2021-2022学年河南省信阳市多校高二上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河南省信阳市多校高二上学期期中联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知非零实数，，若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合不等式和函数性质，结合列举法即可求解.
【详解】对AC，令，满足，但不满足，故A错；
对B，令，满足，但不满足，故B错；
对C，令，满足，但不满足，故C错；
对D，设，函数为增函数，若，则，故D正确.
故选：D
2．在数列{中，，，，则的值为（ ）
A．17B．18C．19D．21
【答案】C
【分析】由题知公差为2，结合通项公式求出即可.
【详解】由得，故.
故选：C
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详推.这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A．8岁B．9岁C．11岁D．12岁
【答案】C
【分析】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列，利用公式计算得到答案.
【详解】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列，前项和为，
则，解得.
故选：C.
4．在下列函数中，最小值是2的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取时，，A错误，CD选项中均值不等式等号条件不成立，错误，利用均值不等式得到B正确，得到答案.
【详解】当时，，A错误；
，当，即时等号成立，B正确；
，则，，，即时等号成立，，等号不成立，故C错误；
，，，，即时等号成立，，等号不成立，故D错误.
故选：B.
5．设变量满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．-2D．12
【答案】B
【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解.
【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
目标函数可化为直线，
当直线过点A时，此时直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，
又由，解得，
所以目标函数的最小值为.
故选：B.
【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：
（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；
（2）距离型：形如，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；
（3）斜率型：形如，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.
6．在中，，则该三角形的最大内角是（ ）
A．135°B．120°C．84°D．75°
【答案】B
【分析】根据正弦边化角原则，求出三边比例，再由大边对大角，对最大角采用余弦定理即可求解.
【详解】由可得，不妨设，则，则，故.
故选：B
7．已知等差数列满足，，，则值为（ ）
A．20B．19C．18D．17
【答案】A
【分析】根据得到，带入求和公式结合等差数列性质解得答案.
【详解】，故，即.
，解得.
故选：A.
8．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆半径为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】结合正弦定理边化角得，由得，联立第三角公式可求出，结合可求外接圆半径.
【详解】由正弦定理可得，即，又，
故，
结合第三角公式得，故，，由.
故选：D
9．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ）
A．19B．20C．21D．22
【答案】A
【分析】将条件处理得，再结合等差数列下标性质即可求解.
【详解】，
又，数列的前项和有最大值，故数列为递减数列，，
所以，，
，
所以，
又，故取得最小正值时等于19.
故选：A
10．在中，，，分别是角，，对边的长，根据下列条件解三角形，有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【分析】根据正弦定理得到的值，根据角度范围得到解的个数，得到答案.
【详解】根据正弦定理：，，，，有一解，A不满足；
，，，有一解，B不满足；
，，，有一解，C不满足；
，，，有两解，D满足.
故选：D.
11．在数列中，，，，，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据，可得，则数列是以6为周期的周期数列，再求出，即可得解.
【详解】，故，故，数列的周期为6.
，，，，，，，
.
故选：B.
12．已知数列满足，，，则数列的前2021项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用累加法得到，带入得到，再利用分组求和法计算得到答案.
【详解】，即.
.
.
故
.
故选：A.
二、填空题
13．已知关于的不等式的解集是{或}，则的解集为________.
【答案】
【分析】首先根据题意得到和是方程的根，从而得到，再解不等式即可.
【详解】由题知：和是方程的根，
所以，解得.
所以，解得.
所以解集为.
故答案为：
14．中，，，则在中，________.
【答案】
【分析】计算，根据正弦定理判断得到，根据和差公式计算得到答案.
【详解】，则，，，
根据正弦定理知，故，为锐角，故.
.
故答案为：.
15．如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形.为南门位置，为东门位置，小区里有一条平行于的小路，若米，则圆弧的长为___________米
【答案】
【分析】连结，由，可得，，在△中，由正弦定理可得，，可求出，进而可求出，进而根据圆弧所对应的圆心角及半径，可求出圆弧的长度.
【详解】连结，因为，所以，.
在△中，由正弦定理可得，，即，解得，
因为，且，所以，
所以.
故答案为：.
16．正数，满足，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】采用基本不等式，先求出的最小值，再采用分离参数法结合二次函数性质即可求解.
【详解】因为，所以，当且仅当时取到等号，故，则对恒成立等价于对恒成立，即对恒成立，，在单增，
则，则.
故答案为：
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】解：（1）由题意可知，；
（2）
当△ABC为等边三角形的时候取得最大值．
18．设函数.当时，求关于的不等式的解集.
【答案】答案见解析.
【分析】讨论，和三种大情况，再考虑，，三种情况，解不等式得到答案.
【详解】若，原不等式可化为，解得；
若，原不等式可化为，解得或；
若，原不等式可化为，其解得情况应由与1的大小关系确定，
当时，解为；当时，解得；当时，解得.
综上所述：
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
19．若数列的前项和为，且；数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）采用作差法结合关系式可求，再验证可求的通项公式；对变形得，求出的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）采用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由，得，.
又，，
两式相减，得，.
，.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列..
由，得，
又，数列是首项为1，公差为1的等差数列.
.；
（2），.
两式相减，得
.
20．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C；
（2）若，且的面积，求的周长l的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先利用正弦定理，边角互化，再结合余弦定理，即可求解.
(2)先利用三角形面积公式，得出的范围，再结合余弦定理，即可求出范围.
【详解】（1）由正弦定理，得，
∴，
∴由余弦定理，得，
∵，∴.
（2）∵的面积，
∴，∴，
若，则，
∴，
∵的周长，且，
∴，即的周长的取值范围为.
21．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【答案】(1)400吨；
(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.
【详解】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当 ，即 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则 ，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
22．设数列满足，.
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，，.求证：数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）计算，再根据首项得到通项公式.
（2）计算，利用累加法得到，放缩，利用裂项相消法计算得到证明.
【详解】（1），又，
为以2为首项，以2为公比的等比数列，可得：，.
（2），时，
时也符合上式，
.
所以数列的前项和.