2022甘孜州高二下学期学业质量统一监测期末统考数学（理）试题含解析

甘孜州2022学年学业质量统一监测期末统考

（高二理科）数学

总分： 150分

一、单项选择题5*12

1. 已知集合 ​， 集合​， 则​（    ）

A. ​ B. ​ C. 0 D. ​

【答案】A

【解析】

【分析】根据交集运算的概念，即可得答案.

【详解】因为集合 ​， 集合​，

所以.

故选：A

2. 已知 ​为虚数单位， 复数​， 则​（    ）

A. ​ B. ​ C. ​ D. ​

【答案】D

【解析】

【分析】由复数的除法法则求解即可

【详解】,

故选：D

3. 已知条件 ​解集， 条件​：函数​的定义域， 则​是​的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先求得条件p，q中x的范围，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.

【详解】因为，所以，即条件p：；

令，解得，即条件q：，

所以​是​的必要不充分条件，

故选：B

4. 双曲线的方程为 ​， 则该双曲线的离心率为（    ）

A. ​ B. ​

C. ​ D. ​

【答案】D

【解析】

【分析】利用双曲线方程，求出，，然后求解双曲线的离心率即可．

【详解】由双曲线方程得，，

则双曲线的离心率为.

故选：D.

5. 等差数列​的前​项和为​， 则（    ）

A. 42 B. 56 C. 63 D. 70

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的性质，可得的值，代入等差数列前n项和公式，即可得答案

【详解】因为为等差数列，

所以，解得，

所以.

故选：C

6. 若 ， 则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，利用诱导公式和二倍角公式，转化为求解.

【详解】因为，

所以，

，

故选：C

7. 若变量 ​满足约束条件​， 则​的最小值为（    ）

A. ​ B. ​ C. 0 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】作出可行域与直线并平移经过点时，取得的最小值，代入即可求解

【详解】作出变量 ​满足约束条件​可行域，如图：

作直线并平移经过点时，取得的最小值，

且最小值为，

故选：B

8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

【答案】D

【解析】

【分析】函数图像左右方向平移遵循“左加右减”原则.

【详解】由于把函数的图象向左平移个单位，

可得的图象，

故为了得到函数的图象，

只需把的图象上所有点向右平移个单位长度即可.

故选：D.

9. 函数的大致图像为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】函数是由函数向左平移1个单位得到的，而是偶函数，所以得的图像关于直线对称，再取值可判断出结果.

【详解】解：因为是由向左平移一个单位得到的，

因为，

所以函数为偶函数，图像关于轴对称，

所以的图像关于对称，故可排除A，D选项；

又当或时，，，

所以，故可排除C选项

.故选：B.

【点睛】此题考查函数图像的识别，利用了平移、奇偶性，函数值的变化情况，属于基础题.

10. 一个几何体的三视图如图所示， 若这个几何体的体积为 ， 则该几何体的外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的表面积．

【详解】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，

如图所示：

该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，

四棱锥的高即为

所以，

解得．

由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，

设四棱锥的外接球的半径为r，

所以，

解得，

所以外接球的表面积，

故选：C

11. 过点​的直线与圆​有一个交点是​点， 且​(其中​为 坐标原点）， 则直线​的斜率为（    ）

A. ​或​ B. ​或  ​ C. ​或​ D. ​或​

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知设出直线的方程，再利用余弦定理及同角三角函数的平方关系，结合点到直线的距离即可求解.

【详解】由题意可知，过点的斜率存在，设直线的方程为，

圆的圆心为，半径为，

在中，由余弦定理得,

即，解得，

在中，由余弦定理得.

所以.

所以圆心到直线的距离为

,即，解得或，

所以直线​的斜率为或.

故选：A.

12. 已知函数 ​， 若关于​的方程​有四个不相等实数根， 则实数​的取值范围是（    ）

A. ​ B. ​ C. ​ D. ​

【答案】D

【解析】

【分析】先作出的图象，由图象可得关于​的方程​有四个不相等实数根，令，则有两个不等的实根，且，进而，求解即可

【详解】当时，，，

令，解得；令，解得；

所以在递增，在递减，，

且当时，，

作出函数的图象如下：

关于​的方程​有四个不相等实数根，

令，则有两个不等的实根，

且，

又，

所以，

解得，

所以关于​的方程​有四个不相等实数根时，

故选：D

二、填空题5*4

13. 设函数​， 则​_________.

【答案】

【解析】

【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值.

【详解】由已知可得，则.

故答案为：.

14. 已知向量 ​， 若​， 则​与​夹角的余弦值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】先求得坐标，根据​ ，可得，即可得m值，代入求夹角公式，即可得答案.

【详解】由题意得，

因为​，

所以，解得，

则，

所以​与​夹角的余弦值.

故答案为：

15. 在​中，，​， 且​的面积为​， 则边长​为_________.

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦定理角化边和三角形面积公式可构造方程求得，利用余弦定理可求得结果.

【详解】由正弦定理得：，

，，即，解得：，，

由余弦定理得：，.

故答案为：.

