2022-2023学年湖北省鄂州市鄂城区九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省鄂州市鄂城区九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省鄂州市鄂城区九年级（下）第一次月考数学试卷副标题题号一二三总分得分    一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  (    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面几个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(    )A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华4.  若一组数据，，，，的众数为，则这组数据的中位数为(    )A.  B.  C.  D. 5.  在中，用尺规作图，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和作直线交于点，交于点，连接则下列结论不一定正确的是(    )
A.  B.
C.  D. 6.  观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，若，用含的式子表示这组数据的和是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，点坐标为，直线与坐标轴交于点，，连接，如果，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 8.  若数使关于的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是(    )A.  B.  C.  D. 9.  小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：
；；；；．
你认为其中正确信息的个数有(    )A. 个
B. 个
C. 个
D. 个10.  如图，正方形的边长是，点是边上的一动点，连接，过点作于，点是边上另一动点，则的最小值为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  的算术平方根是______．12.  若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______．13.  若实数、满足，，则的值是        ．14.  如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集为______．
 15.  如图，反比例函数的图象经过，两点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接，连接交于点，若，四边形的面积为，则的值为______．
 16.  如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点在上，且，，相交于点，则的面积是______ ．
 三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，满足．18.  本小题分
为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动每人只限一项的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
在这次调查中，一共抽查了______ 名学生，其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为______ 扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为______ 度．
请你补全条形统计图．
若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．
 19.  本小题分
小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为已知点离地面的高度米，，且、、三点在同一直线上．
求树的高度；
求食堂的高度．
20.  本小题分
如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于．
求证：≌；
若，，求图中阴影部分的面积．
21.  本小题分
小雪和小松分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行小雪开始跑步，中途在某地改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，小雪先出发分钟后，小松才骑自行车匀速回家小雪到达图书馆恰好用了分钟两人之间的距离与小雪离开出发地的时间之间的函数图象如图所示，请根据图象解答下列问题：
小雪跑步的速度为多少米分？
小松骑自行车的速度为米分？
当小松到家时，小雪离图书馆的距离为多少米？
22.  本小题分
如图，在中，，是的角平分线以为圆心，为半径作．
求证：是的切线．
已知交于点，延长交于点，，求的值．
在的条件下，设的半径为，求的长．
23.  本小题分
问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论如图，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．

尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图证明；
基础训练：如图，在中，，是边上一点连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处若，，求的长；
拓展升华：如图，中，，，为的角平分线，的中垂线交延长线于，当时，求的长．24.  本小题分
小王在学习人教版课本第二十七章后，进一步开展探究活动：如图，在正方形中，点是边上的一个动点点与点，不重合，连接，过点作于点，交于点．

探究如图，很容易发现线段与之间的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
探究如图，当点运动到中点时，连接，求证：；
探究如图，在的条件下，求证：；
探究如图，在的条件下，过点作于点，分别交，于点，，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
故选C．
根据有理数的乘方的定义解答．
本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、应为；
B、，正确；
C、应为；
D、应为．
故选：．
把四个式子展开，比较计算结果即可．
本题考查了合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式的乘法的法则，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
 3.【答案】 【解析】解：“中”可以看做是轴对称图形，其他选项都不能看作轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的定义逐一判断选项，即可．
本题主要考查轴对称图形，掌握“沿一条直线对折，能够完全重合的图形是轴对称图形”，是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：数据，，，，的众数为，
，
则这组数据为、、、、，
中位数为，
故选：．
根据众数的定义可得的值，再依据中位数的定义即可得答案．
本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．
 5.【答案】 【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，
，，，
故选项B，，D正确，
故选：．
利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 6.【答案】 【解析】解：由题意，观察规律得知：
因为，
所以




．
故选：．
根据已知条件和，将按一定规律排列的一组数：，，，，，，求和，即可用含的式子表示这组数据的和．
本题考查了规律型数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
 7.【答案】 【解析】解：直线与坐标轴交于点，，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，，
，
，，
，
即，
解得或舍去，
故选：．
由直线与坐标轴交于点，，得点的坐标为，点的坐标为，由点的坐标为，，用勾股定理列出方程求出的值．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理列出方程求．
 8.【答案】 【解析】解：，
解得，
解得，
不等式组的解集是．
仅有三个整数解，

，

．

，
，
又有整数解，
或，
所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
根据不等式的解集，可得的范围，根据方程的解，可得的值，根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出的值是解题关键．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：如图，抛物线开口方向向下，
，
对称轴，
，
，
故正确；
如图，当时，，
即，
故正确；
如图，当时，
，
，
即，
，
故正确；
如图，当时，，
即，
，
故正确；
如图，对称轴，
则，
故正确．
综上所述，正确的结论是，共个．
故选D．
   10.【答案】 【解析】解：如图：

