2023年黑龙江省牡丹江十四中中考数学模拟试卷（含解析）

2023年黑龙江省牡丹江十四中中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形既是轴对称又是中心对称的图形是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  点在第二象限，且到轴、轴的距离分别为，，则点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母所代表的正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  三角形的两边长分别为，，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线必定经过点(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图是由个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，则这个几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是和，则当时，的取值范围是(    )

A. 或 B.
C. 或 D.

10.  某商场将一件玩具按进价提高后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍获利，则这件玩具销售时打的折扣是(    )

A. 折 B. 折 C. 折 D. 折

11.  如图，为的一个内接三角形，过点作的切线与延长线交于点，连接，已知，则(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图是小明完成的作法是：取的直径，在上任取一点引弦当点在半圆上移动时点不与、重合，的平分线与的交点必(    )

A. 平分弧
B. 三等分弧
C. 到点和直径的距离相等
D. 到点和点的距离相等

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13.  据统计，自月日以来，全市进行核酸检测超过人次，将用科学记数法表示应为______．

14.  是等腰三角形，若有一个角等于，则另两个角度数分别为______．

15.  已知平行四边形的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点，点，，则点，的坐标分别为______．

16.  把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为______．

17.  为了解家庭丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班研究性学习小组的六位同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量．结果如下单位：个：，，，，，若该班有名学生，请你估算本周全班同学的家共丢弃塑料袋______ 个．

18.  如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图；如此继续“生长”下去，则第次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为        ．

19.  如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且连接，则周长的最小值是______．

20.  直线与直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与轴的交点为分别为、，以为边向左作正方形，则正方形的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先简化，再求值：，其中．

22.  本小题分
已知二次函数
求证：无论取任何实数时，该函数图象与轴总有交点；
如果该函数的图象与轴交点的横坐标均为整数，且为整数，求值．

23.  本小题分
某校为了了解八年级学生体育水平的达标情况，随机抽取该校八年级若干名学生进行了体育测试，将测试成绩按规定由高到底分为、、、四个等级，并绘制了如下统计图：

根据以上信息，解答下列问题：
补全条形统计图；
若该校八年级共有名学生，估计该校八年级学生体育水平达标级及级以上的人数．

24.  本小题分
据悉，上海市发改委在今年举行了一次居民用水价格调整听证会，会上将两个方案方案一、方案二提供听证如图，射线、射线分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费元与每户每月的用水量立方米之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多元；方案二如表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为：：精确到元后．

写出现行的用水价是每立方米多少元？
求图中的值和射线所对应的函数解析式，并写出定义域；
若小明家某月的用水量是立方米，请分别写出三种情况下现行的、方案一和方案二该月的水费用的代数式表示；
小明家最近个月来的每月用水量的频数分布直方图如图所示，估计小明会赞同采用哪个方案？请说明理由．
 

25.  本小题分
年月日时，四川省芦山县发生级地震，某市派出抢险救灾工程队赶芦山支援，工程队承担了米道路抢修任务，为了让救灾人员和物资尽快运抵灾区，实际施工速度比原计划每小时多修米，结果提前小时完成，求原计划每小时抢修道路多少米？

26.  本小题分
如图，在中，，，点为一个动点，且点到点的距离为，连接，，作，使．
求证：≌；
求证：；
直接写出最大和最小值；
点在直线上时，求的长．

27.  本小题分
已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，另有一点．
求一次函数解析式；
联结，点是反比例函数的第一象限图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为如果与相似，求点坐标；
联结，求的正弦值．

