2022连云港高级中学高二下学期期中考试数学含解析

2021—2022学年第二学期期中考试

高二数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，，若，则的值为（    ）

A.  B.  C. 6 D. 8

【答案】D

【解析】

分析】

由，可得，则有，从而可求出的值，

【详解】解：因为，所以，

因为，，

所以，解得，

故选：D

2. 肖明同学从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，则他至少选中1道排列题的选法有（    ）

A. 56 B. 64 C. 72 D. 144

【答案】B

【解析】

【分析】

根据组合的概念，直接得出结果.

【详解】从8道概率题和2道排列题中选3道题进行测试，至少选中1道排列题的选法有.

故选：B.

【点睛】本题主要考查组合的简单应用，属于基础题型.

3. 饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕簧纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一质点从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用列举法求出基本事件总数和其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况的种数，由此能求出恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率．

【详解】质点从点出发跳动五次到达点，每次向右或向下跳一个单位长度，基本事件总数有：

右右下下下，右下右下下，右下下右下，右下下下右，下右右下下，

下右下右下，下右下下右，下下下右右，下下右右下，下下右下右，共10种，

其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况有1种，右右下下下，

恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为．

故选：D．

4. 已知随机变量X的分布列为

则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接套公式即可求得.

【详解】由题意：,

所以.

故选：C

5. 二项式的展开式中，含项的系数（    ）

A. 1140 B. 1330 C. 190 D. 210

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项得到项的系数为，结合组合数的性质，即可求解.

【详解】由题意，二项式，

结合二项展开式的通项，可得项的系数为

.

故选：B.

6. 已知随机变量，且，，则为（    ）

A. 0.1358 B. 0.2716 C. 0.1359 D. 0.2718

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性可求概率.

【详解】由题设可得，

，

故选：C.

7. 由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（    ）

A. 120 B. 168 C. 204 D. 216

【答案】C

【解析】

【分析】先不考虑0的情况，从这9个数字中选出3个数字，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，再考虑有0的情况，由分步计数乘法原理可得结果．

【详解】先不考虑0的情况，

则从这9个数字中选出3个数字，共种情形，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有＝168.

再考虑有0时，不可能组成严格递增的数，如果组成严格递减的数，则0在个位，前两位从这9个数字中选出2个数字，共种情形.

所以共

故选：C

8. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

用表示出，计算，开方得出AO的长度.

【详解】因为四边形是平行四边形，

,

,

,

,

，

即.

故选：A

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 给出下列命题，其中是真命题的是（    ）

A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直

B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则

C. 若平面，的法向量分别为，，则

D. 若存在实数使则点共面

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A：先计算出，判断出，即可证明与垂直；对于B：判断出，即可得到不成立；对于C：判断出不垂直，即可得到不成立；对于D： 不共线，由平面向量基本定理可以判断；共线时，可以判断共线，则点共面也成立.即可判断.

【详解】对于A：因为直线的方向向量，直线的方向向量，

且，所以，所以与垂直.故A正确；

对于B：因为直线的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正确；

对于C：因为平面，的法向量分别为，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正确；

对于D：若不共线，则可以取为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数使则点共面；

若共线，则存在实数使所以共线，则点共面也成立.

综上所述：点共面.故D正确.

故选：AD

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 若随机变量服从两点分布，，则

B. 若随机变量的方差，则

C. 若随机变量服从二项分布，则

D. 若随机变量服从正态分布，，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据二点分布期望公式，可判定A正确；根据方差的性质，可判定B错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D正确.

【详解】对于A中，由随机变量服从两点分布且，则，故A正确；

对于B中，由随机变量的方差，可得，故B错误；

对于C中，由变量服从二项分布，则，所以C正确；

对于D中，由随机变量服从正态分布，，

根据正态分布曲线的对称性，可得，所以D正确.

故选：ACD.

11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（    ）

A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件B与事件相互独立

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】由题意直接分析出，，是两两互斥的事件，即可判断A；直接利用条件概率公式求出，可以判断C;利用全概率公式求出，即可判断D；利用可以判断B.

【详解】由题意分析可知：，，是两两互斥的事件.故A正确；

，，.所以.故C不正确；

因，

所以.故D正确；

因为,而，所以,所以事件B与事件不是相互独立事件.故B错误.

故选：AD.

12. 下列结论正确的是（    ）

A.

B. 多项式展开式中的系数为40

C. 若，则展开式中各项的二项式系数的和为1

D. 被5除所得的余数是1

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用二项式定理及二项式展开式各项系数和，依次判断各项正误.

【详解】解：因为，故A项正确;

多项式展开式通项为：，要求的系数，则，

当时，有，的系数为,

当时，有，不存在，

当时，有，的系数为,

当时，有，不存在，

故展开式中的系数为,故B项正确；

,其展开式中各项的二项式系数之和为，故C项错误；

因为，其展开式的通项公式为：，只有当时，即，不能被5整除，且256被5整除的余数为1，故D项正确.

故选：ABD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用点到平面的距离为，即可求得结论.