取点关于直线的对称点以中点为圆心，为半径画半圆．
连接交于点，交半圆于点，连连并延长交于点．
由以上作图可知，于．
由两点之间线段最短可知，此时最小．
，，
，
，
的最小值为．
故选：．
作关于的对称线段，以中的为圆心作半圆，连分别交及半圆于、将转化为找到最小值．
本题考查线段和的最小值问题，将线段之和转化为固定两点之间的线段和是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算的值．
首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】
解：因为，
所以的算术平方根是．
故答案为：．  12.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
【解答】解：设母线长为，则 
解得： 
故答案为．  13.【答案】 【解析】解：，
，，，
，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
由题意可知，是方程的两个实数根，可得，据此即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：不等式化为或，
利用函数图象得为无解，的解集为，
所以不等式的解集为．
故答案为．
先把不等式化为或，然后利用函数图象分别解两个不等式组．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 15.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．本题可以根据与相似比为：求得的面积，进而得到的值．
先设点坐标为，根据平行线分线段成比例定理，求得梯形的上下底边长与高，再根据四边形的面积求得的值，最后计算的值．
【解答】
解：设点坐标为，则，，
轴，轴，
，
，
，，
四边形的面积为，
，即，
，
将代入反比例函数，得
，
故答案为．  16.【答案】 【解析】解：作于点，作于点，如右图所示，
正方形的边长为，点是的中点，点在上，且，
，，，
，，
，
∽，
，
设，则，，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
的面积是：，
故答案为：．
根据正方形的性质和相似三角形的性质，可以得到的长，然后通过图形可知，的面积的面积的面积，代入数据计算即可．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想解答．
 17.【答案】解：原式




，
，
，
原式
． 【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出、的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 18.【答案】，，；
补全统计图如图：

画树状图如下：

共有种等可能结果，其中恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的有种结果，
故恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率是：． 【解析】解：一共抽查学生数为：，
“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为：；
喜欢戏曲的人数：人，
扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为：，
故答案为：，，．

见答案；

见答案．
【分析】
用喜欢声乐的人数除以所占的百分比，进行计算即可得解；用喜欢舞蹈的人数除以被抽查的总人数即可；求出喜欢戏曲的人数，用戏曲人数所占比例乘以可得；
由中求得的戏曲人数，补全统计图即可；
画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  19.【答案】解：如图，设，
，
，
，
，
又，，

由可得，
解得：，
树的高度为米；

延长交延长线于点，则，

由知，，
，
，且，
，
，
食堂的高度为米． 【解析】设，可得，从而得，再求出、，根据可得关于的方程，解之可得；
延长交延长线于点，知，由得、，根据且可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．
 20.【答案】解：四边形是矩形，
，，
将矩形沿对角线翻折，点落在点处，
，，
，，
在与中，，
≌；
，，
，，
≌，
，，
，
即，
，
，
图中阴影部分的面积． 【解析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 21.【答案】解：由函数图象可知小雪跑步分钟的路程为，
小雪跑步的速度为；
由得小雪步行的速度为，
设小雪在第分钟改为步行，
，
解得，
由函数图象可知，当第分钟时，小雪改为步行，此时两人相距，
小松骑车的速度为；
由得小松到家的时间为，
小雪离图书馆的距离为． 【解析】由函数图象可知小雪跑步分钟的路程为米，即可根据路程速度时间求出答案；
先求出小雪步行的速度，然后设小雪在第分钟改为步行，根据小雪第分钟到达图书馆建立方程求出的值，再由函数图象可知小雪改为步行时两人相距求出小松骑车的速度即可；
先求出小松到家的时间，再根据路程速度时间求出答案即可．
本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
 22.【答案】解：如图，过点作于点，
平分，
，，
，
是的切线；

如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
由可知：，
设，，
∽，
，
，
，
解得：或不合题意，舍去，
，，
由可知：，
，
，
∽，
，
设，
，
，
在中，
，
，
解得：或不合题意，舍去，
． 【解析】由于题目没有说明直线与有交点，所以过点作于点，然后证明即可；
连接，先求证，然后可知∽，所以，而于是得到结论；
由可知，，所以可求出和的长度，由可知，∽，所以，然后利用勾股定理即可求得的长度．
本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明∽本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．
 23.【答案】证明：，
，，
∽，
，
是的角平分线，
，
又，
，
，
；
解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
由知，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为的角平分线，
，，
，，，
，
，
的中垂线交延长线于，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
． 【解析】根据平行线的性质易证∽，根据相似三角形的性质及角平分线的概念可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证；
由折叠的性质得出，，由知，，由勾股定理求出的值即可得出答案；
根据可得，从而求得，再根据中垂线、三角形外角以及等量代换可知，然后可得出∽，最后根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定及性质、角平分线、中垂线、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 24.【答案】解：，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：如图，过点作于，

设，
点是的中点，
，
，
在中，根据面积相等，得，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，
，
，，
≌，
；
证明：，，
，即，
，
由知≌，
，
，
由知≌，
，
，
解：如图，过点作于，

，
，
在中，，
，
，，
，
∽，
，
，
在中，，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
． 【解析】利用证明≌，即可得出；
过点作于，设，在中利用面积法求出，利用证明≌，推出，进而得出，再利用证明≌，即可推出；
先证，推出，根据≌推出，根据≌推出，等量代换可得；
先利用面积法求出，再利用勾股定理求出，再证∽，推出，可得，通过证明∽得出，，进而求出，即可求的值．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用等面积法求三角形的高等知识点，有一定难度，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用上述知识．