28.  本小题分
在中，，是中线，，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点．

如图，若，求证：；
如图，在绕点旋转的过程中，试证明恒成立；
若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，原式计算正确，故本选项正确；
B、，原式计算错误，故本选项错误；
C、，原式计算错误，故本选项错误；
D、，原式计算错误，故本选项错误．
故选A．
结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法等运算，然后选择正确答案．
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：到轴、轴的距离分别为，，
的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为，
点在第二象限，
的坐标为．
故选：．
可先判断出点的横纵坐标的绝对值，进而根据所在象限可得坐标．
考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，
由已知可得，，
，
是等边三角形，
，
故选：．
根据题意和等边三角形的判定，可以得到的长．
本题考查等边三角形的判定与性质、与圆相关的知识，解答本题的关键是明确题意，求出的形状．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【解答】
解：由勾股定理得：字母所代表的正方形的面积．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：设第三条边长为，
三角形是直角三角形，
可得，或，
解得或．
故选C．
根据勾股定理的逆定理，可设第三条边长为，如果满足或，即为直角三角形，解出的值即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为，
把代入得，
选项A不符合题意．
把代入解析式得，
抛物线经过点，选项B符合题意．
把代入解析式得，
选项C不符合题意．
把代入解析式得，
选项D不符合题意．
故选：．
先求出平移后的函数解析式，然后将选项各点横坐标代入求解．
本题考查二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数图象的平移规律，掌握二次函数与方程的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：这个几何体的左视图为：

故选：．
根据左视图的定义画出图形即可．
本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，
当时，，，
；
当时，直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是和
要使，则直线要在反比例函数上面，
的取值范围是；
综上所述的取值范围是或．
故选：．
根据直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标，即可得出结论．
本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，掌握一次函数与反比例函数图象相关知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设这件玩具的进价为元，打了折，依题意有
 ，
解得：．
答：这件玩具销售时打的折扣是折．
故选：．
设这件玩具的进价为元，标价为元，再设打了折，再由打折销售仍获利，可得出方程，解出即可．
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：切于，
，
，
，
，
，
故选：．
根据切线性质求出，求出，根据圆周角定理求出即可．
本题考查了切线的性质和圆周角定理，能根据切线的性质求出是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设的平分线与的交点为，连接，，，，，，，有弧弧，所以点是弧的中点．
故选：．
先求出，再利用内错角相等，两直线平行的，再利用角的平分线的性质可解．
本题利用了：、等边对等角，、内错角相等，两直线平行，、角的平分线的性质求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

14.【答案】，或， 

【解析】解：分类讨论：
若等腰三角形的顶角为时，另外两个内角；
若等腰三角形的底角为时，它的另外一个底角为，顶角为，
故答案为：，或，．
已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，能分类讨论是解决问题的关键．
 

15.【答案】， 

【解析】解：由题意知：点与点、点与点关于原点对称，
点，的坐标分别为，，
点，的坐标分别是，，
故答案为：，．
已知平行四边形两条对角线的交点坐标是坐标系的原点，平行四边形两条对角线相互平分，所以点与点、点与点关于原点对称，由于已知点，的坐标，故可求得，的坐标．
本题考查平行四边形的性质与点的坐标的表示、解题的关键是掌握关于原点对称的点的特征，已知点，则其关于原点对称的点的坐标为．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
向右平移个单位，再向下平移个单位后的顶点坐标是．
所得抛物线解析式是．
故答案为：．
求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：个，个．
先求出六位同学的家庭一共丢弃塑料袋数量，进而求出每个家庭丢弃塑料袋的平均数，即可认为是本周全班同学的家平均丢弃塑料袋的平均数，然后乘以即可．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
 

18.【答案】 

【解析】解：生长之前面积设为，第次“生长”后的面积为，
，
，
，
，
，
当时，；
故答案为：．
运用归纳的方法，根据勾股定理，先求出前几次的这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，然后找到变化的规律，猜测第次的这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，从而获解．
此题考查图形的变化规律、勾股定理，正确理解题中图形的变化规律、准确用代数式表示规律是解答此题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，三点共线，
此时的周长最小．
，
，即，
，
周长的最小值为：．
故答案为：．
如图，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，，，，三点共线，此时的周长最小．
本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：，令，则，故点
同理点，故AB，
则正方形的面积，
故答案为．
针对于，令，则，故点，同理点，故AB，即可求解．
本题考查的是两条直线相交或平行问题，主要考查函数与系数的关系，求出点、的坐标即可求解．
 

21.【答案】解：


，
当时，
原式． 

【解析】先对题目中的式子化简，再将的值代入即可解答本题．
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
 

