2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（广东B卷）（全解全析）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·全解全析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知集合为数集，集合表示点集，

二者元素类型不同，所以，

故选：D.

2．“”是“复数为纯虚数”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，

时是纯虚数，充分；是纯虚数，则，不必要．

故选：A

3．已知等差数列的前项和，若，则（      ）

A．150 B．160 C．170 D．与和公差有关

【答案】B

【解析】因为是等差数列，所以，

所以，所以.

故选：B

4．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可知，

∵点F在BE上，

∴，

∴．

∴，．

∴．

故选：C．

5．将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①将5名大学生分为4组，有种分组方法，

②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有种情况，

则有种分配方案；

故选：．

6．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ）

A．6 B．12 C． D．

【答案】D

【解析】对于椭圆有，

设，

则根据椭圆的定义得，

又，

解得，

.

故选：D.

7．若且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，得 ，

则，

因为 ，

因为，所以，故，

当且仅当，即时，等号成立，

故，

所以，所以的最小值是，

故选：B

8．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ）

A．f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数

C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，又，

则有，因为是奇函数，所以，

可得，即有与，

即，所以是周期为4的周期函数，

故也是周期为4的周期函数．

因为，所以，所以为偶函数．故错误；

由是奇函数，则，所以，

又，

所以，所以选项错误；

由得，所以选项错误；

因为，

，

所以，所以，

所以选项正确．

故选：.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的一个对称中心坐标为

C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

D．在区间上单调递减

【答案】ABD

【解析】对A，，

由周期公式可得,A正确；

对B，因为,故为对称中心，B正确；

对C，的图象向左平移个单位得到，C错误;

对D，当，，

根据正弦函数的图象与性质可知，在单调递减,故D正确.

故选：ABD.

10．设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l：（其中）分别与直线、交于C、D两点，则（    ）

A．时，l的倾斜角为

B．，点A、B到l的距离之和为定值

C．，使l与圆O无公共点

D．，恒有

【答案】BD

【解析】依题意，，

对于A：当时直线，即，

所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故A错误；

对于B：点到直线的距离，

点到直线的距离，

所以点、到直线的距离之和为，

因为，所以，所以，

即对，点、到直线的距离之和为定值，故B正确；

对于C：坐标原点到直线的距离，

所以直线与单位圆相切，即直线与单位圆必有一个交点，故C错误；

对于D：对于直线，令，解得，

令，解得，

即，，

所以，，

所以，所以，

即，恒有，故D正确；

故选：BD

11．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】因为在矩形中，，

又，，面，所以面，

又面，所以，

因为在矩形中，，所以，即，

因为，，，面，

所以面，

又在矩形中，，所以面，

又面，所以，

同时，易知在矩形中，，

对于A，在中，，

在中，，

在中，，

所以，故A正确；

对于B，在中，，

在中，，

又，且在中，为的斜边，则，

所以，故B错误；

对于C，在中，，

在中，，

又，

所以，故C正确；

对于D，在中，，

又，，，

所以，

所以，即，故D正确.

故选：ACD.

12．已知，恒成立，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．

C．恒成立 D．的最大值为

【答案】ACD

【解析】对B，令，则，恒成立等价为，恒成立.

单调递增，由，且

，单调递减；，单调递增.

又，∴，B错；

对A，，，A对；

对C，，令，由.

故，单调递减；，单调递增.

故，C对；

对D，，令，由.

故，单调递增；，单调递减.

故，D对.

故选：ACD.

三、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

13．在的展开式中，的系数为______．

【答案】

【解析】由含的项中对应的指数分别为，

所以，

对于中含的项为，

所以含的系数是.

故答案为：.

14．已知数列满足且，为数列的前n项和，则=________．

【答案】2026

【解析】由得，则，

则，所以数列是以3为周期的数列，

在中，令，得，得，得，

在中，令，得，得，得，

所以+

.

