2022成都蓉城名校联盟高二下学期期末联考试题数学（文）含答案

蓉城名校联盟2021~2022学年度下期高中2020级期末联考

文科数学

考试时间120分钟，满分150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3. 命题“，”的否定是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

4. 在等差数列中，已知，，则数列的公差为（）

A. －1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】D

5. 设x，y满足约束条件，则的最大值为（）

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

【答案】D

6. 若函数则（）

A. 3 B.  C.  D. 8

【答案】A

7. 执行如图所示程序框图，如果输入n＝5，则输出的S＝（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

8. 在含有3个白球，2个黑球（它们除颜色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取2个球，恰好一个为黑球的概率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

9. 若，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

10. 如图，已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径，若平面PCA⊥平面PCB，PA＝AC，PB＝BC，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

11. 已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

12. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且，则双曲线的渐近线方程为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a＝1，b＝5，则c＝______．

【答案】

14. 已知为单位向量，且，则与的夹角为_________．

【答案】

15. 经过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若（其中O为坐标原点），则直线l的斜率为______．

【答案】

16. 记定义在R上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为______．

【答案】

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．日前公布的《“十四五”中医药发展规划》提出，提升中医药参与新发突发传染病防治和公共卫生事件的应急处置能力．某中药企业决定加大中药产品的科研投入，根据市场调研和模拟，得到科研投入x（亿元）与产品的收益y（亿元）的数据统计如下：

（1）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明（当时，变量x，y有较强的线性相关关系）；

（2）利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测当科研投入为10亿元时产品的收益．

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

本题相关数据：，．

【答案】（1）可以（2），预计收入为亿元；

18. 已知函数在x=1处取得极值0，其中a，．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数在上的最大值和最小值．

【答案】（1）

（2）

19. 如图，点O是正方形ABCD的中心，，，，DE=1，．

（1）证明：DE⊥平面ABCD；

（2）求点B到平面AFC的距离．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）先证明平面EOD可得，根据线面垂直的判定定理可证明结论；

（2）利用三棱锥的等体积法即，即可求得答案.

【小问1详解】

证明：因为四边形ABCD是正方形，故 ,而，

且平面EOD,

所以平面EOD,平面EOD,故，

又，而平面ABCD ,

故DE⊥平面ABCD .

【小问2详解】

由，作 ,垂足为M,则,连接AM,

由（1）知DE⊥平面ABCD，故FM⊥平面ABCD,由CD＝2EF＝2，可得 ,

则，则 ,

而 , 则 ,故为直角，

故 ,

设点B到平面AFC的距离为h,则 ,

即 ，解得 ，

即点B到平面AFC的距离为.

20. 已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为

（2）

21. 椭圆C：的离心率为，其左，右焦点分别为，，上顶点为B，且．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点作关于x轴对称的两条不同的直线和，交椭圆于点，交椭圆于点，且，证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

【答案】（1）

（2）证明见解析，定点坐标为

【解析】

【分析】（1）根据椭圆离心率可得到，根据可得，结合a，b,c的关系解得答案;

（2）设直线方程并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，由直线和关于x轴对称，可得和斜率之和为0，得到，化简得到，即可证明结论.

【小问1详解】

由题意得，，即，得，

又，且，故，

即，结合解得，

故椭圆C方程为；

小问2详解】

证明：由题意可知，直线MN斜率存在且不为0，

故设直线MN方程为，，，

联立可得：，

即有，需满足，

则，

因为直线和关于x轴对称，故和斜率之和为0，即，

即，即，

即，即有 ，则 ，

所以直线MN方程为，故直线MN过定点，定点坐标为.

22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线与交于A，B两点，且点，求的值．

【答案】（1）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；

（2）