2022-2023学年广东省广州市西外高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市西外高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用累加法可求得的值.

【详解】由已知，

，，，，

上述等式全加可得，.

故选：D.

2．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.

【详解】

=,

故选：A.

3．已知，，，若，，三向量共面，则（    ）

A．9 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】利用空间向量的共面定理得到，再利用空间向量相等的性质及坐标运算即可得解.

【详解】因为，，三向量共面，

所以存在实数，使得，

即，

所以，解得，

所以.

故选：C.

4．已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】求出抛物线的焦点坐标，再根据题意可求出的值.

【详解】抛物线的焦点为，

因为双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，

所以，

故选：B

5．已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.

【详解】如图，由题意得：，，其中，

所以，

由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，

则，解得：，

故动圆圆心M的轨迹方程为.

故选：D

6．已知三个数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得值，然后分类讨论求得圆锥曲线的离心率解决即可．

【解答】因为三个数，，成等比数列，

所以，则．

当时，曲线方程为，表示椭圆，

则长半轴长为，半焦距为，

所以离心率为；

当时，曲线方程为，表示双曲线，

则实半轴长为，半焦距为，

所以离心率为．

故选：D

7．函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义结合垂直条件求解作答.

【详解】函数，求导得：，则，

即函数的图象在点处的切线斜率为，

因为切线与直线垂直，有．所以.

故选：C

8．已知圆，圆.若过点的直线与圆、都有公共点，则直线斜率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置，用点线距离公式列式求出相切时的值，然后结合图形可得答案.

【详解】如图，由题意可知，过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置，

即直线介于图形中的两直线之间，设直线的方程为，

与相切时有，解得或，由图知舍去，

与相切时有，解得或，由图知舍去，

所以直线斜率的取值范围是.

故选：D

二、多选题

9．已知数列为等差数列，其前项和为，且，下列选项错误的是（    ）

A． B．是递减数列 C． D．取得最小值时，或6

【答案】BD

【分析】利用等差数列的性质及通项公式计算出相应的量，然后逐项分析即可.

【详解】由等差数列通项公式知：，

所以，①

， ②

解得，

所以等差数列的通项公式为：，

对于选项A．，故A正确；

对于选项B．由，

所以该等差数列为递增数列，故B错误；

对于选项C．，故C正确．

对于选项D．由

，

所以是关于开口向上的二次函数函数，故有最小值，

由对称轴为：，且，

所以当时，有最小值，故D错误.

故选：BD.

10．若方程表示的曲线为，则下列说法中不正确的有（    ）

A．若为椭圆，则

B．若为双曲线，则或

C．若为椭圆，且焦点在轴上，则

D．若为双曲线，则其渐近线方程为

【答案】AC

【分析】根据椭圆的定义可判断A、C选项，根据双曲线的定义和性质可判断B、D选项．

【详解】对于A选项：若为椭圆，则，解得或，所以A选项不正确；

对于B选项：若为双曲线，则，解得或，所以B选项正确；

对于C选项：若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，所以C选项不正确；

对于D选项：当时，即时，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，

当时，即时，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，所以D选项正确；

故选：AC.

11．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（    ）

A． B．数列的通项公式为：

C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列

【答案】ACD

【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.

【详解】因为，

所以当时，，

两式相减得，所以，

又因为当时，满足上式，

所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，

，

所以

，

故C正确；

因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，

故D正确.

故选:ACD.

12．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ）

A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为

C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为

【答案】BCD

【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.

【详解】

如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，

则，，，，，，

A选项：，平面的法向量，

设直线与底面所成的角为，

则，

直线与底面所成的角不为，故A错误；

B选项：，，

设平面的法向量，则，令，则

设平面与底面的夹角为，

则，

平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；

C选项，，

直线与直线的距离为：，故C正确；

D选项，，平面，平面，

又，平面的法向量，

直线与平面的距离为：，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知向量，若，则___________.

【答案】

【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.

【详解】由题意可得，

则，解得.

故答案为：.

14．数列的前项和，则的通项公式___________.

【答案】

【分析】根据求得，当时，利用求得的表达式，验证首项是否适合，即可得答案.

【详解】由题意数列的前项和，则，

当时，，

不适合上式，

故的通项公式，

故答案为：

15．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________.

