2022届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三下学期第一次模拟考试 数学（理） PDF版含答案
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A | B | D | A | C | C | D | A | A | B | D | D |
- 14.182 15. 16.②③④
17.(1)
解：设该名学生的考核成绩优秀为事件，
由茎叶图中的数据可知，名同学中，有名同学的考核成绩为优秀，故. ……4分
(2)
解：由可得，
所以，考核成绩满足的学生中满足的人数为，
故随机变量的可能取值有、、、，
，，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，. ……10分
(3)
解：由可得，由茎叶图可知，满足的成绩有个，
所以，因此，可认为此次冰雪培训活动有效. ……12分
18.(1)
方案一：选条件①．
设等差数列的公差为，由，解得，所以．
因为，，所以当时，由，
得，即，所以．
当时，，整理得，所以数列是以2为首项，
为公比的等比数列，所以．
方案二：选条件②．
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，所以．
设等比数列的公比为，因为，
所以，
又，，所以，解得或（舍去），所以．
方案三：选条件③．
设等差数列的公差为，由，解得，
所以．因为，，，
所以当时，，即，解得，所以． ……6分
(2)
选条件①、②、③，过程相同，以下是具体过程：
由（1）知，，则，
所以
……12分
19.(1)
设，因为，所以，，过点A作AD⊥x轴于点D，则，，解得：，所以抛物线方程为. ……4分
(2)
设直线AB为，，由方程与联立得：，所以，即，且，，所以，，因为以AB为直径的圆经过点，所以，即，即，所以，所以，所以或，
当时，直线AB为过点P，此时与题干条件A，B都不与点P重合矛盾，不合题意，舍去；
当时，直线AB为，满足要求，所以，则，所以当时，最小，且最小值为11.
……12分
20.(1)等腰梯形中，，E为的中点，四边形是菱形，，
折叠后，，,，，
设，则是中点，连接，则，
又，平面； ……4分
(2)
取z中点，连接，
易得为等边三角形，则为等边三角形，
，则为等边三角形，，
设，则，则，
满足，，
所以可以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则,设，
，即，则可得，
则,
设平面的法向量为，
则，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
则，
解得（舍去）或. ……12分
21.（1）， ……1分
，时，；时，……2分
有极小值，无极大值 ……4分
（2）记，，
在上增，即时
证出 ……5分
又，所以要证明原式即证： ……6分
[法一]记
①时，，，
时恒成立，
证出时成立 ……8分
②时，，
在
记，；时
， ……9分
，要证即证：
记， ……10分
，，时，
时，，
……11分
……12分
[法二]记
……6分
记，
在 ……7分
记，
令；
……9分
……10分
记
……12分
[法三]等价于
前者取等，后者取等 ……7分
记
……12分
22.(1)消去中的，
得曲线的普通方程为，即，
由，，得曲线的极坐标方程为. ……4分
(2)曲线上两点，的极坐标分别为，，
把，代入，
得，，
显然，，所以，，
两式平方相加得. ……10分
23.(1)由已知得
当时，由得(舍去)；
当时，由得，∴；
当时，由得，∴．
综上可得的解集． ……5分
(2)由，即，
令，，，，
∴，
由，∴，∴．
由，∴，，∴． ……10分
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