【详解】由题意，，，

，

所以点到平面的距离为.

故答案为：.

14. 若 ，则的值 ___________________.

【答案】

【解析】

【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.

【详解】令，得，令，得，所以

故答案为：

15. 已知随机变量服从正态分布，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.

【详解】，，

又，，.

故答案为：.

16. 2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】求出总共的安排方式和每个城市都至少安排一辆车的情况即可求出.

【详解】四辆车前往三个城市安排方式有种，每个城市都至少安排一辆车共种，

因此每个城市都至少安排一辆救援车的概率为．

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知，，，，.

（1）求实数，，的值；

（2）求与夹角的余弦值.

【答案】（1）x=2，y=-4，z=2；（2）.

【解析】

【分析】（1）直接利用向量平行和向量垂直即可求出，，的值；

（2）先求出 利用向量的夹角公式即可求解.

【详解】（1）因为，，，，.

所以，

解得：x=2，y=-4，z=2.

（2）由（1）知：，，，

所以 .

设与夹角为，

则

即与夹角的余弦值为.

18. 从0-9这10个数字取出3个数字，试问：

（1）有多少个没有重复数字的排列方法？

（2）能组成多少个没有重复数字的三位数？

（3）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？

（注：要有适当的文字说明，最终结果用数字表示）

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合排列数公式，即可求解；

（2）根据题意，分别求得每一位数字都不是0的三位数、个位数字是0的三位数和十位数字是0的三位数，结合分类计数原理，即可求解；

（3）可分为五类：当个位数字是1时，且百位不能为0、个位数字是3时，且百位不能为0、个位数字是5时，且百位不能为0、个位数字是7时，且百位不能为0、个位数字是9时，且百位不能为0的三位数，结合分类计数原理，即可求解．

【小问1详解】

解：从这10个数字取出3个数字排成一列有种．

【小问2详解】

解：由题意，第一类：每一位数字都不是0的三位数有个；

第二类：个位数字是0的三位数有个；

第三类：十位数字是0的三位数有个

根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数．

【小问3详解】

解：由题意，第一类：当个位数字是1时，且百位不能为0的三位数有个；

第二类：当个位数字是3时，且百位不能为0的三位数有个；

第三类：当个位数字是5时，且百位不能为0三位数有个；

第四类：当个位数字是7时，且百位不能为0的三位数有个；

第五类：当个位数字是9时，且百位不能为0的三位数有个；

根据分类计数原理，能组成个没有重复数字的三位数奇数．

19. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22；

（1）求的值；

（2）求展开式中二项式系数最大的项；

（3）求展开式中的常数项．

【答案】（1）6    （2）   

（3）960

【解析】

【分析】（1）根据前三项的二项式系数和得到方程，求出；（2）在第一问求出的基础上，求出展开式中二项式系数最大的项为第4项，根据通项公式求出答案；（3）根据展开式通项公式得到.

【小问1详解】

∵展开式前三项的二项式系数和为22，

∴，

∴，

∴或（舍）

故的值为6

【小问2详解】

由题可得：展开式中最大的二项式系数为，

∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即

【小问3详解】

设展开式中常数项为第项，即，

令，则，

∴，

故展开式中的常数项为第5项，即960

20. 一个盒子中有10个小球，其中3个红球，7个白球．从这10个球中任取3个．

（1）若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数的概率分布及期望；

（2）若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数的概率分布及方差．

（注：最终结果用分数形式表示）

【答案】（1）分布列见解析；期望为   

（2）分布列见解析；

【解析】

【分析】（1）由超几何分布概率公式求解

（2）由二项分布概率公式求解

【小问1详解】

由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3，且．

∴；；

；；

∴的概率分布为：

则数学期望．

【小问2详解】

由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3，且，．

∴；；

；；

∴的概率分布为：

则方差为．

21. 如图，四边形是正方形，平面，，，，F为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析.   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，结合线面平行的判定定理即可证明；

（2）求出平面的法向量，求解两个平面的夹角.

【小问1详解】

依题意，平面，且四边形是正方形

以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．

则，，，，，，

取的中点M，连接．

，则，

∴，∴，

∵平面平面，∴平面．

【小问2详解】

，F为的中点，

则，，，

又，平面，故为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，因为，

，即,令，得，，

故．

设二面角的大小为，则，

由图知，所求二面角为钝角，所以二面角的大小是

22. 某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为，，，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立.

（1）求甲同学能进入到数学建模社团的概率；

（2）设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过个项目，求的概率分布及数学期望.

【答案】（1）；   

（2）分布列见解析，.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出p值，并求出甲能通过项目选拔的概率，再由乘法公式计算作答.

（2）求出的所有可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，求出期望作答.

【小问1详解】

该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件，由题意得，，解得，

则甲在每个项目中通过的概率都为，设事件A为甲能进入到数学建模社团，

因甲在每个项目中通过的概率都为，且在每个项目中的成绩均相互独立，则有，

所以甲能进入到数学建模社团的概率为.

【小问2详解】

X的可能取值为0，1，2，3，

，，，，

则X的概率分布为：