当时，，设函数（为自然对数的底数），则与的图象所有交点的横坐标之和为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空题

10．是复数单位，化简的结果为________．

11．的展开式中，项的系数为________．（用数字作答）

12．已知直线与圆相切，则满足条件的实数的值为________．

13．如图所示，一个由圆锥和圆柱组成的玻璃容器，中间联通（玻璃壁厚度忽略不计），容器中装有一定体积的水，圆柱高为10，底面半径为3，圆锥高为，底面半径大于圆柱，左图中，圆柱体在下面，液面保持水平，高度为，右图中将容器倒置，水恰好充满圆锥，则圆锥底面的半径为________．

三、解答题

14．在三角形中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

15．在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．

16．设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，．

(1)求数列与的通项公式；

(2)的前项和为，求证：；

(3)求．

17．已知椭圆的离心率为，右焦点为．

(1)求椭圆方程；

(2)过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程．

18．已知函数，．

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)，，．

（ⅰ）证明；

（ⅱ）求函数在区间上零点的个数证明．

四、双空题

19．甲、乙两名射手射中10环的概率分别为、（两人射中10环与否相互独立），已知两人各射击1次．两人都射中10环的概率为________；两人命中10环的总次数为，则随机变量的期望为________．

20．已知等边三角形的边长为1，射线、上分别有一动点和（点在点与之间），当时，的值为________；当时，的最小值为________．

参考答案：

1．A

【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.

【详解】由知：，

当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

当，即或，

若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

若，则，，满足要求.

综上，.

故选：A

2．D

【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.

【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.

故选：D

3．B

【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案.

【详解】解：由指数函数的性质可知：

①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象；

所以只有②不是指数函数的图象.

故选：B.

4．C

【分析】选项A：根据极差的概念求解；

选项B：根据极差确认组距，分组；

选项C：根据对应区间确认频数；

选项D:根据 确定对应纵轴值；

【详解】选项A：根据极差=最大值-最小值，极差为，故A对；

选项B：根据极差41确认组距，分组一般为组，组距为7，刚好分为6组，故B对；

选项C：根据对应区间确认频数，小组，的频数分别为5，10，C错；

选项D：根据纵轴值=，故D对；

故选：C

5．B

【分析】根据诱导公式可得，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果；

【详解】因为函数为奇函数，故B错误；

最小正周期为，故A正确；

令，，解得，，

即函数的单调减区间为，

当时，即为，，故C正确；

且，故D正确；

故选:B

6．A

【分析】求出，，将代入双曲线和抛物线，求出，，进而求出渐近线方程.

【详解】由题意得，，故双曲线左顶点坐标为，

抛物线的准线为，故，解得，

点为抛物线与双曲线的一个交点，故，，

即，解得，解得，

故双曲线的渐近线方程为.

故选：A

7．C

【分析】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，从而即可得答案.

【详解】解：因为，，

，

所以.

故选：C.

8．C

【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式将用表示，再根据扇形的弧长和周长公式结合基本不等式即可得解.

【详解】设扇形的半径为，圆心角为，

则，所以，

则扇形的周长为，

当且仅当，即时，取等号，此时，

所以周长最小时半径的值为.

故选：C.

9．D

【分析】根据已知条件求出的周期，利用周期性和偶函数作出在区间的图象，以及的图象，数形结合即可求解.

【详解】因为满足，

所以图象关于直线对称，

因为是上的偶函数，所以图象关于直线对称，

所以的周期为，

的图象关于直线对称，

由时，，作出图象如图和的图象

由图知与的图象在区间有四个交点，设交点横坐标分别为，

且，，

所以，

所以与的图象所有交点的横坐标之和为，

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是得出两个函数图象都关于对称，两个函数图象的交点应关于对称，数形结合判断出交点个数，利用对称性求交点的横坐标之和.

10．##4i+3

【分析】复数的乘除运算法则计算即可.

【详解】复数的乘除运算法则计算:

故答案为：

11．90

【分析】求出展开式的通项公式，可得展开式为时的值，代入可得展开式中项的系数.

【详解】展开式的通项公式为，

得，所以项的系数为

故答案为：90

12．0

【分析】先根据方程表示圆求出的范围，再由圆心到直线的距离等于半径求解即可.

【详解】解：因为方程表示圆，

所以，

解得，

因为圆的圆心为，半径，

又因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，

所以，

解得，满足.

故答案为：0

13．

【分析】根据前后体积一致，列出计算式即可求解.

【详解】,

解得.

故答案为：

14．(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理边化角求解作答.

（2）利用（1）的结论及余弦定理计算作答.

（3）利用（1）（2）的结论，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦公式求解作答.

【详解】（1）在中，由已知得，由正弦定理得，而，，

所以.

（2）在中，由余弦定理得，即，而，解得，

所以.

（3）在中，，，，有，

则，，

由（2）知，，即，

所以.

15．(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）过点作的平行线，结合题意建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，并求出平面的法向量和的方向向量，利用向量法证明线面平行即可；

（2）求出平面的法向量，再结合（1）中平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解；

（3）根据平面镜原理，设入射角为，利用空间向量的夹角公式解求出入射角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】（1）过点作的平行线，由题意可知以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，，．

设平面的法向量为，，，，，令，则，

∵，

∴，平面.

（2）根据图形易知平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，

则.

所以平面与平面夹角的余弦值.

（3），入射角为，

，因为，

所以，.

故这束光在玻璃窗上的入射角的正切值为.

16．(1)，

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式列出方程组，解之即可求解；

（2）结合已知条件可得，则，由（1）可知，进而得证；

（3）利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）设，，，

由已知，，

，解为，

，.

（2）由已知

左式，右式，

∴.

（3）由已知，

①

②

为，

.

17．(1)

(2)或

【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可求出，再根据，可求得，即可求解；

（2）讨论直线的斜率存在还是不存在，当斜率存在且时，直线代入椭圆可得，，可求出的中点为，通过弦长公式和两点距离求出,利用即可求解

【详解】（1）由题意可得，，解得，

由，∴，则椭圆的方程为

（2）当直线为轴时，易得线段的垂直平分线与直线没有交点，故不满足题意；

当所在直线的斜率存在且不为轴时，设该直线方程为，，，

，解为，

，

所以，

，

设的中点为，则，设，

由为等边三角形，，，

，

所以，解得，所以，

当所在直线的斜率不存在时，将代入可得，

所以，，不满足题意，

综上所述，直线的方程为或

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

18．(1)

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3个，证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线方程，即可得到结果；

（2）（ⅰ）直接代入计算，即可证明；

（ⅱ）求导可得，得到其极值点，通过对其单调性的研究分分不同区间进行讨论，即可得到其零点个数；

【详解】（1），切线斜率为，，

切线方程为，∴

（2）（ⅰ），；

（ⅱ）即为，

解得，，，

当时，；当时，，

且在区间，上单调递减，在区间上单调递增，

，

∵，∴

在区间上单调递增，，

，令

令，，∵，∴，

在上单调减，，∴

在上单调递增，

，，，在区间单调递减

因此在区间上存在唯一零点

由已知，由（2）（ⅰ）

，，∴

在区间单调递减，在区间上存在唯一零点

综上所述，在区间上存在3个零点．

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

19．         

【分析】两人都射中10环可以看作2个互斥事件乘积计算概率即可；根据独立事件发生结果和对应的概率，求期望即可求解.

【详解】互斥事件同时发生：

由题意可得

,

，

故答案为：；；

20．     ##    

【分析】确定，，再计算即可，设，则，，，得到最值.

【详解】，，

；

设，

则，，

，

当时，有最小值为.

故答案为：；