2023版考前三个月冲刺专题练　第7练　函数的极值、最值课件PPT

这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第7练　函数的极值、最值课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了专项典题精练，可知AB都正确，1＋∞，练后疑难精讲，练后反馈，易错对点精补，△POQ的面积为等内容，欢迎下载使用。

1.(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为
|MN|＝y＝t2－ln t(t>0).
2.(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为A.－1 　　　　B.－2e－3　　　　 C.5e－3 　　　　D.1
函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝(4－2a－4＋a－1)e－3＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.
由ex－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x<－2时，f′(x)>0；当－21时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.
3.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则A.ab C.aba2
当a>0时，根据题意要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如图1所示，观察可知b>a；当a<0时，根据题意要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如图2所示，观察可知a>b.综上，可知必有ab>a2成立.
4.(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cs x＋(x＋1)·sin x＋1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为
f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cs x＝(x＋1)cs x，x∈[0,2π].
又f(0)＝cs 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cs 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
5.(2019·天津)已知a∈R.设函数f(x)＝　　　　　　　　　若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为A.[0,1] B.[0,2] C.[0，e] D.[1，e]
当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a.当a≤1时，可得f(x)的最小值为f(a)＝－a2＋2a，令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1；当a>1时，可得f(x)的最小值为f(1)＝1≥0，满足条件，所以a≥0.当x>1时，由f(x)＝x－aln x可得
当a≤1时，f′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故只需1－aln 1≥0，显然成立；当a>1时，由f′(x)＝0可得x＝a，易得f(x)的最小值为f(a)＝a－aln a，令f(a)≥0，解得06.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确；假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝　－1＝2，解得x0＝±1；
若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)也不在直线y＝2x上；若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误.
7.(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为_____.
函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).
当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
8.(2017·全国Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边△ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________.
如图，连接OD，交BC于点G，由题意知，OD⊥BC，
则f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0，得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故当x＝2时，f(x)取得最大值80，
9.(2022·绵阳模拟)若x＝2是函数f(x)＝x2＋2(a－2)x－4aln x的极大值点，则实数a的取值范围是A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－2,2)
∵x＝2是函数f(x)的极大值点，∴函数y＝2(x－2)(x＋a)的图象如图所示才满足题意，∴－a>2，∴a<－2.故实数a的取值范围为(－∞，－2).
10.(2022·昆明模拟)若函数f(x)＝x2－4x＋aln x有两个极值点，设这两个极值点为x1，x2，且x1－3
因为f(x)＝x2－4x＋aln x，
令f′(x)＝0，等价于2x2－4x＋a＝0，则方程2x2－4x＋a＝0的两根为x1，x2，且00，所以a<2，
所以0f(1)＝－3.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上有极值，所以f′(x)＝g(x)－a的值有正有负.
12.(2022·江西丰城中学模拟)已知函数f(x)＝ex＋ax2＋2ax在x∈(0，＋∞)上有最小值，则实数a的取值范围为
∵f(x)＝ex＋ax2＋2ax，∴f′(x)＝ex＋2ax＋2a，若函数f(x)在x∈(0，＋∞)上有最小值，即f(x)在(0，＋∞)上先单调递减再单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上先小于0，再大于0，令f′(x)<0，得ex<－2a(x＋1)，令g(x)＝ex，h(x)＝－2a(x＋1)，只需h(x)的斜率－2a大于过点(－1,0)的g(x)的切线的斜率即可，
设切点为(x0， )，则切线方程为 ，将点(－1,0)代入切线方程得x0＝0，故切点为(0,1)，切线的斜率为1，
13.(2022·淮北模拟)已知函数f(x)＝ 若m不妨设f(m)＝f(n)＝t，由题意可知，函数y＝f(x)的图象与直线y＝t有两个交点，如图所示，故0当t∈(0,2ln 2)时，g′(t)<0，g(t)单调递减；当t∈(2ln 2,3]时，g′(t)>0，g(t)单调递增.则g(t)min＝g(2ln 2)＝4－2ln 2.又g(0)＝3，g(3)＝ ，所以g(t)max＝ .故n－m的取值范围为[4－2ln 2， ].
14.(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)满足xf′(x)－f(x)＝x2(ln x＋1)，且f(1)＝0，则A.f(x)在(1，＋∞)上单调递增
所以g(x)＝xln x＋C(C为常数)，所以f(x)＝xg(x)＝x2ln x＋Cx，又f(1)＝0，所以C＝0，所以f(x)＝x2ln x，f′(x)＝x(2ln x＋1)，
g(x)＝xln x，g′(x)＝ln x＋1，
当0当x>1时，x－1>0，ln x>0，
15.(2022·芜湖模拟)若函数f(x)＝ex－ －ax＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是___________.
则f′(x)＝ex－ax－a，
则f′(x)＝0有两个根，则只需满足ex＝ax＋a有两个解，即函数y＝ex的图象与直线y＝ax＋a有两个交点，
作出函数y＝ex与y＝ax＋a的图象，如图，当y＝ax＋a与函数y＝ex相切时，设切点为A(x0，y0)，y′＝ex，
16.(2022·南京师大附中模拟)已知f(x)＝x2 023.设实数m>0，若对任意的正实数x，不等式f(emx)≥ 恒成立，则m的最小值为_____.
因为f′(x)＝2 023x2 022≥0仅在x＝0时取等号，故f(x)＝x2 023在R上单调递增，
∴memx≥ln x，即mxemx≥xln x＝eln x·ln x恒成立，当00，mxemx≥xln x＝eln x·ln x恒成立，当x≥1时，构造函数g(x)＝xex，g′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex>0恒成立，
∴G(x)在[1，e)上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减，
考情分析应用导数研究函数的极值、最值问题，以及利用极值、最值的应用考查函数的零点、能成立、恒成立、实际生活中的最值问题等，多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题.
一、利用导数研究函数的极值核心提炼求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求定义域；(2)求导；(3)令f′(x)＝0；(4)列表，检查f′(x)在方程根左、右值的符号；(5)得出结论：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.注意：只有极大值无极小值时，要指出“无极小值”.
二、利用导数研究函数的最值核心提炼求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
三、由极值、最值求参数问题核心提炼已知函数极值求参数时需注意的问题(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
1.[T13补偿](2022·广州模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝2x，f(m)＝g(n)，则mn的最小值是
由函数f(x)＝ln x，g(x)＝2x，f(m)＝g(n)，得ln m＝2n，
2.[T8补偿](2022·沈阳模拟)设函数y＝2x2－2(0≤x≤1)的图象为曲线C，R(x0，y0)为C上任意一点，过点R的直线PQ与C相切，且与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当△POQ的面积取得最小值时，x0的值为
当x∈(e，e2]时，f′(x)<0；
∴f(x)min＝－2e2＋m，由“稳定函数”的定义可得2f(x)min>f(x)max，
4.[T5补偿](2022·郑州模拟)若函数f(x)＝ 的最小值为a2，则实数a的取值范围是________.
易知当01时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f(1)＝a＋6.当x≤0时，若a≥0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减，则最小值为f(0)＝a2，