2022-2023学年山东省青岛市高三下学期第一次适应性检测（一模）数学试题（word版）

青岛市2023年高三年级第一次适应性检测

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，，，则下图中阴影部分表示的集合为（    ）

A．  B．  C．  D．

2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（    ）

A．1  B．  C．  D．

3．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（     ）

A．  B．  C．  D．

4．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（    ）

A．  B．  C．  D．

5．定义域为R的函数满足：当时，，且对任意实数x，均有，则（    ）

A．3  B．2  C．  D．

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（     ）

A．  B．3  C．  D．

7．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（    ）

A．0.34  B．0.37  C．0.42  D．0.43

8．已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．  B．  C．  D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．常数项是1120  B．第四项和第六项的系数相等

C．各项的二项式系数之和为256  D．各项的系数之和为256

10．下列说法正确的是（    ）

A．若直线a不平行于平面，，则内不存在与a平行的直线

B．若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则

C．设l，m，n为直线，m，n在平面内，则“”是“且”的充要条件

D．若平面平面，平面平面，则平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补

11．1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分．夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理．问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”．下列说法正确的是（    ）

A．若第n只猴子分得个桃子（不含吃的），则

B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列

C．若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子（不含吃的）

D．若最初有k个桃子，则必有的倍数

12．已知A，B是平面直角坐标系中的两点，若，，则称B是A关于圆的对称点．下面说法正确的是（    ）

A．点关于圆的对称点是

B．圆上的任意一点A关于圆的对称点就是A自身

C．圆上不同于原点O的点M关于圆的对称点N的轨迹方程是

D．若定点E不在圆上，其关于圆C的对称点为D，A为圆C上任意一点，则为定值

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______．

14．已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则______．

15．湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则______千米．

16．设函数是定义在整数集Z上的函数，且满足，，对任意的，都有，则______；______．（本小题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数，，是的两个相邻极值点，且满足．

（1）求函数图象的对称轴方程；

（2）若，求．

18．（12分）已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．

（1）求；

（2）记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．

19．（12分）如图，在中，，且，，将绕直角边PA旋转到处，得到圆锥的一部分，点D是底面圆弧BC（不含端点）上的一个动点．

（1）是否存在点D，使得？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；

（2）当四棱锥体积最大时，求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值．

20．（12分）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；

（2）用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的k的值；

（3）从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．

21．（12分）已知O为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，A为椭圆C的上顶点，为等腰直角三角形，其面积为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线l交椭圆C于P，Q两点，点W在过原点且与l平行的直线上，记直线WP，WQ的斜率分别为，，的面积为S．从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立．

①；②；③W为原点O．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

22．（12分）已知函数，圆．

（1）若，写出曲线与圆C的一条公切线的方程（无需证明）；

（2）若曲线与圆C恰有三条公切线．

（i）求b的取值范围；

（ii）证明：曲线上存在点，对任意，．