16. 抛物线 ​的焦点为​， 直线​与抛物线分别交 于​两点（点​在第一象限）， 则​的值等于________.

【答案】##0.75

【解析】

【分析】由题意可知直线过焦点且倾斜角为，设，则 ，，求出，结合三角形面积公式即可求解

【详解】因为直线可化为，

所以过焦点且倾斜角为，

设，则 ，，

解得，，

代入得，，

所以，

故答案为：

三、解答题

17. 已知各项都为正数的等比数列 ​前​项和为​. 且满足​.

（1）求数列​的通项公式;

（2）设 ​， 求数列​的前​项和​.

【答案】（1）   

（2）​；

【解析】

【分析】（1）设等比数列 ​的公比为（），则由可求出，再由可求出，从而可求出，

（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法求出

【小问1详解】

设等比数列 ​的公比为（），

因为，所以，

得，，

解得或（舍去），

因为，所以，解得，

所以

【小问2详解】

由（1）得，

所以​

​

​

18. 为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会，普及大运知识，某校开展了“大运”知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在[80，100]内定义为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”

（1）求a的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；

（2）请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？

参考公式及数据: .

【答案】（1）​；   

（2）列联表见解析，没有

【解析】

【分析】（1）由各组的频率和为1可求出，求出成绩非优秀的频率，再乘以总人数可得成绩非优秀的人数，然后根据分层抽样的定义求出抽取的5名学生成绩优秀的人数和成绩非优秀的人数，再利用列举法求所求概率，

（2）根据题意完成列联表，然后根据公式求出，再与临界值表比较可得结论

【小问1详解】

由题可得 ​，

解得 ​，

由题可得， 这 100 名学生中成绩非优秀的有 ​名，

所以抽取的 5 名学生中成绩非优秀的有 ​名， 成绩优秀的有​名， 记成绩优秀的 3 名学生为​， 成绩非优秀的 2 名学生为​，

从这 5 名学生中随机抽取 2 名， 有 ​， 共 10 种情况，

其中这 2 名学生的成绩恰有一名优秀共有 6 种情况，

所以这 2 名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 ​；

【小问2详解】

补充完整的 ​列联表如下表所示：

则 ​的观测值​，

所以没有 ​把握认为答题成绩是否优秀与性别有关.

19. 如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.

（1）若为的中点， 证明：平面；

（2）若，，若二面角的大小为，试求的值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得解.

小问1详解】

证明：连接交于，连接，

因为四边形为矩形，为的中点，

又因为为的中点，则，

因为平面，平面，因此，平面.

【小问2详解】

解：由题设平面，四边形为矩形，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

平面，平面，，

所以，，

则、、、，

设，其中，

则，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，

易知平面的一个法向量为，

由题可得，

因为，解得，此时.

20. 已知椭圆 ​与​轴的正半轴交于点​， 且离 心率​.

（1）求椭圆 ​的方程;

（2）若直线 ​过点​与椭圆​交于​两点， 求​面积的最大值并求此时的直线方程.

【答案】（1）   

（2）​；

【解析】

【分析】（1）由题意，由离心率可得出，从而得出方程.

（2）由题意直线 ​的斜率不为 0 ，设 ​与椭圆方程联立，得出韦达定理，得出​面积的表达式，求出其最大值即可得出答案.

【小问1详解】

椭圆​与​轴的正半轴交于点​，则

，则

​椭圆 ​的方程为: ​

【小问2详解】

当直线 ​的斜率为 0 时，​三点共线， 显然不满足题意.

当直线 ​的斜率不为 0 时，

设 ​代入​，得到​

​设​

​

​

​

令 ​

令 ​， 在​单调递增，

​当​为最大

​， 此时​的方程为:​

21. 已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）存在；最小值为3

【解析】

【分析】（1）求导，然后分与讨论即可求解

（2）由题意可得恒成立，令，则由题意有，利用导数法求出的最大值即可求解

【小问1详解】

∵，

当，，

∴在单调递增

当时，，

令，得，得

∴在单调递增，在单调递减

综上：时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减；

【小问2详解】

∵，

∴，

∴，

∴

令，

∴

令，

∴单调递减，

∵

∵

∴，使得，即，

当，，，单调递增，

当，，，单调递减，

∴，

∵，，

∴，

∴m的最小值为3

22. 在直角坐标系 ​中， 直线​的参数方程为​(​为参数)， 在以​为极点，​轴非负半轴为极轴的极坐标系中， 曲线​的极坐标方程为​

（1）求直线 ​的普通方程与曲线​的直角坐标方程;

（2）若直线 ​与​轴的交点为​， 直线​与曲线​的交点为​， 求​的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由消参，可将参数方程化为普通方程，由极坐标与直角坐标之间的互化可将极坐标方程化为普通方程，（2）根据直线参数方程中参数的几何意义即可求弦长.

【小问1详解】

直线 ​的参数方程为​，

曲线 ​的极坐标方程为​，

，​即​，

曲线​的直角坐标方程​，

【小问2详解】

将直线 ​的参数方程为​

代入 ​， 得到​

​ 故