2022-2023学年河北省石家庄实验中学高二上学期10月月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄实验中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面

B．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

C．若对空间中任意一点，有，则四点共面

D．若，则的夹角是钝角

【答案】C

【分析】根据向量的定义以及运算规则逐项分析可以求解.

【详解】解：对A，若两个向量是共线的，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，故错误；

对B，因为 ，所以共面，不能构成基底，错误；

对C，对 ，则四点共面，

由可得 ，

且，所以四点共面，正确；

对D，若可为，所以不一定为钝角，故错误；

故选：C

2．下列四个命题中，正确的是（    ）

A．直线在轴上的截距为2

B．直线的倾斜角和斜率均存在

C．若两直线的斜率满足，则两直线互相平行

D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

【答案】B

【分析】根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为时斜率不存在可判断D.

【详解】对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误；

直线的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确；

若两直线的斜率满足，则两直线互相平行或重合，所以C错误；

若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以D错误；

故选：B

3．过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用中点坐标公式可求得坐标，由两点连线斜率公式可求得结果.

【详解】设，，则，解得：，，，

.

故选：D.

4．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.

【详解】因为，，所以，

则，，

由点到直线的距离公式得，

故选：A.

5．不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直线恒过定点，即与参数k无关，原直线方程整理为，令k的系数为0，解方程即可得解.

【详解】原方程可化为，由直线恒过定点可知，

，解得，所以直线恒过定点

故选：B

6．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角形的中位线做出异面直线所成角，然后利用余弦定理计算即可.

【详解】如图所示:

连接A1C,交AC1于D,取BC的中点E,连接AE,DE,

则DE//A1B,∴为异面直线A1B和AC1所成的角或其补角.

由题意，可设该正三棱柱的棱长为2，易得,

则AE=,

∴,

∴异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为，

故选：B.

7．在四棱柱中，平面，，底面是边长为4的菱形，且，，，是的中点，则点到平面的距离为（    ）

A．2 B．1 C． D．3

【答案】C

【分析】分别以为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.

【详解】易得平面，所以，．

又，所以分别以为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

因为底面是边长为4的菱形，，所以，，

则，，，，

所以，．

设平面的法向量为，则，所以，

取，则，，则是平面的一个法向量．

设点到平面的距离为．因为是的中点，所以，，则，

所以点到平面的距离为．

故选：C.

8．过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.

【详解】动直线化为，可知定点，

动直线化为，可知定点，

又

所以直线与直线垂直，为交点，

.

则，当且仅当时，等号成立.

即面积的最大值为2.

故选：C.

9．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.

【详解】解：，

则，

，

，

，

，

，

所以，

故选：D

二、多选题

10．在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是（    ）

A．＝2－－ B．

C． D．＋＋＋

【答案】ABD

【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项．

【详解】与，，一定共面的充要条件是，

对于A选项，由于，所以不能得出共面，

对于B选项，由于，所以不能得出共面，

对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面，

对于D选项，由得，而，所以不能得出共面．

故选：ABD

11．已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ）

A．与共线的单位向量是

B．

C．与夹角的余弦值是

D．平面的一个法向量是

【答案】BD

【分析】根据共线向量的定义判定A选项；向量垂直，则其点乘为0，判定B选项；

利用向量夹角公式判定C选项；D选项，将代入计算，即可.

【详解】解：，与不共线，故A错误；

，，

，故，故B正确；

，C错误；

设，则，

，

所以，又，且平面，

所以平面的一个法向量是，D正确.

故选：BD.

12．已知直线：，则下列说法正确的是（    ）．

A．直线的斜率可以等于0 B．直线恒过点

C．若直线与轴的夹角为，则或 D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则

【答案】BC

【分析】根据题意由直线的相关知识，逐个分析即可．

【详解】当时，直线的斜率不存在，

当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；

直线与轴的夹角为，直线的倾斜角为或，又直线的斜率为，

或或，故C选项正确；

直线的方程可化为，

所以直线过定点，故B选项正确；

当时，直线在轴上的截距不存在，

当时，令，得，令，得，

令，得，故D选项错误，

故选：BC．

13．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（    ）

A．的一个方向向量为

B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为

C．与直线垂直

D．与直线平行

【答案】AC

【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，

它与直线重合，D错误；

，因此是直线的一个方向向量，A正确；

在直线方程中令得，令得，

直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；

由于，C正确

故选：AC

三、填空题

14．已知向量且与互相垂直，则k的值是________.

