河南省许昌、济源、洛阳、平顶山四市2023届高三第三次质量检测理数试题

这是一份河南省许昌、济源、洛阳、平顶山四市2023届高三第三次质量检测理数试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
许济洛平2022—2023学年高三第三次质量检测理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，，则（    ）A．  B．C．  D．2．已知复数，若为纯虚数，则（    ）、A． B． C． D．3．若如图所示的程序框图输出的结果为，则图中空白框中应填入A． B． C． D．4．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（    ）A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”B．从2日到5日空气质量越来越好C．这14天中空气质量指数的中位数是214D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日5．在某次活动中将5名志愿者全部分配到3个展区提供服务，要求每个展区至少分配一人，每名志愿者只分配到一个展区，则甲乙两名志愿者在同一展区的不同分配方案共有（    ）A．72种 B．54种 C．36种 D．18种6．已知抛物线C：的焦点为F，A为抛物线C上的点，线段AF的垂直平分线经过点，则（    ）A． B． C． D．7．蒙特卡洛方法是第二次世界大战时期兴起和发展起来的，它的代表人物是冯·诺依曼，这种方法在物理、化学．生物，社会学等领域中都得到了广泛的应用．在概率统计中我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负．若每局比赛甲获胜的的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用随机模拟的方法估计甲最终赢得比赛的概率，由计算机随机产生之间的随机数，约定出现随机数0、1或2时表示一局比赛甲获胜，现产生了20组随机数如下：312  012  311  233  003  342 414  221  041  231  423  332  401  430  014  321  223  040  203  243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（    ）A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.6488．已知函数的图像如图所示，则ω的值为（    ）A． B． C． D．9．已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．10．在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为100π，则三棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．11．若对任意的，，且，，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．12．已知棱长为2．的正方体中，M，N分别为棱，的中点，P为线段D上的一个动点，有下述四个结论：①直线MN与所成的角的余弦值为       ②平面BMN截正方体所得截面的面积为③点B到平面PAC的最大距离为             ④存在点P，使得平面BMN则正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则______．14．的展开式中常数项为______（用数字作答）．15．双曲线E：的左，右焦点分别为，，以为圆心，为半径作圆，过作圆的切线，切点为T．延长交E的左支于P点，若M为线段的中点，且，则双曲线E的离心率为______．16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，的平分线交BC于D．当的面积最大时，AD的长为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（─）必考题：共60分．17．（12分）某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况，随机抽查了150名学生，并统计出他们在家的锻炼时长，得到频率分布直方图如图所示．（1）求a的值，并估计锻炼时长的平均数（同组数据用该组区间的中点值代替）；（2）从锻炼时长分布在，，，的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生，再从这7名学生中随机抽出3人，记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．    18．（12分）已知等比数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．    19．（12分）如图，正三棱柱中，，M，N分别为棱BC，的中点，P为AM上的一点，过P，，三点的平面交AB，AC于点E，F．  （1）证明：平面平面；（2）若平面与平面，所成锐二面角大小为，求的值．    20．（12分）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线BP，BQ分别交直线于E，F两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．   21．（12分）已知函数，．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，，求实数a的取值范围．   （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．     23．[选修45：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若的最小值为2，且，求的最小值．            23高三三模理科数学参考答案 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CDABCDBBABDC 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．3 14．7 15． 16． 三、解答题：（共70分）17．解：（1）．解得样本数据在，，，，，的概率分别为0.06，0.10，0.12，0.36，0.24，0.12．则平均值为（2）20分钟到60分钟中各组的频率比为．所以应抽人，抽取人，抽取人，抽取人．∴X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．∴X分布列为0123∴．18．解：（1）①-②得由，（且），令，，．为等比数列，则则此时数列的公比为，，．（2）．               ①     ②②-①得整理得． 19．（1）证明：∵为正三棱柱，∴平面又平面，∴．又N为正三角形边的中点，∴，∴平面．平面．∴平面平面．（2）解：以M为原点，MB所在直线为x轴，AM所在直线为y轴，MN所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．，由（1）知平面，平面的法向量为．设，则，∴ ∵，∴，∴，∴∴，．设平面的法向量为令，则，，∴．∴解得．点P位于线段AM上靠近点A的处． 20．解：（1）设椭圆C的方程为（，，且），因为椭圆C过点与点，则有，解得．所以椭圆C的标准方程为﹒（2）设直线l：，，，由，得，即，则，，直线BP，BQ的方程分别为，，令，则，，则，，所以．因为，所以，，即的取值范围为，所以存在最小值，且最小值为1． 21．解．（1）当时，，∴，则切点坐标为．，则切线斜率．切线方程为，整理得，（2），记，．①当时，，在上为增函数，成立；②当时，，则，即，∴在上为增函数，成立；③当时，函数在上为减函数，，在上有且仅有一根，且当时，，则，为增函数，此时；当时，，则，为减函数，构造函数，，为上的减函数，，则．．则．即存在使得，此种情况不成立；当时，函数在上为增函数，．④当，即时，，即，∴在上为增函数，恒成立；⑤当，即时，，在上有且仅有一根，且当时，，则，为减函数，，不成立；综上讨论，实数a的取值范围为． 22．解：（1）由题意得直线l的普通方程为，由得曲线C的直角坐标方程为，即．（2）直线l的参数方程可化为：（t参考），将其代入曲线C的直角坐标方程为，可得，设A，B的对应的参数分别为，，则，，所以，，所以． 23．解：（1）当时，所求不等式可化为，当时，所求不等式可化为，解得，即，当时，所求不等式可化为，恒成立，即，当时，所求不等式可化为，解得，即．综上，所求不等式的解集为．（2）因为，所以，即，，所以，所以是，（当且仅当，即，时等号成立），所以的最小值为9．