山西省朔州市怀仁市第一中学校2023届高三下学期第二次模拟数学试题(含答案)

怀仁一中高三年级第二次模拟考试

数 学

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．

4.本卷主要考查内容：高考范围．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，若，则实数a的取值集合是（    ）

A. {1}   B． {－1，1}  C.{－1，0，1}  D. {0，1}

2.已知，是不同的平面，m，n是不同的直线，则下列命题不正确的是（    ）

A.若，则  B. 若，则

C. 若，则    D.若，则

3.已知，且，则tan＝（    ）

A.  B.  C.  D.或

4.在△ABC中，若则＝（    ）

A. －  B.  C. －  D.

5.定义在R上的函数f（x）满足，且当时，f（x）单调递增，则不等式的解集为（    ）

A.   B.  C.    D．

6.已知数列{}中，，若，则正整数m的值为（    ）

A. 8   B. 9   C． 10   D.11

7.已知椭圆的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，OF为半径的圆与x轴交于O，A两点，与椭圆C交于M，N两点，若，则椭圆C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8.在△ABC中，M是线段AC的一个三等分点，则∠MBA的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知复数z满足，则下列说法中正确的是（    ）

A.复数z的模为    B. 复数z在复平面内所对应的点在第四象限

C. 复数z的共轭复数为  D.

10.下列说法正确的是（    ）

A.若，且，则的最小值为1

B.若，且，则的最小值为1

C.若关于x的不等式的解集为（1，3），则

D.关于x的不等式的解集为（，1）

11.已知函数与，则下列结论正确的是（    ）

A.g（x）的图象可由f（x）的图象向左平移个单位长度得到

B. f（x）的图象与g（x）的图象相邻的两个交点间的距离为

C.函数图象的一条对称轴为

D.函数在区间（，）上单调递增

12.已知函数，曲线的切线l的斜率为k，则（    ）

A. f（x）在（－1，0）上单调递减

B. f（x）是偶函数

C. 当时，取得极大值

D. 当时，l在x轴上的截距的取值范围为[2，＋∞）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.的展开式中x3y2的系数为___（用数字作答）．

14.《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按[40，45），[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是___．

15.已知抛物线焦点为F，点A，B在抛物线上，若，则当取得最大值时，|AF|＝___．

16. 如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为，则该棱锥的内切球半径为___．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且．

（1）求A；

（2）若a＝3，试探究：△ABC的周长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．

18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，⊥平面ABC，，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点．

（1）证明：AD//平面；

（2）求平面ADE与平面所成锐二面角的余弦值．

19.（本小题满分12分）已知数列{}满足，且

（1）设，证明：是等比数列；

（2）设数列{}的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．

20.（本小题满分12分）某化学实验课老师在学期末要对所教学生进行一次化学实验考核，每个学生需要独立完成该实验考核．根据以往数据，在A，B，C，D，E五名学生中，A，B，C三人能独立完成实验的概率均为，D，E两人能独立完成实验的概率均为．

（1）若，求这五名学生中恰有四名学生通过实验考核的概率；

（2）设这五名学生中通过实验考核的人数为随机变量X，若X的数学期望，求p的取值范围．

21.（本小题满分12分已知函数．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）令，若是函数的一个极值点，且，求实数a的值．

22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知动点A（m，m），B（n，－n），，．记动点P的轨迹为曲线E．

