2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高三上学期1月期末考试数学理试题含答案

  西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末

高三理科数学

注意事项：

1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

4.考试结束后，只将答题卡交回。

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则在复平面内与复数对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

3．下列函数在区间上是增函数的是　　

A． B．

C． D．

4．已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．下列函数中同时具有以下性质的是（    ）

①最小正周期是；            ②图象关于直线对称；

③在上是增函数；    ④图象的一个对称中心为．

A． B．

C． D．

6．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列选项中不能从图中数据直接比较大小的是

A．极差 B．方差 C．平均数 D．众数

7．某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（    ）

A．64 B．81 C．36 D．100

8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ）

A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤

9．命题若，则；命题，使得，则下列命题中为真命题的是(   )

A． B． C． D．

10．体积为1的正方体的内切球的体积是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，若.且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知双曲线的渐近线方程为，则________.

14．已知向量，则在上的投影向量的坐标为________．

15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，，F为棱AA1上的一动点，则当BF+FC1最小时，△BFC1的面积为__________．

16．已知，且，则________.

三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知为等差数列的前项和，且.记,其中表示不超过的最大整数，如.

(1)求

(2)求数列的前200项和.

18．由于一线城市普遍存在着交通道路拥挤的情况，越来越多的上班族选择电动车作为日常出行的重要工具，而续航里程数则是作为上班族选择电动车的重要标准之一.现将某品牌旗下的一新款电动车的续航里程数作了抽检（共计1000台），所得结果统计如下图所示.

（1）试估计该款电动车续航里程不低于34公里的概率；

（2）在该款电动车推出一段时间后，为了调查“购买者的性别”与“使用的满意程度”是否相关，客服人员随机抽取了200名用户进行反馈调查，所得情况如下表所示：

则根据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与“使用的满意程度”有关？

（3）为了提高用户对电动车续航里程的满意度，工作人员将检测的续航里程在之间的电动车的电瓶进行更换，并使得该部分电动车的续航里程均匀分布于另外五组，分别求出电瓶更换前与更换后被检测的电动车的平均续航里程，并计算更换后比更换前的平均续航里程多了多少.

附参考公式：.

19．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

20．已知抛物线截直线所得弦长.

（1）求m的值；

（2）设P是x轴上的点，且的面积为9，求点P的坐标.

21．已知函数

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若恒成立，求的最小值.

22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为（）．

（1）求曲线C的参数方程，若曲线C过原点O，求实数a的值；

（2）当时，直线l与曲线C交于A，B两点，求．

23．设函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．

参考答案

1．B

2．B

3．B

4．C

5．D

6．C

7．B

8．D

9．C

10．A

11．B

12．A

13．

14．

15．

16．

17．(1)；；

(2)524

（1）设等差数列的公差为d，由，，可得d，从而可求出数列的通项公式，即可分别求得；

（2）分别求出当时，当时，当时，当时，数列，，，的项数，即可求得数列的前200项和.

（1）

设等差数列的公差为d，

由已知，根据等差数列性质可知：

∴.  ∵，所以

∴

∴，，.

（2）

当时，，，共2项；

当时，，共10项；

当时，，共50项；

当时，，共138项.

∴数列的前200项和为.

18．（1）0.8；（2）表格见解析，不能；（3）36.5（公里），36.8（公里），更换后比更换前的平均续航里程多了0.3公里.

（1）由频率分布直方图求出电动车续航里程不低于34公里的频率，然后利用频率来估计概率；

（2）利用公式直接求解，然后由临界值表来判断即可；

（3）由题意分别计算电瓶更换前被检测电动车的平均续航里程和电瓶更换后被检测电动车的平均续航里程，然后进行比较即可

解：（1）由频率分布直方图可知该款电动车续航里程不低于34公里的频率为，故该款电动车续航里程不低于34公里的概率的估计值为0.8.

（2）依题意，得到列联表如下：

则的观测值，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与“使用的满意程度”有关；

（3）依题意，电瓶更换前被检测电动车的平均续航里程为

（公里）

电瓶更换后被检测电动车的平均续航里程为

（公里）

故更换后比更换前的平均续航里程多了0.3公里.

19．(1)证明见解析

(2)

（1）由正方体的性质可证得四边形是平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

（1）证明：由正方体的性质可知，，且，

所以四边形是平行四边形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，

所以，，，

设平面的法向量为 ，

则，令，则，

易知平面的一个法向量为，

所以，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

20．（1）；（2）或.

（1）设.由抛物线方程和直线方程联立，根据，利用弦长公式结合韦达定理由求解.

（2）由（1）知直线的方程为,设，求得点P到直线的距离，再的面积为9，由求解.

（1）设.

由，得，

,

由根与系数的关系得.

∴

，

∵，∴，

解得.

（2）由（1）知直线的方程为.

设，点P到直线的距离为d，

则.

又，则，

∴，

∴，

∴或.

故点P的坐标为或.

本题主要考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．(1)单调增区间为，单调减区间为；

(2).

（1）在定义域内根据符号求得的范围，求单调区间；

（2）由题意求单调区间，结合恒成立得 ，构造，利用导数研究函数的单调性得，即可得结果.

（1）

当时，，，

所以，易知时，时．

函数的单调增区间为，减区间为；

（2）

由题意得，．

当时，时．

的单调增区间为，减区间为，则，

∵恒成立，

∴，则．故，

令，，

设（），则．

当时，当时．

∴在上递减，在上递增，

综上，的最小值为.

22．（1）；（2）3．

（1）根据，可得，再由圆的参数方程可得，将原点代入可求a的值.

（2）将代入曲线C的极坐标方程，由，利用韦达定理即可求解.

解：（1）将，代入，

得曲线C的直角坐标方程为，

∴曲线C的参数方程为（α为参数）．

∵曲线C过原点O，∴，得；

（2）当时，曲线C的极坐标方程为，

将代入，得．

设A、B两点对应的极径分别为，，

∴，，

∴．

23．(1)

(2)

（1）分，，三种情况求绝对值不等式的解集；

（2）利用绝对值的三角不等式求出，求解有解，即，解不等式即可求出答案.

(1)

当时，不等式，即．

当时，，可得；

当时，，可得；

当时，，无解．

综上，当时，不等式的解集为．

(2)

因为，当且仅当时等号成立．若关于x的不等式有解，则，即，所以实数a的取值范围是．