2023届北京市西城区高三一模数学试题（含答案）

西城区高三统一测试试卷

数学2023.3

本试卷共6页，150分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 在的展开式中，的系数为 （    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知为所在平面内一点，，则（    ）

A.  B.

C  D.

6. 函数是（    ）

A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为

C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为

7. 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：）

A.  B.

C.  D.

9. 设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 名学生参加某次测试，测试由道题组成．若一道题至少有名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有名学生成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（    ）

A.  B.

C  D.

第二部分（非选择题 共 110 分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11 复数，则__________________.

12. 已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．

13. 已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则____；的最小值为____．

14. 设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____．

15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．

给出下列四个结论：   

①的最小值为；

②四面体的体积为；

③有且仅有一条直线与垂直；

④存在点，，使为等边三角形．

其中所有正确结论的序号是____．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 如图，在中，，，平分交于点，．

（1）求的值；

（2）求的面积．

17. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：

从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．

（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项优秀率；

（2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；

（3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）

18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题

（1）求证：为的中点；

（2）求二面角的余弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

19. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，证明：在上单调递增；

（3）判断与的大小关系，并加以证明．

20. 已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设中点为，射线交椭圆于点．

（1）当直线与轴垂直时，求直线的方程；

（2）求的取值范围．

21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．

（1）判断集合是否具有性质？说明理由；

（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；

（3）若集合具有性质，证明：．