（1）求E的方程；

（2）点M为直线上一点，过点M作曲线E的切线，切点为Q，问在x轴上是否存在定点T，满足？若存在，求出定点T的坐标：若不存在，请说明理由．

怀仁一中高三年级第二次模拟考试·数学参考答案、提示及评分细则

1.C  ，∴当时，，满足；当时，若，则时，；时，，∴a的取值集合是{－1，0，1}．故选C．

2.B 若，则或或．

3.B  ∵，∴或．（，），∴．故选B．

4.B    由向量的平行四边形法则，知当时，．又，故，，，所以．

5.D 由，得f（x）的对称轴方程为，故，即，解得．

6.A  由，得，所以是以1为首项，公差d＝1的等差数列，

所以，所以，由，得．

7.D ∵F为OA中点，，又，所以△OMF为等边三角形，记椭圆C的左焦点为，又|，O为的中点，所以，，，

8.D  要使∠MBA尽可能大，则M为AC靠近C的一个三等分点，令，且．

所以．

则，易知．

可得，

∵，当且仅当x＝时取等号．

所以，又因为在上单调递增，所以∠MBA的最大值为．

9. AD  由，有，复数z在复平面内所对应的点为（1，3），位于第一象限，，故AD是正确的，故选AD．

10.AC   因为，

当且仅当a＝b＝2时，等号成立，即A正确；

因为，所以，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，

所以ab的最大值为1，即B错误；

因为的解集为（1，3），所以，

因为，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为（a，1）；当时，不等式的解集为（1，a）．

11.CD   由题意，对于选项A，f（x）的图象向左平移个单位长度，可得到＝，所以选项A错误；对于选项B，令，即，则化简可得，即，则，令，交点为，则其距离不为，所以选项B错误；对于选项C，f（x）＋，当时，，则x＝为其一条对称轴，所以选项C正确；对于选项D，＝＝，当（，）时，，为单调递增区间，所以选项D正确．

12.AC  ，当或时；当）时，所以f（x）在上单调递减，在（0，2）上单调递增，故当时，f（x）取得极大值，设切点为

（t，f（t）），则l的方程为，所以l在x轴上的截距为，由题意知，令，则当时，h（x）的取值范围为；当时，h（x）的取值范围是．所以当时，m（t）的取值范围是．

13.70    的展开式的通项为．

当时，；当时，．

∴的展开式中的系数．

14.53.75 kg（不带单位同样给分）  ∵，，

∴该地中学生的体重的中位数在[50，55）内，设该中位数为m，则，解得．

15.或4   在△ABF中，由余弦定理可得．

∵，∴．

∵，当且仅当时，等号成立．

根据抛物线的对称性可知，或，∴或4.

16.    将图形还原得四棱锥P－ABCD，如图，

设六边形边长为a，由题意，侧面展开图的面积．

解得．

设内切球的球心为O，半径为r，则有，

即，解得．

17.解：（1）由及正弦定理，得…………2分

又，

所以，

所以，

又，所以，

所以，…………4分

又，所以；…………5分

（2）存在，理由如下：…………6分

由（1）可得，又a＝3，故由余弦定理，得…………7分

所以，得，

当且仅当时取等号，…………9分

所以△ABC周长的最大值是．…………10分

18.（1）证明：连接BD，

∵E，F分别是棱AC，BC的中点，∴，

∵EF平面，AB平面，∴AB//平面，…………2分

∵D，F分别是棱，BC的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，则，

平面，BD平面，∴BD//平面，…………4分

∵AB，BD平面ABD，且，∴平面ABD//平面，

∵AD平面ABD，∴AD//平面；…………6分

（2）解：取的中点O，连接，OE，易证，，OE两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则A（0，－2，3），（0，2，0），D（，1，0），E（0，0，3），F（，1，3），从而，，，，…………8分

设平面ADE的法向量为，则

令，得，

设平面的法向量为，则

令，得，…………10分

设平面ADE与平面所成的锐二面角为，则．…………12分

19.（1）证明：因为，所以，，…………3分

又，所以，所以，

又，所以，所以，…………5分

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；…………6分

（2）解：由（1）可知，则

所以，易知…………9分

又，有，

又由，有，得，…………10分

所以，所以满足题意的的最小值是20…………12分

20.解：（1）设“这五名学生中恰有四名学生通过实验考核”为事件A，

则；…………3分

（2）易知X的可能取值为0，1，2，3，4，5，

则…………4分

，…………5分…………6分

…………7分

…………8分

，…………9分

所以，解得，…………11分

所以p的取值范围为．…………12分

21.解：（1）函数f（x）的定义域为（，

………………1分

①当时，，函数f（x）单调递增；…………2分

②当时，令，可得，此时函数f（x）的增区间为（a，＋∞），减区间为（0，a）；…4分

（2）由已知得，即，①…………5分

由，可得，②…………6分

联立①②，消去a，可得，③…………7分

令，则，

，则，由，可得x＝1，

…………10分

，故，∴t（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，

注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，．…………12分

22.解：（1）设P（x，y），因为，

所以…………2分

则，

，化简得；…………4分

（2）由题意可知，直线MQ的斜率一定存在，设其方程为，则M点坐标为，

联立直线MQ与曲线E的方程可得

则，

所以

求解可得，所以…………7分

设点T（t，0），

所以，

所以，…………9分

要使，则，解得．…………11分

所以在x轴上存在定点T（2，0），满足…………12分