【答案】

【解析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.

【详解】由向量，

则，，

因为与互相垂直，

所以，即，

解得.

故答案为：

【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算以及空间的向量积，属于基础题.

15．四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.

【答案】0.5

【分析】取定空间的一个基底，用基底表示，，再计算空间向量数量积作答.

【详解】四面体OABC的所有棱长都等于，则此四面体是正四面体，不共面，

，因E，F，G分别为OA，OC，BC中点，

则，，

所以.

故答案为：

16．求过点，且横纵截距的绝对值相等的直线方程__________.（最后结果都写成一般式）

【答案】或或

【分析】在横纵截距均为时直接得到直线方程；在横纵截距不为时，讨论截距同异号两种情况，采用待定系数法即得.

【详解】当横纵截距均为时，直线方程为，即；

当横纵截距不为时，

若横纵截距同号，则可设为：，

，

直线方程为；

若横纵截距异号，则可设为：，

，

直线方程为；

综上所述：所求直线方程为：或或.

故答案为：或或.

17．若点为直线上的动点，则的最小值为___________.

【答案】4

【分析】由题意，根据两点之间的距离公式，问题转化为点到直线上的点的最短距离，由点到直线的距离公式，可得答案.

【详解】解：由可化为，

转化为点到点的距离的平方，

因为点为直线上的动点，

由点到直线的距离为，

的最小值为4.

故答案为：.

四、解答题

18．菱形ABCD中，A（-4，7），C（2，-3），BC边所在直线过点P（3，-1）．求：

（1）AD边所在直线的方程；

（2）对角线BD所在直线的方程．

【答案】（1）2x-y+15=0； （2）3x-5y+13=0.

【分析】（1）利用相互平行的直线斜率相等、点斜式即可得出．

（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出

【详解】（1）kBC==2，∵AD∥BC，∴kAD=2，

∴直线AD方程为y-7=2（x+4），即2x-y+15=0．

（2）kAC==-，

∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD=-，

而AC中点（-1，2），也是BD的中点，

∴直线BD的方程为y-2=（x+1），即3x-5y+13=0．

【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率相等、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

19．如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．

(1)用，，表示向量；

(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)当时，

【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；

（2）设，，用，，表示向量，依题意可得，根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解．

【详解】(1)解：因为是中点，所以，

所以

；

(2)解：假设存在点，使，设，，

显然，，

因为，所以，

即，

，，，

即，

解得，所以当时，.

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，且

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若，，求平面APB和平面PBC夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件证明平面，再利用面面垂直的判定推理作答.

（2）取AD，BC的中点O，E，以点O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.

【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，，即，而，则，

因，即，，平面，则平面，又平面，

所以平面平面.

(2)分别取AD，BC中点O，E，连接PO，OE，因，即是平行四边形，则，

由（1）知平面，有平面，又，则有，

即两两垂直，以O为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

令，因，则，，

，令平面的一个法向量，

则，令，得，

令平面的一个法向量，则，令，得，

令面APB和平面PBC夹角为，于是得，

所以平面APB和平面PBC夹角的余弦值.

21．已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．

(1)试用k来表示点M和N的坐标；

(2)求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；

(3)当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．

【答案】(1)；.

(2)

(3)当时，，S取得最大值，最大值为.

【分析】（1）联立直线方程组可解得结果；

（2）利用两个三角形面积相减可得结果；

（3）换元，令，，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】(1)由已知得直线l斜率存在，设．

由，得；又，所以.

由，得．

(2).

(3)设，则．

，

当且仅当时，等号成立．

22．如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点.

(1)若是直线与平面的交点，试确定的值；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由可解得得到答案；

（2）设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出确定的位置，求出平面的法向量，

计算点到平面的距离，计算的面积，代入体积公式计算可得答案.

【详解】(1)取的中点，连接，则，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，设，则

设平面的法向量，

则，所以，取，

易知，所以，

解得，此时；

(2)设，则

则，

整理得，解得或（舍去），

，，设平面的法向量为，

则，所以，

取，又，

则点到平面的距离即点到平面的距离为

，

由已知条件，在中，，可得

所以，

.