2022-2023学年山东省多校高二上学期期中联合调考数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省多校高二上学期期中联合调考数学试题

一、单选题

1．直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直线方程为斜截式即得．

【详解】直线的一般式为，其斜率为．

故选：B．

2．古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为（    ）

A．30 B．120 C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆方程求出，再提供的椭圆面积公式求出椭圆的面积.

【详解】因为，，所以椭圆的面积为．

故选：C

3．在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则t=（    ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的基本定理，进而得出方程，解之即可.

【详解】因为，

所以，即．

因为M是平面ABC上一点，所以，所以．

故选：A.

4．若双曲线（）的渐近线与圆相切，则m=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的标准方程，求得渐近线方程，根据圆的一般方程，利用配方法，整理标准方程，求得圆心与半径，结合直线与圆相切的性质，建立方程，可得答案.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

由圆，整理可得，可得圆心为，半径为2，

则，得．

故选：B.

5．已知某抛物线的焦点为，抛物线上一点在的正上方，过点的直线与抛物线交于另一点，满足，则钝角（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出点的坐标，根据抛物线的焦半径公式可求得点的坐标，求出直线的倾斜角，进而可求得钝角的大小.

【详解】由题知，抛物线的焦点为，准线方程为，

因为点在的正上方，所以点的坐标为，

因为为钝角，则点在轴下方，

所以，解得，

即点坐标为（舍去）或．

因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，

故钝角．

故选：D.

6．如图所示，在几何体ABCDEF中，，，，，，平面ABCD，则异面直线EF与AB所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据线面垂直的性质可得，又，建立如图空间坐标坐标系，利用向量法即可求出空间中的线线角.

【详解】由题意知，因为平面，

平面，所以，

以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，．

所以，，

所以，

故异面直线EF与AB所成的角为．

故选：A.

7．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.

【详解】入射光线所在的直线方程为，即，

联立方程组解得即入射点的坐标为．

设P关于直线对称的点为，

则解得即．

因为反射光线所在直线经过入射点和点，

所以反射光线所在直线的斜率为，

所以反射光线所在的直线方程为，

即．

故选：D

8．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】A

【分析】设直线：，半圆：，则问题转化为原点到直线的距离大于或等于，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可.

【详解】解：设直线：，半圆：，

则表示半圆弧上任意一点到直线的距离大于或等于，即原点到直线的距离大于或等于．

由，解得，即实数的最大值是．

故选：A

二、多选题

9．已知双曲线C：，则下列选项中正确的是（    ）

A．C的焦点坐标为 B．C的顶点坐标为

C．C的离心率为 D．C的虚轴长为

【答案】BCD

【分析】由题意可得，，，根据焦点在y轴上，逐一判断即可.

【详解】解：因为，，

所以，，．

因为焦点在y轴上，

所以C的焦点坐标为，故A错误；

顶点为，故B正确；

离心率为，故C正确，

虚轴长为，故D正确．

故选：BCD.

10．如图，在正三棱柱中，若，则（    ）

A．三棱锥的体积为

B．三棱锥的体积为

C．点C到直线的距离为

D．点C到直线的距离为

【答案】AC

【分析】利用等体积法和三棱锥的体积公式计算即可判断AB；建立如图空间直角坐标系，求出在上的投影的长度，利用向量法求出点线距即可判断CD.

【详解】三棱锥即三棱锥，其体积为，故A正确，B不正确；

取AC的中点O，则，，

以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立如图空间直角坐标系，

则，，，所以，，

所以在上的投影的长度为，

故点C到直线的距离，故C正确，D错误.

故选：AC.

11．已知直线l：和圆C：，则下列说法正确的是（    ）

A．直线l过定点

B．对任意λ，直线l与圆C相交

C．若，直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为

D．对任意λ，圆C上恒有4个点到直线的距离为1

【答案】AB

【分析】对A：根据直线过定点运算求解；对B：先判断定点与圆C的位置关系，进而确定直线l与圆C的位置关系；对C：先求圆心到直线l的距离，再根据垂径定理结合基本不等式求弦长的取值范围；对D：根据圆心到直线l的距离的取值范围，分析判断.

【详解】对A：整理直线l的方程，得，令，解得，

可知l过定点，故A正确；

对B：将代入圆C的方程，得到，可知点在圆C内，

所以对任意λ，直线l与圆C相交，故B正确；

对C：圆C：的圆心，半径，

因为圆心到直线l的距离，

所以，

∵，则，当且仅当，即时等号成立，

∴，则，

所以的最大值为4，故C不正确；

对D：因为圆心与点之间的距离为，则圆心到直线l的距离，

当时，即，则圆C上有2个点到直线的距离为1；

当时，即，则圆C上有3个点到直线的距离为1；

当时，即，则圆C上有4个点到直线的距离为1；

故D不正确.

故选：AB.

12．已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（    ）

A．的周长为4a

B．若直线OP的斜率为，AB的斜率为，则

C．若，则e的最小值为

D．若，则e的最大值为

【答案】ACD

【分析】根据椭圆的定义即可判断A；设，，利用点差法和中点坐标公式可得，进而判断B；根据平面向量的坐标表示可得，结合选项计算即可判断CD.