故答案为：

15．在三棱锥P-ABC中，，点M，N分别是PB，BC的中点，且，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________．

【答案】

【解析】因为，M是PB的中点，所以，

又平面PBC，

所以AM⊥平面PBC，又BC平面PBC，

所以，

又平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，又PB，AB平面PAB，

所以

在△ABC中，，

所以，

在△PAC中，，所以，所以，

取PC的中点O，又PA，

所以，即点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心，

因为，故外接球半径为，

设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，

因为MN是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，

故，即，得，

所以，

所以截面圆的面积为．

故答案为：.

16．已知双曲线：，圆：，在的第四象限部分取点P，过P作斜率为1的直线，若与交于不同的两点M，N，则的最小值为___________．

【答案】

【解析】设是圆的切线，为切点，

圆：的圆心为，半径为，

由圆的切割线定理可知：，

另一方面，由圆的切线性质可知：，

设直线的方程为，与圆的方程联立，得，

直线的方程为，与双曲线：联立，

，

，

令，，

设，

因为函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

故，

，

当时，函数有最小值，最小值为，

所以的最小值为，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

在锐角中，内角所对的边分别为，，．

(1)若，证明：；

(2)若，求的最小值．

【解析】（1）因为，所以．

又，所以，

所以，

所以，

两边同时除以可得，

所以．

（2）因为，所以，

所以，所以，．

又为锐角三角形，所以，

所以，即

．

令，则，

．

当，即时，，，

的最小值为8．

18．（12分）

党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机抽查了男女教职工各100名，得到如下数据：

(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？

(2)为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中，若第一支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.

附：

【解析】（1）零假设为：对党史知识的了解情况与性别无关.

根据列联表中的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分的理由说明不成立，则不能认为对党史知识的了解情况与性别有关；

（2）设事件A为“第二支部从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，

事件为“第一支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件为“第一支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，

事件为“第一支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，

则彼此互斥，且，

，

，

，

所求概率即是A发生的条件下发生的概率：

.

19．（12分）

在个不同数的排列中，若时（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序． 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数． 记排列的逆序数为，如排列21的逆序数，排列4321的逆序数．

(1)求，，并写出的表达式；

(2)令，证明，．

【解析】（1）根据题意得

故，．

（2）∵

∴．

又∵

∴

．

综上，．

20．（12分）

在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.

(1)证明：；

(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.

【解析】（1）取的中点为，连，，因为，则；

又为棱的中点，则为△的中位线，所以，

因为，则，则；

由于，平面，平面，

则平面，因为平面，所以.

（2）由（1）得，且平面平面，平面平面，平面，

则平面，又，

则以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

因为，，则，则，

则，，，，

因为，则，

则，，

设为平面的一个法向量，

则，令，则，，得，

又设点到平面的距离为d，

则，

则点到平面的距离为.

21．（12分）

设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线在两点切线交于点，当直线垂直轴时，面积为.

(1)求抛物线的方程；

(2)若，求直线的方程.

【解析】（1）由，得，则有 ，直线轴时，不妨设，

曲线在点处切线的斜率为，切线方程为： ，

同理切线的方程为：，

联立方程得， ，则，得抛物线的方程

（2）设直线方程：，，

与抛物线方程联立方程组得：，则有，

由，得，则有 ，所以，

切线方程： ，切线方程： ，联立得，

，，又，得，

又，，所以，

 ，

所以，则直线方程：或.

22．（12分）

已知函数．

(1)证明：函数在区间上有2个零点；

(2)若函数有两个极值点：，且．求证：（其中为自然对数的底数）.

【解析】（1）记函数，由，

则，所以函数在区间上单调递减，

又．根据零点存在定理，

存在时，，

即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

而，，

所以函数在区间上有一个零点，在区间上有一个零点，

故函数在区间上有2个零点．

（2）由函数有两个极值点，

则时，方程有两个不等实根．记，则，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

因此有极大值，且时，时，，

于是，且．

先证明，只要证，即证，

设，

则，因为，所以，

即函数在区间上单调递增，于是，

所以．

再证明．

先证当时，；当时，．

设，则，

于是，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因此，所以函数在区间上单调递增，而，

即当时，；当时，，

于是，当时，；

当时，，

设方程的两个根为，则，

即方程的两个根为，

于是

故．