河南省许昌、济源、洛阳、平顶山四市2023届高三第三次质量检测理数试题

许济洛平2022—2023学年高三第三次质量检测

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．已知复数，若为纯虚数，则（    ）、

A． B． C． D．

3．若如图所示的程序框图输出的结果为，则图中空白框中应填入

A． B． C． D．

4．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（    ）

A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”

B．从2日到5日空气质量越来越好

C．这14天中空气质量指数的中位数是214

D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日

5．在某次活动中将5名志愿者全部分配到3个展区提供服务，要求每个展区至少分配一人，每名志愿者只分配到一个展区，则甲乙两名志愿者在同一展区的不同分配方案共有（    ）

A．72种 B．54种 C．36种 D．18种

6．已知抛物线C：的焦点为F，A为抛物线C上的点，线段AF的垂直平分线经过点，则（    ）

A． B． C． D．

7．蒙特卡洛方法是第二次世界大战时期兴起和发展起来的，它的代表人物是冯·诺依曼，这种方法在物理、化学．生物，社会学等领域中都得到了广泛的应用．在概率统计中我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负．若每局比赛甲获胜的的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用随机模拟的方法估计甲最终赢得比赛的概率，由计算机随机产生之间的随机数，约定出现随机数0、1或2时表示一局比赛甲获胜，现产生了20组随机数如下：312  012  311  233  003  342 414  221  041  231  423  332  401  430  014  321  223  040  203  243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（    ）

A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.648

8．已知函数的图像如图所示，则ω的值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

10．在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为100π，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

11．若对任意的，，且，，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知棱长为2．的正方体中，M，N分别为棱，的中点，P为线段D上的一个动点，有下述四个结论：

①直线MN与所成的角的余弦值为       ②平面BMN截正方体所得截面的面积为

③点B到平面PAC的最大距离为             ④存在点P，使得平面BMN

则正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则______．

14．的展开式中常数项为______（用数字作答）．

15．双曲线E：的左，右焦点分别为，，以为圆心，为半径作圆，过作圆的切线，切点为T．延长交E的左支于P点，若M为线段的中点，且，则双曲线E的离心率为______．

16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，的平分线交BC于D．当的面积最大时，AD的长为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（─）必考题：共60分．

17．（12分）

某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况，随机抽查了150名学生，并统计出他们在家的锻炼时长，得到频率分布直方图如图所示．

（1）求a的值，并估计锻炼时长的平均数（同组数据用该组区间的中点值代替）；

（2）从锻炼时长分布在，，，的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生，再从这7名学生中随机抽出3人，记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

18．（12分）已知等比数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（12分）

如图，正三棱柱中，，M，N分别为棱BC，的中点，P为AM上的一点，过P，，三点的平面交AB，AC于点E，F．

（1）证明：平面平面；

（2）若平面与平面，所成锐二面角大小为，求的值．

20．（12分）

已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线BP，BQ分别交直线于E，F两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）

已知函数，．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）当时，，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．

23．[选修45：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的最小值为2，且，求的最小值．

23高三三模理科数学参考答案

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．3 14．7 15． 16．

三、解答题：（共70分）

17．解：（1）．

解得

样本数据在，，，，，的概率分别为0.06，0.10，0.12，0.36，0.24，0.12．

则平均值为

（2）20分钟到60分钟中各组的频率比为．

所以应抽人，抽取人，抽取人，抽取人．

∴X的所有可能取值为0，1，2，3．

，，

，．

∴X分布列为

∴．

18．解：（1）

①-②得

由，（且），令，，．

为等比数列，则

则此时数列的公比为，，．

（2）．

              ①

     ②

②-①得

整理得．

19．

（1）证明：∵为正三棱柱，∴平面

又平面，∴．

又N为正三角形边的中点，∴

，∴平面．

平面．

∴平面平面．

（2）解：以M为原点，MB所在直线为x轴，AM所在直线为y轴，MN所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

，由（1）知平面，

平面的法向量为．

设，则，∴

∵，∴，∴，∴

∴，．

设平面的法向量为

令，则，，∴．

∴

解得．

点P位于线段AM上靠近点A的处．

20．解：（1）设椭圆C的方程为（，，且），

因为椭圆C过点与点，

则有，解得．

所以椭圆C的标准方程为﹒

（2）设直线l：，，，

由，得，

即，则，，

直线BP，BQ的方程分别为，，

令，则，，

则，

，

所以

．

因为，所以，，

即的取值范围为，

所以存在最小值，且最小值为1．

21．解．（1）当时，，∴，

则切点坐标为．

，则切线斜率．

切线方程为，整理得，

（2），

记，．

①当时，，在上为增函数，成立；

②当时，，则，即，

∴在上为增函数，成立；

③当时，函数在上为减函数，，在上有且仅有一根，且当时，，则，为增函数，此时；

当时，，则，为减函数，

构造函数，

，为上的减函数，，则．

．

则．

即存在使得，此种情况不成立；

当时，函数在上为增函数，．

④当，即时，，即，

∴在上为增函数，恒成立；

⑤当，即时，，在上有且仅有一根，且当时，，则，为减函数，，不成立；

综上讨论，实数a的取值范围为．

22．解：（1）由题意得直线l的普通方程为，

由

得曲线C的直角坐标方程为，

即．

（2）直线l的参数方程可化为：（t参考），

将其代入曲线C的直角坐标方程为，可得，

设A，B的对应的参数分别为，，

则，，所以，，

所以．

23．解：（1）当时，所求不等式可化为，

当时，所求不等式可化为，解得，即，

当时，所求不等式可化为，恒成立，即，

当时，所求不等式可化为，解得，即．

综上，所求不等式的解集为．

（2）因为，所以，即，

，所以，

所以是，

（当且仅当，即，时等号成立），

所以的最小值为9．