精品解析：2023年广东省珠海市文园中学中考第一次模拟考试数学试卷

珠海市文园中学2023年中考第一次模拟考试

数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 有理数﹣1，﹣2，0，3中，最小的数是（　    　）

A. ﹣1 B. ﹣2 C. 0 D. 3

【答案】B

【解析】

【详解】∵|-1|=1，|-2|=2，∴-2＜-1，

∴有理数-1，-2，0，3的大小关系为-2＜-1＜0＜3．

故选B．

2. 计算的结果是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即解答．

【详解】解：．

故选：C

【点睛】此题考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．

3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．

【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；

选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4. 如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．

【详解】解：由题意得∠ABC=90°，

∵∠1=40°，

∴∠3=180°-∠1-∠ABC=50°，

∵，

∴∠2=∠3=50°，

故选B．

【点睛】

本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．

5. 若关于一元二次方程没有实数根，则的值可以是（    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．

【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，

∴，

∴，

故选：A.

【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．

6. 如图，用直角曲尺检查制作成半圆形的工件，则合格的工件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即可得到答案．

【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角，

∴只有D选项正确，其他均不正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握直径所对的圆周角是直角．

7. 某公司对25名营销人员4月份销售某种商品的情况统计如下：

则这25名营销人员销售量的众数是（    ）

A. 50 B. 40 C. 35 D. 30

【答案】D

【解析】

【分析】根据众数的定义求解即可．

【详解】解：因为销售量为30件出现的次数最多，所以这25名营销人员销售量的众数是30.

故选：D.

【点睛】本题考查了确定一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

8. 抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   )

A. 0≤x1＜x2 B. x2＜x1≤0

C. x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D. 以上都不对

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定．

【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，

∴|x1|＜|x2|，

∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0< -x1<x2或0<x1< -x2,

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．

9. 如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ）

A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED

【答案】B

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．

【详解】解：∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．

故A，C，D选项错误，B选项正确，

故选：B．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

10. 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长．

【详解】解：如图，连接交于点，连接，连接交于点．

四边形是正方形，

是中点，

点是的中点，

是的重心，

，

，

、关于对称，

，

，

当、、共线时，的值最小，

的值最小就是的长，

，

设正方形的边长为，则，

在中，由勾股定理得：，

，

负值已舍，

即正方形的边长为．

故选：C．

【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可．

【详解】解：点与点关于原点对称，

则，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．

12. 计算：____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据求一个数的立方根，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了求一个数的立方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，正确的计算是解题的关键．

13. 如图，是半圆的半径，点，在半圆上，若，则的度数为_________．

【答案】##度

【解析】

【分析】根据是半圆的半径，得出，根据直角三角形的两锐角互余得出，然后根据圆内接四边形对角互补即可求解．

【详解】解：∵是半圆的半径，

∴

∵，

∴，

∵四边形是圆内接四边形，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，掌握以上知识是解题的关键．

14. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了____人．

【答案】10

【解析】

【分析】如果设每轮传染中平均每人传染了x人，那么第一轮传染中有x人被传染，第二轮则有x（x+1）人被传染，已知“共有121人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可．

【详解】设每轮传染中平均每人传染了x人，

则第一轮传染中有x人被传染，

第二轮则有x(x+1)人被传染，

又知：共有121人患了流感，

∴可列方程：1+x+x(x+1)=121，

解得，（不符合题意，舍去）

∴每轮传染中平均一个人传染了10个人.

故答案为10.

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系.

15. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是____．（结果保留π）

【答案】

【解析】

【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥是侧面积公式计算即可．

【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥，

侧面展开图的面积，

故答案为．

【点睛】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．

16. 解不等式组：．

【答案】

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：，

解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．

17. 先化简，再求值：其中．

【答案】

【解析】

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．

【详解】解：

，

当时，原式．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算是解题的关键．

18. 在中，

（1）尺规作图：作的平分线，为与的交点（保留痕迹，不写作法）；

（2）求证：对于（1）中的点，是等腰三角形．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；

（2）证明即可证明是等腰三角形．

【小问1详解】

如图所示，

【小问2详解】

∵平分，

∴．

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴，

∴．

∴是等腰三角形．

【点睛】本题考查了尺规作图-作角的平分线，平行四边形的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定，证明证明是解答本题的关键．

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球．

（1）估计袋子中白球的个数约为___________．

（2）如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，取一个红球和一个白球放入任意两个不同区域内，求两球放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设袋子中白球的个数为个，根据题意列出方程，解方程即可求解；

（2）根据列表法求概率即可求解．

【小问1详解】

设袋子中白球的个数为个，根据题意，

解得：（经检验，是原方程的根），

故答案为：．

【小问2详解】

解：列表如下，

共有12种等可能结果，符合题意的有8种，

∴两球放在相邻的两个区域的概率为

【点睛】本题考查了根据频率估计概率，已知概率求数量，列表法求概率，掌握概率的求法是解题的关键．

20. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需800元．

（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？

（2）某团队计划用不超过1880元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？

【答案】（1）甲种型号的单价是50元，乙种型号的单价是30元   

（2）19

【解析】

【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需800元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；