【答案】

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，

即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，

即可得到方程，解得即可．

【详解】双曲线的渐近线为：

，即，

不妨取，圆，

即，所以圆心为，半径，

依题意圆心到渐近线的距离：

，

解得或．

故答案为：．

16．如图，已知双曲线的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是_____________．

【答案】

【分析】设的中点为，连接，，进而根据正六边形的几何关系得，，进而根据余弦定理得，再结合双曲线的定义得，再求离心率即可.

【详解】解：设的中点为，连接，，

因为是正六边形，

所以，，，

所以，，

所以，在中，由余弦定理得，解得，

所以，

所以双曲线的离心率．

故答案为：

四、解答题

17．已知函数的图象过点，且．

(1)求a，b的值；

(2)求曲线在点处的切线方程．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）根据点以及列方程，从而求得的值.

（2）利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．

又，，

所以②，

由①②解得：，．

（2）由（1）知，

又因为，，

所以曲线在处的切线方程为，

即．

18．已知数列是公差为的等差数列，数列是首项为1的等差数列，已知.

(1)求；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过题意易得数列是首项为1，公差为1的等差数列，进而可得结果；

（2）根据裂项相消法求和即可.

【详解】（1）且数列的公差为

数列是首项为1，公差为1的等差数列

（2）

19．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是，的中点．

(1)证明：

(2)证明：平面；

(3)求面与面夹角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）连接，则，证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）连接，先证明且，再证明四边形为平行四边形，从而可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；

（3）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．

【详解】（1）证明：连接，因为底面为菱形，则，

因为平面，平面，

所以，

又平面，

所以平面，

又平面，

所以；

（2）证明：连接，

因为且，

所以四边形为平行四边形，

所以且，

又E，M，N分别是BC，的中点，

所以且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（3）在菱形中，，

所以都是等边三角形，

由为的中点，得，

又因，所以，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则有，令，故，

，令，故，

则，

所以二面角的正弦值为．

20．已知圆，直线.

(1)求证：直线过定点，并判断直线与圆的位置关系；

(2)当时，过圆上点作圆的切线交直线于点，为圆上的动点，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；直线l与圆C恒相交.

(2).

【分析】（1）将直线化为，根据由于，可得且，即可证明结论，求得定点坐标，说明该点在圆内，即可判断直线和圆的位置关系.

（2）写出方程，求得点坐标，求出，即可求得答案.

【详解】（1）证明：由l的方程得 ，

由于，故且，解得，

即直线过定点，

因为 ，即点M在圆C内部，

所以直线l与圆C恒相交.

（2）由题知 ,又时， ，

所以联立 ，即得点，

而点，所以 ，

所以 .

21．数列是单调递增的等比数列，，数列满足，且.

(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）根据等比数列的定义，求得方程，可得答案，利用取倒数，结合等差数列定义，可得答案；

（2）利用错位相减法，可得答案.

【详解】（1）解：由，设等比数列的公比为，则，

整理可得，解得或，当时，数列递减，不符合题意，

故.

又因为，所以，

所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列，

所以，所以.

（2）解：由（1），，

所以①

②

所以①-②得，

所以.

22．如图，椭圆（）的离心率为，其短轴和长轴的端点分别为A，B，C，D，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)P是椭圆上位于x轴上方的动点，直线，与直线l：分别交于G、H两点.若，求点P的坐标；

(3)直线，分别与椭圆交于E，F两点，其中点满足且.若面积是面积的5倍，求t的值.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）根据短轴，离心率的定义与椭圆的基本量的关系求解即可.

（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出点的坐标，从而得到点的坐标，根据列出方程即可得到结果.

（3）分别设直线,直线的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出面积是面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.

【详解】（1）由题意可知，解得

所以椭圆的方程为

（2）设直线的方程为

由得

联立直线的方程与椭圆方程消去可得

设，则，所以，即

又因为，所以，所以直线的方程为，

由得，所以，因为，所以或

从而得或

（3）∵,,,且,

∴直线的斜率为,直线斜率为,

∴直线的方程为,直线的方程为,

由得,∴,,∴,

由得,∴,,∴；

∵,

,

,,

∴,

即,

又,

∴,

整理方程得：,

解得：.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.