22.【答案】证明：根据题意得，
，
无论取任何实数时，该函数图象与轴总有交点；
解：当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
该函数的图象与轴交点的横坐标均为整数，且为整数，
或． 

【解析】利用二次函数的定义得到，然后计算判别式的值得到，从而得到结论；
解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，然后利用该函数的图象与轴交点的横坐标均为整数，且为整数确定的值．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

23.【答案】解：抽查人数：人，
达到级的人数：人，
达到级的人数：人，
补图如下：


根据题意得：
人，
答：该校半年及学生达标人数约为人． 

【解析】根据级的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以级所占的百分比，求出级的人数，再用总人数减去、、级的人数，求出级的人数，从而补全统计图；
用总人数乘以级及级以上的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】解：现行的用水价为元立方米；

因为方案一的用水价元立方米，
所以，
设的解析式为，则，
所以，
所以；

现行的情况下：，
方案一的情况下：，
因为第一、二、三级的用水价格比为：：，
所以元立方米，
方案二的情况下：当时，，
当时，，
当时，；

估计小明赞同方案一，
因为小明家的平均月用水量超过了立方米，
此时方案一的水价元方案二的水价元，
所以，他可能会赞同方案一．
注：只要理由有道理，都得分 

【解析】用水单价用水费用水量；
的值方案单价用水量；
现行的、方案一是正比例关系，方案二要分情况计算；
计算出平均用水量就可以进行判断出那一方案更好．
此题考查的知识点是一次函数的应用，本题信息量比较大，仔细审题，理清题中各种量的关系十分重要．
 

25.【答案】解：设原计划每小时抢修道路米，由题意得：
，
解得：，，
经检验：，，都是原分式方程的解，
不合题意，舍去，
答：原计划每小时抢修道路米． 

【解析】首先设原计划每小时抢修道路米，则实际施工速度为每小时抢修道路米，根据题意可得等量关系：原计划修米道路所用时间实际修米道路所用时间小时，根据等量关系，列出方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意解出分式方程后要进行检验．
 

26.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：如图，设，相交于点，，相交于点，
由可知，≌，
，
在和中，，，
，
；
解：在中，，，
，
点到点的距离为，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
当点在直线上时，的长取得最值，最小值为，最大值为；
解：当点在边上时，在中，，，
由勾股定理求得；
当点在延长线上时，在中，，，
由勾股定理求得；
故BD的长为或． 

【解析】由题意可知，，继而可由得到≌；
由可知，≌，所以，根据余角的性质，可得；
由点到点的距离为，可得点在以点为圆心，为半径的圆上，所以当点在直线上时，的长取得最值，再根据的长度可得出结论；
根据题意，需要分情况讨论：当点在边上时，当点在延长线上时，再根据勾股定理可得出结论．
本题主要考查全等三角形的性质与判定，圆的性质，勾股定理等相关内容，关键是得出点在以点为圆心，为半径的圆上．
 

27.【答案】解：
把，代入可得
，解得，
一次函数解析式为；
设点坐标为，
，，
当和时是有或，
当时，则，
，解得或舍去，
点坐标为；
当时，则，
，解得或舍去，
点坐标为；
综上可得点坐标为或；
作交于，如图，

，，，
，
，
，
，
在中，． 

【解析】把、两点的坐标代入可求得一次函数解析式；
可设出点坐标为，由和相似可知有两种情况，当时，利用两角的正切值相等，可得到关于的方程，可求得的值，可得点坐标；当时，同理可求得点坐标；
作于点，由的面积可求得的长，且可求得的长，在中，可求得的正弦值．
本题为反比例函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、三角函数定义、分类讨论思想等知识点．在中注意分两种情况是解题的关键，在中构造直角三角形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
 

28.【答案】证明：，，是中线，
，，
，
在和中，，
≌
；
证明：，
，
，
，
，
，，
∽，
，
；
解：过点作于，


，
，
由可知，，
，
，，
∽，
，即，
解得，，
由勾股定理得，． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质得到，证明≌，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，整理即可证明结论；
作，根据等腰直角三角形的性质求出，由的结论求出，证明∽，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．