【详解】A:根据椭圆的定义，的周长为，故A正确；

B:设，，则，

所以，，由得，

所以，即，故B不正确；

C:，

因为，

所以，

由，得，故C正确；

D:由，得，故D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．若直线与互相垂直，则m=______．

【答案】6

【分析】利用一般直线方程的垂直系数之间的关系，直接代入即可得解.

【详解】由，得．

故答案为：6

14．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽6m，高0.5m，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为______．

【答案】

【分析】利用待定系数法，代入已知点，建立方程，根据准线的公式，可得答案.

【详解】设这条抛物线的方程为，由图可知B点坐标为（3,0.5），所以，得，故这条抛物线的准线方程为．

故答案为：.

15．已知圆：与圆：相离，则整数m的一个取值可以是______．

【答案】2##3##4

【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心的距离，利用两圆相离的关系列出不等式，求出整数m的值.

【详解】解：由题意

在圆：与圆：中，

圆的圆心为，圆的圆心为，圆的半径为3，圆的半径为，

∴两圆圆心的距离为．

∴，解得，

∴整数m的取值可能是2，3，4．

故答案为：2或3或4.

四、双空题

16．在长方体中，，，，则______；点C到平面的距离为______．

【答案】         

【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求解出答案.

【详解】以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，，，

所以，，，，．

因为，，

所以．

设平面的法向量为，因为，，

所以,令，得．

因为，所以点C到平面的距离．

故答案为：，.

五、解答题

17．已知圆C：．

(1)过点向圆C作切线l，求切线l的方程；

(2)若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；

（2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要 求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值．

【详解】（1）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．

若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．

因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，

所以切线l的方程为，即．

综上，切线l的方程为或．

（2）圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，

因为，所以当最小时，有最小值．

当时，最小，最小值为，

所以的最小值为．

18．在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是AD，的中点．

(1)证明：MN与平面BCN不垂直．

(2)求MN与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立坐标系，利用向量证明与平面内的一条直线不垂直即可；

（2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法进行求解.

【详解】（1）解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．

（1）证明：因为，，所以，但，

所以MN与平面BCN不垂直．

（2）设平面的法向量为，因为，，所以令，得．

设MN与平面所成的角为θ，则，

故MN与平面所成角的正弦值为．

19．已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线C上的点，且．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线l交抛物线C于M，N点，且MN的中点坐标为，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用焦半径列出方程，求出，从而得到抛物线方程；

（2）先得到直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，，两式相减，结合点MN的中点坐标为，求出直线l的方程，联立抛物线方程后得到，及直线l与y轴的交点为，从而求出的面积.

【详解】（1）因为，所以，

故抛物线C的方程为；

（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，，

则，

两式相减得，整理得．

因为MN的中点为，所以，

所以直线l的方程为，即．

联立方程组，得，

则．

因为直线l与y轴的交点为，

所以的面积为．

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，M为PD的中点．

(1)证明：平面PBC．

(2)求平面PBC与平面PCD的夹角．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 取PC的中点为N，连接MN，NB，利用中位线证明且，所以四边形MNBA为平行四边形，得到，再利用线面平行得判定即可证明；

(2) 过A作，垂足为H，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面PCD的法向量，代入向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）证明：取PC的中点为N，连接MN，NB，

则且．

因为且，所以且，

所以四边形MNBA为平行四边形，所以．

又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．

（2）过A作，垂足为H，则．

如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，．

设平面PBC的法向量为，因为，，所以令，得．

设平面PCD的法向量为，因为，，所以令，得．

设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，则，

所以平面PBC与平面PCD的夹角为．

21．已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.

(1)求双曲线的方程；

(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据离心率以及焦点到渐近线的距离，求得，则方程得解；

（2）讨论直线斜率是否存在，且当直线斜率时，设出直线方程，联立双曲线方程，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，以及用点到直线的距离公式求得三角形的高，求得面积，即可证明.

【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，

所以焦点到渐近线的距离为.

因为，所以，，

所以双曲线的方程为.

（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，

此时，.

当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，

联立方程组得，

由，得，

联立方程组得.

不妨设直线与的交点为，则.

同理可求，所以.

因为原点到直线的距离，

所以，又因为，所以，

故的面积为定值，且定值为.

【点睛】易错点点睛：本题考查双曲线方程的求解，以及双曲线中的定值问题；第二问中，容易出错的点是没有对直线的斜率是否存在进行讨论，以及当斜率存在时不能与渐近线平行，属综合中档题.

22．已知椭圆W：的离心率为，左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为．

(1)求椭圆W的方程；

(2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接交椭圆W于点C，若，求直线AC的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据题意可得，结合离心率和即可求解；

（2）根据题意可设直线AC的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出t，即可求解.

【详解】（1）由题意知，设过且垂直于x轴的直线交椭圆于点，则，

解得，所以，所以．

因为椭圆W的离心率，所以．

因为，所以，，故椭圆W的方程为．

（2）由题意知，直线AC不垂直于y轴，设直线AC的方程为，，，

联立方程组消去x并整理得，

所以，，

所以．

因为点O到直线AC的距离，且O是线段AB的中点，

所以点B到直线AC的距离为2d，

所以．

由，解得，所以，故直线AC的方程为，

即或．