2022成都蓉城名校联盟高二下学期期中联考试题数学（文）含解析

蓉城高中教育联盟2021～2022学年度下期高中2020级期中联考

文科数学

考试时间120分钟，满分150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列两个量之间的关系是相关关系的是（    ）

A. 匀速直线运动中时间与位移的关系 B. 学生的成绩和身高

C. 儿童的年龄与体重 D. 物体的体积和质量

【答案】C

【解析】

【分析】根据相关关系和函数关系的概念即可判断

【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系，

故选：C

2. 已知复数，，，若是实数，则（    ）

A. ，  B.

C. ，或 D. 以上都不对

【答案】D

【解析】

【分析】通过举例判断即可

【详解】若，，则为实数，

而此时，， ，

所以ABC都错误，

故选：D

3. 下列求导运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用求导公式进行求解，判断四个选项.

【详解】，A错误；

，B正确；

，C错误；

，D错误

故选：B

4. 曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求解.

【详解】解：因为，

所以，则x=1时，当，

设在点处的切线的倾斜角为，

则，

因为，

所以，

故选：B

5. 函数在上的最大值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导数，求出极值点，计算函数端点处的函数值以及极值，比较可得答案.

【详解】由题意得，

令，则 ，

当时， ，函数递减；当时， ，函数递增，

故 是函数在的极小值点，

所以当时， ；当时， ；

当时， ；

故函数在上的最大值为5，

故选：D

6. 下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）的数据：

若两个量之间的回归直线方程为，则m的值为（    ）

A.  B. 140 C. 144.7 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由样本中心必在回归直线方程上即可求解.

【详解】解：因为，，

又回归直线方程为，

所以，即，

所以，

故选：D.

7. 下面的程序框图的作用是输出两数中的较小者，则①②处分别为（    ）

A. 输出a；交换a和b的值 B. 交换a和b的值；输出a

C. 输出b；交换a和b的值 D. 交换a和b的值；输出b

【答案】B

【解析】

【分析】直接分析可得.

【详解】当成立时，根据题意要输出较小者，所以②处应填“输出a”；

当不成立时，依题意应输出b的值，因为②处为“输出a”，所以应先交换a和b的值，故①处应该填“交换a和b的值”.

故选：B

8. 按照图中的规律，图中圆黑点的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据图形可知圆黑点的个数成等差数列，由等差数列通项公式可得结果.

【详解】由图，图，图可知：圆黑点的个数是以为首项，为公差的等差数列，

图中圆黑点的个数为个.

故选：C.

9. 如果函数的图像如图，那么导函数的图像可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由函数图像可知为偶函数且在上先增后减，由此可确定为奇函数且先正后负，由此可得图像.

【详解】由图像知：为偶函数，为奇函数，图像关于原点对称，可排除CD；

当时，先增后减，的符号是先正后负，可排除B.

故选：A.

10. 已知没有极值，则实数取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据没有极值，可知无变号零点，由二次函数性质可知，由此可解不等式求得结果.

【详解】；

在上没有极值，，即，

解得：，即实数的取值范围为.

故选：C.

11. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数单调性可知在上恒成立，分离变量可得，利用换元法，结合二次函数最值的求法可求得，由此可得结果.

【详解】由题意得：，

在上单调递增，在上恒成立，即，

令，则，，即的取值范围为.

故选：D.

12. 已知函数与，则它们的图像交点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，利用的单调性和零点个数可得答案．

【详解】令，则，

由，得，

∴当时，；当时，．

∴当时，取得最小值，

∴只有一个零点，

即与的图像只有1个交点．

故选：B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 设，且满足，则______．

【答案】1

【解析】

【分析】利用复数除法及复数相等求得，即可得结果.

【详解】由，则，

所以

故答案为：1

14. 张同学说：因为“，则”，所以“，则”．该同学在该推理过程中采用的是______推理方法．

【答案】类比

【解析】

【分析】根据类比推理的定义即可求解.

【详解】解：因为两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理称为类比推理，

所以张同学说：因为“，则”，所以“，则”．该同学在该推理过程中采用的是类比推理方法．

故答案为：类比.

15. 一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，______．

【答案】60

【解析】

【分析】根据，利用导数法求解.

