黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第二次高考模拟数学试题(含答案)

2023年哈三中高三学年

第二次高考模拟考试数学试卷

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题（共60分）

（一）单项选择题（共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数，则（    ）

A．1 B． C． D．

3．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

4．已知命题，命题，则命题p是命题q的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

5．在的展开式中，常数项为（    ）

A．-1120 B．112 C．-112 D．1120

6．圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成。圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器。所谓高表测影法，通俗的说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化。垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为，，如图2，若影长之差尺，则表高AB为（    ）尺．

A．  B．

C．  D．

7．设是定义在R上的可导函数，的导函数为，且在R上恒成立，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，点P为此三棱锥各顶点所在球面上的一点，则点P到平面SAB的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有多项符题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9．点在函数的图象上，当，则可能等于（    ）

A．-1 B．-2 C．-3 D．0

10．己知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，x的取值范围为

C．函数的图象向右平移个单位长度后的一条对称轴方程为

D．函数与的图象关于直线对称

11．已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．当最大时，MN与BC所成的角为

C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等

D．若，则点N的轨迹长度为

12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（    ）

A．离心率e的取值范围为

B．存在点N，使得

C．当时，的最大值为

D．的最小值为1

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．己知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，则此抛物线的标准方程为______．

14．在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有______人．

（参考数据：，）

15．定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时即停止．设A表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则______．

16．有1000张从1开始依次编号的多米诺骨牌，从小到大排成一行，每次从中去掉处在奇数位置的牌，则最后剩下的一张牌是______号．

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）若，，求的面积．

18．（本题满分12分）

已知数列满足：，，设，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求证：．

19．（本题满分12分）

已知双曲线的右焦点F，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，．

（1）求此双曲线的离心率；

（2）若点F到此双曲线一条渐近线的距离为1，且以AB为直径的圆被x轴截得弦长为，求直线l方程．

20．（本题满分12分）

中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位。建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012-2016某市的地区生产总值统计如下：

（1）求出回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差；

（2）随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017-2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型、、，它们的分别为0.976、0.880和0.985，请根据的数值选择最好的回归模型预测一下2023年该市的地区生产总值；

（3）若2012-2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势．

参考公式：，；

21．（本题满分12分）

如图，三棱柱中，，，侧面为菱形

（1）求证：平面平面；

（2）若，，求二面角的正弦值．

22．（本题满分12分）

我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为．现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．

注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．

（1）求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；

（2）在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．

哈三中2022—2023学年度上学期

高三学年二模考试数学答案

13． 14．840 15．2 16．512

17．（1）120度 （2）

18．（1）

（2）由（1）得，∴

19．（1）

（2）或

20．（1），

（2）选用更好，预测的2023年该市的地区生产总值为17.773亿元

（3）逐年递增

21．

22．