2023郴州高三下学期三模数学试题含答案

郴州市2023届高三第三次教学质量监测试卷

数学

（命题人：李正标 侯腊龙 黄生周 何发军 何利珍 黄艳兰

审题人：陈伟 张凯 汪昌华）

姓名__________ 准考证号__________

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

4.考试时间为120分钟，满分为150分.

5.本试题卷共5页.如缺页，考生须声明，否则后果自负.

一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的）

1.若（其中为虚数单位），则在复平面上所对应的点在（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

2.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（    ）

A.30    B.40    C.50    D.60
6.设，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆的的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知函数，实数满足不等式，则下列不等式成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多项选择题（本题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9.给出下列命题，其中正确的是（    ）

A.对于独立性检验的值越大，说明两事件相关程度越大.

B.若随机变量，则

C.若，则

D.已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为

10.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（    ）

A.若，则直线的倾斜角为

B.

C.若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为

D.若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为

11.设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（    ）

A.的图象关于点对称

B.在上有且只有5个极值点

C.在上单调递增

D.的取值范围是）

12.已知正四棱柱中，为的中点，为棱上的动点，平面过三点，下面说法正确的是：（    ）

A.平面平面

B.平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形

C.当与重合时，平面截此四棱柱的外接球所得的截面面积为

D.存在点，使得与平面所成角的大小为

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若的展开式中的系数为3，则__________.

14.已知点，若过点的直线交圆于两点，则的最小值为__________.

15.已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________.

16.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.

四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

在中，内角所对的边分别为，已知

（1）求角.

（2）的角平分线交于点，且，求的最小值.

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，侧面底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，记平面与平面的交线.

（1）证明：直线平面.

（2）若在直线上且为锐角，当时，求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，则其中，称为期末的终值，称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为.

现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案

方案一：一次性付全款25万元；

方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；

（1）已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？

（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）

参考数据：

20.（本小题满分12分）

已知椭圆方程为，过椭圆的的焦点分别做轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.

（1）求该椭圆的离心率.

（2）若椭圆的顶点恰好是双曲线焦点，椭圆的焦点恰好是双曲线顶点，设椭圆的焦点，双曲线的焦点为与的一个公共点，记，，求的值.

21.（本小题满分12分）

chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球.chatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.

第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取<prompt，answer>数据对，帮助数学模型GPT-3.5更好地理解指令.

第二阶段：训练奖励模型.用上一阶段训练好的数学模型，生成个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉熵损失函数得到：，其中，且.

第三阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大的奖励以符合人工的选择取向.

参考数据：

（1）若已知某单个样本，其真实分布，其预测近似分布，计算该单个样本的交叉熵损失函数Loss值.

（2）绝对值误差MAE也是一种比较常见的损失函数，现已知某阶变量的绝对值误差，，其中，表示变量的阶.若已知某个样本是一个三阶变量的数阵，其真实分布是现已知其预测分布为，求证：该变量的绝对值误差为定值.

（3）在测试chatGPT时，如果输人问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为，现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若在区间上恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数和有公切线，求实数的取值范围.

郴州市2023届高三第三次教学质量监测试卷数学

参考答案及评分细则

一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的）

1-5DBCDC    6-8DCA

二､多项选择题（本题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9.BCD    10.BC    11.CD    12.AC

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.    14.    15.    16.

四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

（1）由正弦定理或余弦定理不难证明

代入条件可得

由正弦定理得

.

（2）因为的平分线交于点，

所以，

由三角形的面积公式可得，

化简得，

又，所以，

则，

当且仅当时取等号，故的最小值为.

18.（本小题满分12分）

（1）证明分别是的中点，平面

平面，平面平面.

平面平面，平面平面，

平面.

平面

（2）是的中位线，

又，当时，

又因为故此时

以为原点，直线为轴，直线

为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，

，

令平面的法向量为

则令则

令平面的法向量为

则令则

因为，所以二面角的余弦值为.

19.（本小题满分12分）

（1）解法1（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值

万元

若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为

（万元）.

因此，付全款较好.

解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和为

（万元）

比购置一次付款25万元多，故购置设备的方案较好.

（2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，

记，则

作差可得：

（万元）.

20.（本小题满分12分）

（1）由题意，，又因为，

故，即，解得（舍负）

（2）证明：设椭圆的方程为.

由题意知双曲线的方程为.

联立的方程，解之得.

不失一般性，可设在第一象限，所以点.

.

同理，.

.

.

.

.同理，

因为的离心率为，则.

的离心率为，则

.

又，

所以.

21.（本小题满分12分）

（1）由题意该单个样本的交叉嫡损失函数：

（2）根据定义该三阶变量的绝对值误差为

MA

（3）记事件A：chatGPT中输入的语法无错误；

事件B：chatGPT中输入的语法有错误；

事件C：chatGPT的回答被采纳.依题意：

22.（本小题满分12分）

解：（1）由题意，当时，设，

则，

，

令，得（舍负）

在上单调递减，在上单调递增，

.

根据题意的取值范围为.

（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，

则，

，代入

得.

问题转化为：关于的方程有解，

设，则函数有零点，

，当时，

.

问题转化为：的最小值小于或等于0.

，

设，则

当时，，当时，.

在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为.

由知，

故.

设，

则，

故在上单调递增，

当时，，

的最小值等价于.

又函数在上单调递增，

.