【详解】解：因为，

所以，

，

令，得，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值，

故答案为：60

16. 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有______．

【答案】

【解析】

【分析】由洛必达法则，分别对分子和分母求导，代入即可求得该极限值.

【详解】由题意可得：．

故答案为：.

三、解答题：本题共6小题，共70分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设复数（其中），．

（1）若是实数，求的值；

（2）若是纯虚数，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由实数定义可构造方程求得，由复数乘法运算法则可得结果；

（2）由复数除法运算可化简，由纯虚数定义可构造方程求得，由复数模长定义可求得结果.

【小问1详解】

是实数，，解得：，

.

【小问2详解】

为纯虚数，

，解得：，，则.

18. 已知函数在处有极值．

（1）求a，b的值；

（2）求的单调区间．

【答案】（1），   

（2）单调递增区间是，；单调递减区间是

【解析】

【分析】（1）由题意可得，解方程组可求出a，b的值；

（2）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间

【小问1详解】

∵，又∵在处有极值，

∴．

即，解得，．

经检验，当，时满足题意

【小问2详解】

由（1）可知，，

令，得或；

令，得；

∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．

19. 某学校为了调查学生运动情况，按照男女分层抽取了100名同学调查同学们是否喜欢体育锻炼，调查结果统计如下表：

已知在全部100人中随机抽取1人，抽到不喜欢体育锻炼的人的概率为0.4．

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.9%的把握认为喜欢体育锻炼与性别有关？说明你的理由．（参考数据如下表，结果保留3位小数）

附：，其中．

【答案】（1）列联表见解析   

（2）有99.9%的把握认为喜欢体育锻炼与性别有关，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据在全部100人中随机抽取1人，抽到不喜欢体育锻炼的人的概率为0.4，可得不喜欢体育锻炼的为40人，故可补全列联表；

（2）计算出，与参考数据比较可得答案．

【小问1详解】

根据在全部100人中随机抽取1人，抽到不喜欢体育锻炼的人的概率为0.4，可得不喜欢体育锻炼的为40人，故可将列联表补充如下：

【小问2详解】因为，即，

所以，又因为，

所以有99.9%的把握认为喜欢体育锻炼与性别有关．

20. 已知曲线．

（1）若，过点作的切线，求切线的方程；

（2）当有3个零点时，求a的取值范围．

【答案】（1）和   

（2）

【解析】

【分析】（1）设出切点，求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，进而表达出切线方程，代入，求出切点横坐标，进而求出切线方程；（2）利用导函数研究函数的单调性，极值情况，得到不等式组，求出a的取值范围.

【小问1详解】

因，所以，所以，

设所求切线的切点坐标为，切线斜率为，

则所求切线方程为．

因为切线过点，

所以，即，

解得：或．

所以或．

即所求的切线有两条，方程分别是和．

即和．

【小问2详解】

，令，解得，．

令，得或，在上为增函数，

令，得，在上为减函数，

所以的极大值为，极小值为．

因为有3个零点，所以，解得：．

所以a的取值范围是

21. 某商场销售某种商品，该商品每日的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：百元/件）满足关系式，其中，a为常数．已知销售价格为6百元/件时，每日可售出该商品11件．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为4百元/件，当销售价格x为多少百元时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润．

【答案】（1）   

（2）销售价格为5百元或8百元时，商场每日销售该商品所获得的利润最大为42百元

【解析】

【分析】（1）根据所给关系式，代入数据，即可求得a值.

（2）根据题意，求得利润的解析式，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案.

【小问1详解】

由题意得，，解得．

【小问2详解】

由（1）得，

商场每日销售该商品所获得的利润为，

∴，令，解得或7，

列表得x，，的变化情况如下：

∵，，

故销售价格为5百元或8百元时商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为42百元．

22. 已知函数．

（1）当时，若对任意，恒成立，求b的取值范围；

（2）若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）参变分离法将问题转化为在上求范围.

（2）讨论参数a，利用导数研究单调性，并判断极值情况，结合极大值点区间求参数范围.

【小问1详解】

由题意，在上恒成立，即，

设，对称轴为，开口向上，

所以当时，，则．

【小问2详解】

，且，

令，得或a．

①当时，则，单调递减，函数没有极值；

②当时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

∴在取得极大值，在取得极小值，则；

③当时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

∴在取得极大值，在取得极小值，

由得：．

综上，函数在上存在极大值时，a的取值范围为．