（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过1880元”列出不等式，即可得出答案．

【小问1详解】

设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元．

根据题意得：，

解得：，

∴，

答：甲种型号的单价是50元，乙种型号的单价是30元．

【小问2详解】

设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个．

根据题意，得：，

解得：，

∴a最大值是19，

答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”19个．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等关系是本题的关键．

21. 如图，一次函数与反比例函数图象交于点，把绕点顺时针旋转，的对应点恰好落在反比例函数的图象上．

（1）求的值；

（2）直接写出满足不等式的的范围；

（3）把直线向右平移，与反比例函数和分别交于、，问线段的长能否等于？若能，直接写出向右平移的距离；若不能，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）或   

（3）能，向右平移的距离为个单位

【解析】

【分析】（1）过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，待定系数法求解析式即可求解；

（2）关于原点的对称点为，则与的另一个交点为，根据函数图象，写出反比例函数在直线上方的自变量的范围，即可求解；

（3）勾股定理求得，当时，如图所示，将平移至,设，则，根据在上，列出方程，求得，则，设向右平移个单位，则平移后的解析式为，将点代入，即可求解．

【小问1详解】

解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴，

∵点，把绕点顺时针旋转，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

∴，

∴，

∴，

∵点在反比例函数图象上．

∴；

【小问2详解】

解：∵关于原点的对称点为，则与的另一个交点为，

根据函数图象可知，

不等式的的范围为或，

【小问3详解】

∵点在一次函数上，

∴，

∴直线解析式为，

∵，

∴,

当时，如图所示，将平移至,

∴，

设，

则，

∵在上，

∴，

解得：或，

又∵，

∴，则，

∴，

设向右平移个单位，则平移后的解析式为，

将点代入得，

，

解得：，

∴向右平移的距离为个单位．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数平移，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

22. 如图，点在直角的边上，，以为圆心、为半径的与边相交于点，连接交于点，连接并延长交于点．已知，．

（1）求证：是切线；

（2）若，求半径；

（3）在（2）的条件下，若是中点，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）4   

（3）

【解析】

【分析】（1）连接，证明，则，即可证明是切线；

（2）设半径为r,则，，利用同角的余角相等得到，则，得到，即可得到半径；

（3）证明得到，设设由得到，利用勾股定理求得，则，，把已知线段线段长度代入，即可求得的长．

【小问1详解】

证明：连接，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∵是的半径，

∴切线；

【小问2详解】

解：设半径为r，则，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得，

即半径为4；

【小问3详解】

∵是中点，

∴，

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

∴，

设

∵，

∴，

∵，

∴，

解得，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题关键．

23. 如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为．

（1）求点的坐标及直线的解析式为_____________，_____________．

（2）连接，交线段于点，求的最大值；

（3）连接，是否存在点，使得，若存在，求的值．若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）   

（3）；理由见解析

【解析】

【分析】（1）由于在轴正半上，将点代入抛物线即可求出点坐标；通过抛物线上存在两点和求出两点的坐标，设直线解析式，将和代入此解析式即可求出和，即可求出解析式.

（2）根据面积公式将转化为，利用平行线分线段成比例将转化，通过两点的坐标即可求出，欲求得知道和点的坐标，点为已知，作轴可知道点的纵坐标与点的纵坐标相同，根据点在直线上即可求出点横坐标，根据点到点的距离公式求出长度，也就可以求出，即可以推出用表达，从而求出最大值.

（3）过点作轴，延长交轴于点，通过已知条件易证三角形为等腰三角形，则推出，从而推出的坐标表，通过待定系数法求直线的解析式；依据既是抛物线的交点也是直线交点，构建一元二次方程，即可求出值.

【小问1详解】

解：抛物线与坐标轴交于，，三点，且点和在轴上，在轴上

设，，

当时

或

，

当时

设直线的解析式为：

将点和点代入中，

直线的解析式为：

故答案为：；

【小问2详解】

解：过点作轴交于于点，过点作交与点

点的纵坐标与点的纵坐标相同

为抛物线上的一点

设

又点在直线上，直线的解析式为：

又

，

的最大值为

故答案为：

【小问3详解】

解：过点作轴，延长交轴于点

，

为等腰三角形

在中，

设直线的解析式为：

将点和点代入中，

直线的解析式为：

是直线和抛物线的交点，

令

（舍去）或

故答案为：

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是待定系数求解析式，平行线分线段成比例定理的推论，角度的存在性等相关内容，解本题的关键在于是否能将面积比转化为线段比，解本题的难点在于是否能通过已知角度条件建立有关的一次函数解析式.