2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高三上学期1月期末考试数学文试题含答案

  西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末

高三文科数学

注意事项：

1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

4.考试结束后，只将答题卡交回。

1．若集合，则

A． B． C． D．

2．设命题，；命题，，则下列命题为真的是

A． B． C． D．

3．设，，则（    ）

A． B． C． D．

4．如果，那么下列不等式成立的是

A． B． C． D．

5．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数

6．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

7．圆心在坐标原点的圆上有两点、，点的坐标为且，若点在角的终边上且角是三角形的一个内角，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为

A． B．

C． D．

9．如图所示，正方体的面A1C1，B1C，CD1的中心分别为O1，O2，O3，则直线与直线O2O3所成的角为（    ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．则（    ）

A．1 B． C． D．

11．在直四棱柱中，底面是边长为6的正方形，点E在线段上，且满足，过点E作直四棱柱外接球的截面，所得的截面

面积的最大值与最小值之差为，则直四棱柱外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若，则

A． B． C． D．

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．曲线在处的切线方程为_________.

14．如表中给出五组数据，从中选出四组使其线性相关最大，且保留第一组，那么应去掉第___________组.

15．设等比数列的前n项和为，若，则____________．

16．设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为_____.

三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）全科免费下载公众号《高中僧课堂》

17．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．

（1）求直方图中x的值；

（2）①求在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数；

②如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，那么用电量在[150，200）内的居民数应抽取多少？

18．已知等差数列{an}（n∈N+）中，an+1＞an，a2a9＝232，a4+a7＝37

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若将数列{an}的项重新组合，得到新数列{bn}，具体方法如下：b1＝a1，b2＝a2+a3，b3＝a4+a5+a6+a7，b4＝a8+a9+a10+…a15，…，依此类推，第n项bn由相应的{an}中项的和组成，求数列{bn}的前n项和Tn.

19．如图，长方体中，，与底面ABCD所成的角为

.

(1)求四棱锥的体积；

(2)求异面直线与所成角的大小.

20．已知椭圆经过点，离心率，其中分别表示标准正态分布的期望值与标准差．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为．

①试建立的面积关于m的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通过试验操作初步推断：“当m变化，直线与x轴相交时，交点是一个定点”．你认为此推断是否正确?若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由．

21．设函数,其中常数

(Ⅰ)讨论的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，>0恒成立，求的取值范围.

22．已知圆C的极坐标方程为，直线l的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.

（1）求圆C的圆心坐标及半径；

（2）直线l与圆C的交点为A，B，求三角形ABC的面积.

23．已知函数，

（1）若，求不等式的解集；

（2）若函数为偶函数，此时的最小值为t，若实数a，b，c满足，证明：

参考答案

1．C

解出集合M，然后和集合N取交集即可.

由题意得,

则.

故选C.

本题考查集合的交集运算，属于简单题.

2．C

对赋值为4时，可判断命题为真命题，

当赋值为4时，可判断命题为假命题．由此可以判断C答案正确．

当时，，故命题为真命题，

当时，，故命题为假命题．

由复合命题的真假判断可知，故选C．

本题主要考查了逻辑联结词联结的两个命题的真假判断．

（1）中，有一个是假命题，则是假命题，

（2）中，有一个是真命题，则是真命题，

（3）若为真命题，则为假命题，反之若为假命题，则为真命题．

3．B

根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可.

因为，所以，解得，

所以.

故选：B.

4．D

若，则，即，故错误；，故错误；在时，不成立，故错误；，故正确，故选D.

5．B

评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.

点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；

中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；

平均数：反映一组数据的平均水平；

方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．

标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．

6．D

试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．

考点：双曲线的标准方程．

7．A

由已知得，再运用正弦、余弦二倍角、以及辅助角公式化简原式为，代入可求得其值得选项.

因为，为等边三角形，，即，而为三角形的内角，

，

故选：A．

8．A

由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为，球的半径为，所以几何体的表面积为：，故选A．

9．A

如图，连接，设交于，连接，则可得∥，∥，从而结合已知条件可求出两异面直线所成的角

解：如图，连接，设交于，连接，

因为在正方体的面A1C1，B1C，CD1的中心分别为O1，O2，O3，

所以∥，∥，

所以直线与直线O2O3所成的角等于直线与所夹的角，

因为，为的中点，

所以，

所以直线与直线O2O3所成的角为，

故选：A

10．B

首先由诱导公式求出，再根据正弦定理计算可得；

解：依题意

由正弦定理，即，解得；

故选：B

11．B

根据题意得，设，故当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为；当截面时，截面圆面积最小，此时截面圆半径为，截面面积为，进而得，故外接球的半径为.

因为四棱柱是直棱柱，且底面是正方形，

所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作，

过点向底面作垂线，垂足为，则，

连接，因为底面是边长为6的正方形，所以点为的中点，

取中点为，连接，，，如图，

设，则，所以外接球的半径为，

因为点在线段上，且满足，则，

又，所以，

因为直四棱柱中，侧面，，所以侧面，

所以，又底面，而底面，所以，

又，故平面，因平面，所以，

则；

根据球的特征，过点作直四棱柱外接球的截面，

当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为；

当截面时，截面圆面积最小，此时截面圆半径为，此时截面圆面积为；

又截面面积的最大值与最小值之差为，

所以，

因此，即，所以.

所以

故选：B

关键点点睛：本题解题的关键是找准过点作几何体外接球的截面圆中面积最大为截面圆为过球心的截面圆，面积最小的截面圆为与垂直的的截面圆的面积，再根据几何计算即可得答案.

