山西省太原市2023届高三下学期模拟（一）数学试题(含答案)
展开太原市2023年高三年级模拟考试（一）
数学试卷
（考试时间：下午3:00-5:00）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。
3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C．或 D．或
3．已知等比数列的前2项和为24，，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．的展开式中的系数为（ ）
A．9 B．10 C．24 D．25
5．在中，，，D为垂足，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170．若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的值域为
C．的图象是轴对称图形 D．的图象是中心对称图形
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．若P是双曲线C上的动点，则满足的点P共有两个
C．
D．内切圆的半径为
11．已知正方体的棱长为4，E为侧面的中心，F为棱的中点，P为线段上的动点，Q为上底面内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若平面，则
C．若恒成立，则线段FQ的最大值为
D．当DQ与的所成角为时，点Q的轨迹为双曲线的一部分
12．已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，，则与的夹角为_______．
14．已知，，，则的最小值为_______．
15．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两个不同点，若，，则直线AB的斜率为_______．
16．已知函数有唯一的零点，则实数a的最大值为_______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知等差数列中，，为的前n项和，且也是等差数列．
（1）求；
2）设，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，点D在BC上，，．
（1）从下面条件①、②中选择一个条件作为已知，求A；
（2）在（1）的条件下，求面积的最大值．
条件①：；
条件②：．
注：若条件①和条件②分别解答，则按第一个解答计分．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，，，且，，，直线PA与平面ABCD的所成角为，E，F分别是BC和PD的中点．
（1）证明：平面PAB；
（2）求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成份的含量x（单位：）与药效指标值y（单位：m）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据，其中分别表示第i次试验中这种药物成份的含量和相应的药效指标值，且．
（1）已知该组数据中y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；
（2）据临床经验，当药效指标值y在内时，药品对人体是安全的，求该新药中此药物成份含量x的取值范围；
（3）该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产药品的不合格率为0.009，设备B生产药品的不合格率为0.006，且设备A与B生产的药品是否合格相互独立．
（i）从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
（ii）在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备A生产的概率．
参考公式：，．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，其离心率，直线AB与圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与椭圆C相交于P，Q两个不同点，过点P作x轴的垂线分别与AB，AQ相交于点D和N，证明：D是PN中点．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若恰有三个不同的极值点，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，证明：①；②．
太原市2023年高三年级模拟考试（一）
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：A C D B A C D C
二、选择题：9．BC 10．ACD 11．AC 12．AD
三、填空题：
13． 14．1 15． 16．
四、解答题：17．解：（1）设的公差为d，∵是等差数列，∴，
∴，∴，∴； 5分
（2）由（1）得，
∴， 8分
∴． 10分
18．解：（1）选择条件①：，
由题意可得，
由正弦定理得， 3分
由余弦定理可得，∴，
∵，∴； 6分
选择条件②：，
由题意可得，
即，由正弦定理得， 3分
由余弦定理得，
∵，∴； 6分
（2）由（1）得，∵，∴，
∴
， 9分
∴，∴，
∴，
当且仅当，时，的面积取最大值． 12分
19解：（1）取AD的中点G，连接EG，FG，
∵F是PD的中点，∴，
∵平面PAB，平面PAB，
∴平面PAB，
同理可得平面PAB， 3分
∵，平面GEF，平面GEF，
∴平面平面PAB，∴平面PAB； 6分
（2）以点A为原点，AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，
∵，直线PA与平面ABCD的所成角为，∴点P的竖坐标，
又∵，∴点P的横坐标，纵坐标，∴， 8分
设是平面PAB的一个法向量，则
∴令，则，∴，
设是平面PAD的一个法，则
∴令，则，∴， 10分
∴，
∴平面PAB与平面PAD夹角的余弦值为． 12分
20．解:（1）∵，∴，
∴，∴，
∴y关于x的线性经验回归方程为； 3分
（2）由（1）得，∵，∴，
∴该新药中此药物成份含量x的取值范围为； 5分
（3）（i）设“随机抽取一件新药，是设备A生产的”，则“随机抽取一件新药，是设备B生产的”，“随机抽取一件新药为不合格品”，
由题意得，，，，
∴； 8分
（ii）设“抽到一件不合格的新药，它是设备A生产的”，
则， 10分
设X表示三件不合格新药来自设备A生产的件数，则，
所求事件的概率为． 12分
21．解：（1）由题意可得直线AB的方程为，即，
∵直线AB与圆相切，∴，∴，
∵，，∴，由可得
∴椭圆C的方程为； 4分
（2）由题意可设，
由（1）得，，则直线AB的方程为，∴，
直线AQ的方程为，∴，
设直线PQ的方程为，，
由得，
∴，， 8分
∴，
∵
，
∴，∴D是PN中点． 12分
22．解：（1）由题意得，，∴，
①当时，，∴在上递增，
当时，，∴在上递减，
当时，，∴在上递增，
∴只有一个极值点，此时不符合题意； 2分
②当时，令，即，
则和是方程的两个实数解，且，
∴在和上递增，在上递减，且， 3分
∵，，
∴，，∴在上存在唯一零点，
∵，，
∴，，∴在上存在唯一零点， 5分
∴在和上递减，在和上递增，记，
∴是的三个不同的极值点，且，
综上，实数a的取值范围为； 6分
（2）由（1）得当时，有三个不同的极值点，且，
①要证，只需证，
∵，
∴，∵，∴，∴． 8分
②要证，只需证，
∵，∴，
只需证， 10分
令，，则，
令，，则，
∴，∴，∴，
∴，即． 12分
注：以上各题其它解法请酌情赋分．
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