中考培优竞赛专题经典讲义 第18讲 圆与相似

第18讲 圆与相似

模型讲解

【例题讲解】

例题1 如图，为⊙O的直径， C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长.

【解析】如图，连接BD、CD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°

∴BD＝＝＝，

∵弦AD平分∠BAC，

∴CD＝BD＝，

∴∠CBD＝∠DAB，

在△ABD和△BED中，

∴△ABD∽△BED，

∴＝，即＝

解得DE＝．

∴AE＝AD－DE＝5－＝.

例题2 如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，求CE的长．

【解析】∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∵BG⊥AC，

∴∠BGC＝∠ADC＝90°，

∵∠BCD＝∠ACD,

∴△ADC∽△BGC，

∴＝，

∴CG·AC＝DC·BC＝6×14＝84，

连接AE，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠EGC＝90°，

∵∠ACE＝∠ECG，

∴△CEG∽△CAE，

∴＝，

∴CE²＝CG·AC＝84，

∴CE＝．

【巩固练习】

1.如图，已知D为等腰三角形ABC的底边BC上的任意一点，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，连接BE、CE，则图中相似三角形共有   

A．8对   B．6对   C．4对   D．2对

2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D，E是OB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G．若AC＝，则AG·AF＝               .

3、如图，已知半圆的直径AB＝10，点C在半圆上，CB＝6，O为AB的中点，OD⊥AB交AC于点D，则OD＝            .

4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E，若BC＝，CD＝，则＝     ．

5、如图，已知△ABC内接于⊙0，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点，如果BD∥CF，BC＝2，则CD＝               .

（第5题）             （第6题）               （第7题）

6、如图，已知⊙0的半径为4，AB＝6，锐角△ABC内接于⊙0，BD⊥AC于点D，OE⊥AB

于点M，则sin∠CBD的值等于              .

7、如图，AD是圆内接△ABC的高，AE是OO的直径，AB＝，AC＝，则AE·AD＝               .

8、如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB＝AC，BD平分∠ABC交⊙0于点D，连接AD、CD.作AE⊥BD于点E，若AE＝3，DE＝1，则△ACD的面积是             .

9、如图：M、N分别为直角坐标系x、y正半轴上两点，过M、N和原点0三点的圆和直线y＝x交于点P，

（1）试判断△PMN的形状；

（2）连接MN，设直线y＝x交MN于点G，若PG:PN＝3：4，△PGN的周长为6，求△PON的周长.

10、如图，PB为⊙O0的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC、AF。

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF、OD、OP之间的数量关系，并加以证明；

（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长.

11、如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C.

（1）求证：∠ACD＝∠B；

（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；

①求tan∠CFE的值；

②若AC＝3，BC＝4，求CE的长.

12、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K.

（1）求证：KE＝GE；

（2）若KG2＝KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE＝，AK＝2，求FG的长.

参考答案

1.答案：B.

2.答案：8.

3.答案：.

4.答案：.

【解析】由D是劣弧的中点，得

，

又∵∠ADB＝∠EDA，

∴△ABD∽△EAD，

∴＝，

∴AD²＝DE·DB；

由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC²＝DE·DB，

∵CB是直径，

∴△BCD是直角三角形．

∴BD＝＝＝

由DC²＝DE·DB得，＝DE，

解得DE＝．

5.答案：.

6.答案：.

7.答案：3.

8.答案：.

9.答案：（1）解：△PMN是等腰直角三角形，理由：∵y＝x，

∴∠PON＝∠FOM＝45°.

∴PN＝PM.

∴四边形ONPM内接于圆，

∴∠MON＋∠NPM＝180°.

∴∠MON＝90°，

∴∠NPM＝90°.

即△PMN是等腰直角三角形。

（2）△PMN是等腰直角三角形，

∴∠PMN＝∠PNM

∵∠OPN＝∠OPN，∴△PNG∽APON.

△PNG的周长：△PON的周长＝PG:PN＝3：4.

∴△PNG的周长＝6，∴△PON的周长＝8.

10.答案：（1）如图所示，连接0B，因为PB是⊙O切线，所以∠PBO＝90°，因为0A＝0B，BA⊥PO于D，所以AD＝BD，∠P0A＝∠P0B，所以在△PA0和△PB0中，OA＝OB,∠P0A＝∠P0B，PO＝PO，△PAO≌△PBO（SAS），所以∠PAO＝∠PBO＝90°，所以OA⊥PA，直线PA为⊙O切线。

（2）EF2＝4ODOP。因为∠PAO＝∠PDA＝90°，所以∠OPA＋∠AOP＝90°，且∠OAD＋∠AOD＝90°，则∠OAD＝∠OPA，因为∠AOD＝∠POA，所以△OAD∽△OPA，所以，即OA2＝ODOP，又因为EF＝2OA，所以EF2＝4ODOP.

（3）因为OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，由三角形中位线定理可知，0D＝BC＝3，设AD＝x，因为tan∠F＝，所以FD＝2x，0A＝OF＝2x－3，在Rt△AOD中，由勾股定理得（2x－3）2＝x2＋3，解得x1＝4或x2＝0（舍去），所以AD＝4，OA＝2x－3＝5，因为AC是⊙O直径，所以∠ABC＝90°，又因为AC＝2OA＝10，BC＝6，所以cos∠ACB＝，因为OA2＝ODOP，所以3（PE＋5）＝25，所以PE＝.

11.答案：（1）证明：如图1中，连接OC.

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵CD是⊙O切线，∴.OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，

∵∠DCA＋∠OCA＝90°，

∵AB是直径，

∴∠CAB＋∠B＝90°，

∴∠ACD ＝∠B.

(2) 在RT△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，由勾股定理得AB＝5，

∵∠CDA＝∠BDC，∠DCA＝∠B，

∴△DCA∽△DBC，

∴，设DC＝3k，DB＝4K,

∵CD2＝DA·DB，

∴9k2＝（4k－5）4k，

∴k＝,∴CD＝,DB＝

∵∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠B，

∴△DCE∽△DBF，∴,设EC＝CF＝x,∴ ,∴x＝,∴CE＝.

12.答案：（1）由∠KGE＝∠AKH＝∠GKE可证KE＝GE

（2）由△GKD∽△EGK可证得KG 2＝KDGE

（3）FG＝.