12．B

由题推导函数关于点（2,1）对称即可求解

因为

故函数关于点（2,1）对称，则

故选B

本题考查函数的对称性，考查对数的运算，考查推理计算能力，是中档题

13．

求导，计算，得到切线方程.

，故，

故所求切线方程为.

故答案为：.

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.

14．3

画出散点图，根据线性相关及点偏离程度判断应去掉的点.

根据表格数据，散点图如下图示：

显然偏离程度最高，故去掉第三组.

故答案为：3

15．3

由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可.

设等比数列的公比为q，由得，所以，所以，，则．

故答案为：3.

16．

设，则，，所以线段的长为，根据

结合同角三角函数基本关系可计算的值，即可求解.

设，则，由题意知，

所以，

因为，所以，

即，所以，

所以，

直线与函数的图象交于点，可得，

所以，

故答案为：.

17．（1）x＝0.0044；（2）①70户；②3（户）．

（1）由频率分布直方图，列出方程，能求出直方图中的值．

（2）①先求出用电量在，内的频率为0.7，由此能求出在这些用户中，用电量在区间，内的居民数．

②用电量在，内的户数为30户，由此利用分层抽样的性质能求出用电量在，内的居民数应该抽取的户数．

（1）由频率分布直方图得：

（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060）×50＝1，

解得直方图中x＝0.0044．

（2）①用电量在[100，250）内的频率为：

（0.0036+0.0060+0.0044）×50＝0.7，

∴在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数为100×0.7＝70户．

②用电量在[150，200）内的户数为0.0060×50×100＝30（户），

按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，

用电量在[150，200）内的居民数应该抽取：（户）．

18．（1）；（2）.

（1）由an+1＞an，结合a2a9＝232，a4+a7＝a2+a9＝37，利用等差数列的性质可求a2，a9，进而可求公差d，即可求解通项；

（2）由题意得，结合等差数列与等比数列的求和公式可求bn，即可求解.

解：（1）由an+1＞an，可得公差d＞0，

∵a2a9＝232，a4+a7＝a2+a9＝37，∴a9＞a2，

∴.

设公差为d，则d3

∴an＝a2+3（n﹣2）＝8+3n﹣6＝3n+2.

（2）由题意得：，

＝（3•2n﹣1+2）+（3•2n﹣1+5）+（3•2n﹣1+8）+…+[3•2n﹣1+（3•2n﹣1﹣1）]

＝2n﹣1×3•2n﹣1+[2+5+8+…+（3•2n﹣1﹣4）+（3•2n﹣1﹣1）]

而2+5+8+…+（3•2n﹣1﹣4）+（3•2n﹣1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的项的和，

所以2+5+8+…++（3•2n﹣1﹣4）+（3•2n﹣1﹣1）

＝3，

所以，

所以.

所以.

19．(1)

(2)

（1）先求得长方体的高的值，进而求得四棱锥的体积；

（2）先作出异面直线与所成角，再利用余弦定理求其大小即可解决.

（1）连接AC，因为平面ABCD，

所以是与底面ABCD所成的角.

所以，所以，

所以.

（2）联结BD，则，

所以就是异面直线与所成的角（或其补角）

中，，，

所以，

又，则

所以异面直线与所成角的大小为.

20．（1）；（2）①；②推断正确，定点．

（1）利用椭圆过点，离心率，列式计算即得椭圆方程.

（2）①把与椭圆C的方程联立，借助韦达定理、三角形面积公式即可求解作答；

②利用①中信息求出直线的方程即可判断作答.．

（1）因分别表示标准正态分布的期望值与标准差，则，即椭圆过点，，

又离心率，则，解得，

所以椭圆C的方程是.

（2）①由（1）及已知得：，消去x并整理得：，

设，则，

于是得，直线过定点，

所以面积；

②由①知，，因直线与x轴相交，则点与不重合，即，

由得，

直线的斜率，，

直线的方程为：，即，

整理得：，因此，直线恒过点，

所以推断正确，定点坐标是.

结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；

过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.

21．（I）当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II）取值范围是（1，6）

：因为第(Ⅰ)题中要求函数的单调区间,利用导数的正负即可求出,所以首先要求出函数的导数,然后解不等式和即可. 第(Ⅱ)小题是一个恒成立问题,转化为求函数的最值解决,所以要求出函数在x≥0时的最小值.

（I）

由知，当时，，故在区间是增函数；

当时，，故在区间是减函数；

当时，，故在区间是增函数.

综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.

（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值.

由假设知

即解得

故的取值范围是（1，6）

22．（1），2；（2）2.

（1）将圆C的极坐标方程化为圆的标准方程，即可得出圆C的圆心坐标及半径；

（2）利用极经的应用和三角形的面积公式即可得出答案.

（1）圆的极坐标方程为，

所以，

根据得直角坐标方程为.

所以圆的圆心坐标为，半径为2.

（2）直线的极坐标方程为.

所以，整理得，

所以，.

所以.

由于为等腰三角形.

所以弦上的高，

所以.

23．（1）    （2）证明见解析

1化为分段函数即可求出不等式的解集2根据偶函数的性质求出函数m的值，再根据三角绝对值不等式求出t的值，再根据基本不等式即可证明．

（1），则

由可得由无解     可得；

综上的解集为，

证明：（2）因为函数为偶函数，所以，此时，

所以，

因为，，

所以当且仅当时，取““，

所以，

即．

本考主要查了利用绝对值三角不等求最小值和基本不等式，考查了转化思想和计算能力，属中档题．