2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二上学期12月月考数学（理）试题（Word版）

南山中学2021年秋季高2020级12月月考理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。

1.   空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为  

A. B. C. D.

2.某节能灯厂想知道某批次产品的质量情况，你建议采用哪种方法来完成相关数据的收集

A. 简单随机抽样     B. 系统抽样       C. 分层抽样        D . 普查

3.抛物线的焦准距是    

A.  1                   B.  2     

C.                   D.

4.双曲线 的渐近线方程是  

A.          B.

C.           D.

5.执行如图所示的程序框图，输出的n的值为 

A．2          B．3          C．4         D．5 

6.圆关于直线对称的圆的方程为

A.B.

C.D.

7.若直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为    

A.        B.         C.        D.

8.甲乙两名同学在5次数学考试中的成绩用茎叶图表示，如图所示，若甲乙两人的平均成绩分别为，则下列结论正确的是       

A.,且甲比乙成绩稳定        B.，且乙比甲成绩稳定

C.，且甲比乙成绩稳定       D.，且乙比甲成绩稳定

9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在曲线内的概率为

A.           B.        C.          D.

10.若曲线存在到直线距离相等的点，则称相对直线“互关”。已知曲线相对直线“互关”，则实数的取值范围是 

 A. B. C. D.

11.已知是直线上不同的两点，则关于的方程组的解的情况是    

A.无论如何，总有解           B.无论如何，总有唯一解 

C.存在，使之有无穷解         D.存在，使之无解

12.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，是双曲线的左焦点，两曲线交于两点，若,则双曲线的离心率为  

A.        B.2        C.       D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知一组数据为5，6，6，7，8，10，则该组数据的方差是___________

14.早晨慌乱起床，在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只，恰为同一双的概率是____

15.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的圆中，半径最大的圆的标准方程为_____________________

16.过椭圆右焦点F的直线交椭圆短轴于点Q，交椭圆于M,N两点，若,则的最小值为________________   

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本题满分10分)某化工厂为预测产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现收集了4组对照数据.

（1）请根据相关系数的大小判断回收率与之间是否存在高度线性相关关系；（精确到小数点后两位）

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测当时回收率的值.

参考数据：,,

18. (本题满分12分)已知三角形ABC，,以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD

  （1）求点D 的坐标；

（2）过点A的直线l交直线BC与点E，若,求直线l的方程.

19.（本题满分12分）为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数及中位数（精确到个位）;

（2）现准备从成绩在的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在的概率.

20. （本题满分12分）已知E是曲线上任一点，过点E做x轴的垂线，垂足为H，动点D满足

（1）求点D的轨迹的方程;

（2）若点P是直线l：上一点，过点P作曲线的切线，切点分别为M,N,求使四边形OMPN面积最小时的值.

21. （本题满分12分）设椭圆过两点，O为坐标原点

（1）求椭圆E的方程;

（2）设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A,B两点(A,B不是左右顶点)且满足,证明:直线l过定点，并求该定点坐标.

22.(本题满分12分)已知抛物线的焦点为F，直线与y轴交于点P与抛物线交于点Q，且
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F的直线与抛物线E相交于A,B两点，若线段AB的垂直平分线与E相交于C,D两点，探究是否存在直线l使A,B,C,D四点共圆？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由.

绵阳南山中学2021年秋季高2019级12月月考数学试题答案(理科)

一、选择题

1——6    DBABBC      7——12    DACBDD

二、填空题

13.         14.         15.        16. 

三、解答题

17. 解：（1）

   所以，x与y高度线性相关  ……5分

（2）根据最小二乘法

   所以，回归方程           

当时，       ……………………………………10分

18.解：（1）由题可知，以BA,BC为邻边的平行四边ABCD满足

所以，，设，则可得

解得：            所以…………………………6分

（2）要使，则需B,C到直线l 的距离之比为2

当斜率存在时，设l的方程为，即

所以由，所以，

所以，直线l的方程为………………………………9分

当直线斜率不存在时，l的方程为，此时，仍符合题意。   …………11分

综上：l的方程为和            ……………………12分

19.解：（1）该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03＝103.2≈103．        ……………………………………3分

因为成绩在的频率为0.4，设中位数，则

所以，                    …………………………………………6分

（2）设成绩在的5位同学位，成绩在的3位同学为.从中选出2位同学，基本事件为

共28个，而2位同学成绩恰在内的事件有3个，    …………11分

所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在的概率为……12分

20.解：（1）设

由得，，所以

所以，点D的轨迹方程为       ………………………………6分

（2）由圆的切线性质知，切线长

所以，四边形面积，

所以，当OP最小时，面积最小.

而OP的最小值即为O到直线的距离，此时

又因为,所以      ……………………12分

21.解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为……5分

（2）由（1）知，设

由可知，,所以，   …………6分

即：

所以  （※）

联立直线和椭圆方程，消去y，得：

由所以  …………8分

代入方程※，可得，即得

所以，所以，  ……10分

所以，直线l 的方程为

所以，过定点或，根据题意，舍去   …………11分

所以，直线过定点    ………………………………………………12分

22. (1)解：设点，由题意得，，解之得，

所以，抛物线的方程为        ………………………………4分
(2)解：，设，

直线的方程为由得，，

所以，，

所以，的中点
所以，线段的垂直平分线为，

将抛物线方程代入得，，

所以，，，

所以，

的中点，         …………………………8分

四点共圆，所以为圆心，    ………………10分
即，解之得，，
故直线的方程为   ……………………………………………………12分
方法2:设，

垂直平分，且四点共圆，
，由点差法得，

，，，，，………………8分

于是，，，

直线的方程为                    …………………………………12分