2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题07 解三角形 Word版含解析

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专题7  解三角形一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.(1)证明：因为，所以，所以，即，所以；(2)解：因为，由（1）得，由余弦定理可得， 则，所以，故，所以，所以的周长为.2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．3．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．(1)由于， ，则．因为，由正弦定理知，则．(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．4．（2022·北京·高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.(1)解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.(2)解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.5．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.(1)由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；(2)由正弦定理得：，则，则，.6．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．(2)由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．7．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切. (1)若∠ADE，求EF的长；(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）【答案】(1)23.3m(2)当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为【解析】【分析】（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，，在直角和直角中分别求出,从而得出答案.（2）先求出梯形的面积的最小值，从而得出梯形FEBC的面积的最大值.(1)设EF与圆D相切于对点，连接，则， 则，所以直角与直角全等所以 在直角中， 在直角中， (2)设,，则， 所以梯形的面积为当且当，即时取得等号，此时 即当时，梯形的面积取得最小值则此时梯形FEBC的面积有最大值 所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为8．（2022·全国·模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且.(1)求角B的大小；(2)若，，求，的值.【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;（2）由余弦定理计算即可.(1)由，又，由，则.由正弦定理得，所以.由余弦定理得，因为，所以.(2)因为，，，所以，解得，所以，.所以，.9．（2022·全国·模拟预测）在中，角的对边长分别为，的面积为，且．(1)求角的大小；(2)若，点在边上，______，求的长．请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据面积公式可得，利用正弦定理以及和角关系可得，进而可求.（2）根据余弦定理可求出，然后在和在中分别用余弦定理即可求①.根据面积公式即可求解②③.(1)因为，所以，所以，即．由正弦定理，得，所以．因为，所以，所以．又，所以．(2)若选①．法一：在中，由余弦定理，得，所以，所以．在中，由余弦定理，得，即．在中，由余弦定理，得，即．又，所以．所以，所以．法二：因为，所以为的中点，所以，所以．所以，即．若选②．在中，，即，即，解得．若选③．在中，由余弦定理，得，所以．因为，又，所以，解得．10．（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．(1)求角B；(2)若，，D为AC边的中点，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可（2）由余弦定理可得，再根据的面积为面积的一半，结合三角形的面积公式求解即可(1)由，有，两边同乘得，故，即．因为，所以A为锐角，，所以．又因为，所以．(2)在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．故．11．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若M为的中点，，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；解法二：利用余弦定理将用边表示再化简即可；（2）解法一：根据基底向量的方法得，两边平方化简后可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；解法二：设，再分别在，和中用余弦定理，结合可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可(1)解法一：因为，由正弦定理得：，所以，因为，所以，为，所以．解法二：因为，由余弦定理得：，整理得，即，又由余弦定理得所以，因为，所以．(2)解法一：因为M为的中点，所以，所以，即，即，而，所以即，当且仅当时等号成立所以的面积为．即的面积的最大值为．解法二：设，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因为，所以所以①+②式得．③在中，由余弦定理得，而，所以，④联立③④得：，即，而，所以，即，当且仅当时等号成立．所以的面积为．即的面积的最大值为．12．（2022·北京市第十二中学三模）的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：；条件④：.【答案】(1)(2)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）选①②，利用余弦定理可判断不唯一；选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断的面积；选①④，直接判断唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积；选②④，利用余弦定理可判断唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积.(1)解：由及正弦定理可得，、，则，，，故.(2)解：若选①②，由余弦定理可得，即，解得，此时，不唯一；若选①③，已知，，，且，则，所以，，则唯一，，，由正弦定理可得，所以，；若选①④，已知，，，此时唯一，；若选②③，已知，，，且，则，所以，，则唯一，，，由正弦定理可得，所以，；若选②④，已知，，，由余弦定理可得，可得，，解得，此时，唯一，；若选③④，已知，，，且，则，所以，，则唯一，，，由正弦定理可得，.13．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别为，且(1)当，求的值(2)求的最大值.【答案】(1)sinC+sinA=1(2)【解析】【分析】（1）代入，解得，对变形得到，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以，变形得到，利用正弦定理得到，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值.(1)由题意得：，即，则(2)，两边同乘以得：，即，整理得：，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因为，当且仅当时等号成立，此时，由于，而在上单调递减，故的最大值为14．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．(1)求角C；(2)若△的面积，且，求△的周长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得的值，进而求得角C的值；（2）依据题给条件得到关于的方程组，求得的值，进而求得△的周长．(1)因为，由余弦定理，得到，又，所以；(2)因为△的面积，且，所以有，联立，则，所以△的周长为15．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求角A的大小；(2)若，，且AD平分，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解（2）由AD是角平分线得到，再利用面积公式求解(1)，故，则；(2)设BC边的高为h，所以，又是角平分线，所以所以，即，又，则，解得，，．16．（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，．(1)若唯一确定，求m的值；(2)设I是的内切圆圆心，r是内切圆半径，证明：当时，．【答案】(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）若，根据，，可知A可以为锐角，也可以为钝角，有两种情况，若，则三角形为直角三角形，有唯一解.（2）由可推导出为直角三角形，故可计算出的值，即得证.(1)设AB边上的高为，则．当时，由勾股定理，若A为锐角，则；若A为钝角，则，所以存在两种情况，不能被唯一确定．当时，为直角三角形，其中A为直角顶点，可以唯一确定，即唯一确定，故m的值为1．(2)当时，由余弦定理，，故由同角三角函数的关系可得，所以的面积．另一方面，，所以有，两边平方可得，解得（负值舍去），，所以是以A为直角顶点的直角三角形．因此有，；，；，．所以有成立．17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形中，，三角形的面积．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)或(2)，或，【解析】【分析】（1）根据面积公式及，得到，分C为锐角和C为钝角时，求出，进而求出，求出；（2）由面积公式求出，分C为锐角和C为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.(1)∵而分情况讨论，当C为锐角时，，∴当C为钝角时，，(2),因为，所以，分情况讨论，当C为锐角时，由余弦定理，由正弦定理，，当C为钝角时，，由余弦定理，由正弦定理，，18．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）的内角、、所对边的长分别为、、，已知．(1)求的大小；(2)若为锐角三角形且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再分析求解即可；（2），再利用三角函数求值域即可.(1)由及正弦定理可得，所以，因为、，则，，则，故．(2)依题意，为锐角三角形且，由正弦定理得，所以，，所以，由于，所以，解得，所以，，所以，所以，所以．所以的取值范围是．19．（2022·辽宁实验中学模拟预测）在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．(1)求B(2)若，的平分线交AC于点D，且，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到，结合余弦定理和三角形的面积公式即可(1)选择条件①：根据正弦定理，可得：可得：根据余弦定理，可得：选择条件②：根据余弦定理，可得：根据正弦定理，可得：整理可得：                    可得：选择条件③：易知：可得：根据正弦定理，可得：             可得：整理可得：(2)根据题意，可得：可得：整理可得：根据余弦定理，可得：可得：，即可得：解得：或（舍）故20．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合正弦型函数的有界性可求得的最大值.(1)解：由已知可得，即，，则，解得，因此，.(2)解：由正弦定理可得，所以，，其中为锐角，且，因为，则，，所以，当时，即当时，取得最大值.